初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-同角、互余角三角函数的关系 同步训练
一、基础夯实
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵sin2A+cos2A=1，即（ ）2+cos2A=1，
∴cos2A= ，
∴cosA= 或﹣ （舍去），
∴cosA= ．
故答案为：D．
【分析】利用sin2A+cos2A=1求出cos A，再由锐角三角函数值是正数求解.
2．（2018九上·港南期中）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°-α）=sinα= ．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的函数关系，若α+β=90°，则cosβ=sinα，得出cos（90°-α）=sinα，从而得出答案。
3．（2018·吉林模拟）在 中， ，若cosB= ，则sinA的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB= .
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠A+∠B=90°，根据，互余两角，其中一个的正弦值，等于另一个的余弦值，即可得出答案。
4．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）若cos (36°-α)= ，则sin (54°+α)的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】∵36°-α+54°+α=90°，
∴sin(54°+α)=cos(36°-α)= .
故答案为：B.
【分析】互余的两个角，一个角的正弦值=另一个角的余弦值，即sinα=cos(90°-α)。
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sin A=sin B B．tan A=tan B C．sin A=cos B D．cos A=cos B
【答案】C
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
即sin A=cos B。
故答案为：C。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
6．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知sinα+cosα= ，则sinα cosα= ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
7．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）如图，在△ABC中，若sinA= ，则tanA的值是 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
8．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈ .
【答案】0.5490
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：因为33°18'+56°42'=90°，
所以cos 56°42'=sin 33°18'≈0.549 0，
故答案为：0.549 0。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
9．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知sin46°=cosα，则α= 度．
【答案】44
【知识点】互余两角三角函数的关系
10．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
11．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知α为一锐角，sinα= ，求cosα，tanα．
【答案】解：由sinα= = ，设a=4x，c=5x，
则b= =3x，
故cosα= = ，tanα= = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．
二、提高特训
12．（2018·灌南模拟）如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB= =5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，再根据同角的余角相等，由∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，得出∠BCD=∠A．根据等角的同名三角函数值想等即可由cos∠BCD=cos∠A=AC ∶AB得出答案。
13．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c。
∵cosA= 知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA= = = ．
故选A．
【分析】根据cosA= 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
14．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
15．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，求sinA﹣sinB的值．
【答案】解：∵sinA+sinB= ，
∴（sinA+sinB）2= ，
∴sin2A+sin2B+2sinA sinB= ，
∵sinB=cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA sinB= ，
∴2sinA sinB= ，
∴（sinA﹣sinB）2=1﹣ = ，
∴sinA﹣sinB=±
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案．
16．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）计算:sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
【答案】解:原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°
=1+1+…+1+
=44+0.5
=44.5 .
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】互余的两个角的正弦（或余弦）值的平方和为1，即sin2α+sin2(90°-α)=1.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-同角、互余角三角函数的关系 同步训练
一、基础夯实
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018九上·港南期中）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°-α）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·吉林模拟）在 中， ，若cosB= ，则sinA的值为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）若cos (36°-α)= ，则sin (54°+α)的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sin A=sin B B．tan A=tan B C．sin A=cos B D．cos A=cos B
6．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知sinα+cosα= ，则sinα cosα= ．
7．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）如图，在△ABC中，若sinA= ，则tanA的值是 ．
8．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈ .
9．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知sin46°=cosα，则α= 度．
10．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）如图，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（90°﹣α）= ．
11．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知α为一锐角，sinα= ，求cosα，tanα．
二、提高特训
12．（2018·灌南模拟）如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
15．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，求sinA﹣sinB的值．
16．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）计算:sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵sin2A+cos2A=1，即（ ）2+cos2A=1，
∴cos2A= ，
∴cosA= 或﹣ （舍去），
∴cosA= ．
故答案为：D．
【分析】利用sin2A+cos2A=1求出cos A，再由锐角三角函数值是正数求解.
2．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°-α）=sinα= ．
故答案为：B．
【分析】根据互余两角的函数关系，若α+β=90°，则cosβ=sinα，得出cos（90°-α）=sinα，从而得出答案。
3．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB= .
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠A+∠B=90°，根据，互余两角，其中一个的正弦值，等于另一个的余弦值，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】∵36°-α+54°+α=90°，
∴sin(54°+α)=cos(36°-α)= .
故答案为：B.
【分析】互余的两个角，一个角的正弦值=另一个角的余弦值，即sinα=cos(90°-α)。
5．【答案】C
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
即sin A=cos B。
故答案为：C。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
6．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
7．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
8．【答案】0.5490
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：因为33°18'+56°42'=90°，
所以cos 56°42'=sin 33°18'≈0.549 0，
故答案为：0.549 0。
【分析】考查互余两个角的三角函数的关系：sinα=cos(90°-α)。
9．【答案】44
【知识点】互余两角三角函数的关系
10．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP= =5．
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
sin（90°﹣α）=cosα= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据已知条件由勾股定理求OP，再由一个角的余弦等于它余角的正弦可求解。
11．【答案】解：由sinα= = ，设a=4x，c=5x，
则b= =3x，
故cosα= = ，tanα= = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．
12．【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB= =5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，再根据同角的余角相等，由∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，得出∠BCD=∠A．根据等角的同名三角函数值想等即可由cos∠BCD=cos∠A=AC ∶AB得出答案。
13．【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c。
∵cosA= 知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA= = = ．
故选A．
【分析】根据cosA= 设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
14．【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
15．【答案】解：∵sinA+sinB= ，
∴（sinA+sinB）2= ，
∴sin2A+sin2B+2sinA sinB= ，
∵sinB=cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA sinB= ，
∴2sinA sinB= ，
∴（sinA﹣sinB）2=1﹣ = ，
∴sinA﹣sinB=±
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案．
16．【答案】解:原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°
=1+1+…+1+
=44+0.5
=44.5 .
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】互余的两个角的正弦（或余弦）值的平方和为1，即sin2α+sin2(90°-α)=1.
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