2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册1.2 二次根式的性质 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·南召期中）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·杭州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·南京） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2018八上·宜兴期中）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a-5|+ =0，则△ABC的周长为( ）
A．9 B．12 C．15或12 D．9或1
6．（2018·昆山模拟）如果m＜0，化简| ﹣m|的结果是（ ）
A．﹣2m B．2m C．0 D．﹣m
7．（2018·武昌模拟）已知xy＜0，则 化简后为（ ）
A． B．- C． D．-
8．（2018八下·兴义期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为（ ）
A．7 B．-7 C．2a-15 D．无法化简
二、填空题
9．把 化为最简二次根式 ．
10．（2018七上·秀洲期中）若 ，则 .
11．（2018八上·江都期中）若 则x的取值范围是 ．
12．使 是整数的最小正整数n= ．
13．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
三、解答题
14．化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
15．（2018八上·江阴期中）计算:
（1） ；
（2） ．
16．（2018八上·江阴期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
17．小东在学习了 后， 认为 也成立， 因此他认为一个化简过程： = 是正确的. 你认为他的化简对吗 如果不对请说明理由并改正.
18．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
19．已知a，b，c满足(a－ )2＋ ＋ ＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
20．探究题：
（1）= ， = ， = ，
= ， = ，02= ，
（2）根据计算结果，回答：
一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若 x＜2，则 = ；
② = ；
（4）若a，b，c为三角形的三边，化简 + + ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 中被开方数含分母，不属于最简二次根式，A不符合题意；
B、 =2，不属于最简二次根式，B不符合题意；
C、 属于最简二次根式，C符合题意；
D、 不属于最简二次根式，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因式和因数的二次根式就是最简二次根式，根据定义即可一一判断。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、化简后为 ，不符合题意；
B、化简后为3 ，不符合题意；
C、 不能化简，故是最简二次根式，符合题意；
D、化简得出x ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。根据定义即可判断。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：AB、∵ ，因此A符合题意；B不符合题意；
CD、∵ ，因此C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝ ，
故答案为：A.
【分析】根据商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算数平方根。
5．【答案】B
【知识点】算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得a-5=0，b-2=0，
解得a=5，b=2，
（ 1 ）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，
不能组成三角形；
（ 2 ）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5=12．
故答案为：B．
【分析】由 绝对值和算术平方根的非负性可得a-5=0，b-2=0，解得a=5，b=2，再根据等腰三角形的性质可知分两种情况讨论求解。①若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，由三角形的任意两边之和大于第三边可得2、2、5不能构成三角形；②若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，由三角形的任意两边之和大于第三边可知能构成三角形，则周长=2+5+5=12.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵m＜0，
∴原式=||m|﹣m|
=|﹣m﹣m|
=|﹣2m|
=﹣2m，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的非负性即可求解。
7．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】 有意义，则
∵
∴原式
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件及xy＜0得出y > 0 ，x < 0 ，再根据二次根式的性质化简即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|a-4|+|a-11|
∵5＜a＜10
∴原式=a-4+11-a=7
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，一个数的平方的算出平方根等于它的绝对值，从而去掉根号，由数轴上表示的数可知5＜a＜10，于是根据绝对值的意义去掉绝对值符号再按整式的加减法法则计算出结果即可。
9．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = = × =10 ．
故答案为：10
【分析】把500化成100×5，再利用二次根式的乘法法则逆运算化简.
10．【答案】-7
【知识点】算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+=0
∴x-1=0且y+8=0
解之：x=1，y=-8
∴x+y=1+（-8）=-7
故答案为：-7
【分析】根据几个非负数之和为0，则这几个数都是0，建立关于x、y的方程，求出x、y的值，再将x、y代入代数式求值。
11．【答案】
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】∵ 有意义，
∴ ，
故答案是： .
【分析】利用二次根式的非负性，可得出x-1≥0，解不等式即可。
12．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
13．【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：6※3= =1．
故答案为：1
【分析】根据新定义得到算式，再化简二次根式可得.
14．【答案】（1）解： =
（2）解： =4
（3）解： =
（4）解： =
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和即可化简；
（2）根据二次根式的性质和即可化简；
（3）根据二次根式的性质和即可化简；
（4）分母有理化，将分式的分子和分母分别乘以即可达到化简的目的。
15．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=3-（-2）+（ ）
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质化简，再算加减法。
（2）利用二次根式的性质，先化简，利用绝对值的意义去掉绝对值，再合并即可。
16．【答案】解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质：，将原代数式转化为 |a-b| -|b+c|-|b-c|，再根据数轴上数a、b、c的位置，可得出a-b＞0，b+c＜0，b-c＞0，然后化简绝对值，合并同类项即可。
17．【答案】解：不对.
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以 这一步是错误的.
注意 的前提条件是 .
正确的化简过程是：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简二次根式，必须被开方数是非负或正的，据此即可解答。
18．【答案】解：二次根式 与-3 能够合并，不能由此确定a=1．当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．还有其他情况．故不能确定a=1
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】由于二次根式可能是最简二次根式，也可能不是最简二次根式，因此不能确定a=1.
19．【答案】（1）解：∵(a－ )2≥0， ， ≥0，
且(a－ )2＋ ＋ ＝0，
∴a－ ＝0，b－5＝0，c－3 ＝0，
∴a＝2 ，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＋c＝2 ＋3 ＝5 ，5 ＞5，
∴a＋c＞b，
∴以a，b，c为边能构成三角形，其周长为a＋b＋c＝2 ＋5＋3 ＝5＋5
【知识点】三角形三边关系；算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据平方、二次根式和绝对值的非负性即可求解；
（2）求出（1）中的任意两边之和，由三角形三边关系定理即可判断。
20．【答案】（1）3；0.5；6；；；0
（2）解： 不一定等于a．当a≥0时， =a；当a≤0时， =﹣a
（3）2﹣x；π﹣3.14
（4）解： + + =a+b﹣c+（c+a﹣b）+b+c﹣a=a+b+c
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（3）① =2﹣x；
② =π﹣3.14；
【分析】（1）首先计算出探究题答案，（2）根据探究所的答案可得 =|a|；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当a≥0时， =a；当a≤0时， =﹣a；（3）①因为x＜2，所以x﹣2＜0，因此 =|x﹣2|，再根据所的规律进行计算即可；②因为π＜3.14可得3.14﹣π＜0，因此 =|3.14﹣π|，再根据所的规律进行计算即可；（4）根据三角形的三边关系定理可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，因此 + + =|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．
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一、单选题
1．（2018九上·南召期中）下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 中被开方数含分母，不属于最简二次根式，A不符合题意；
B、 =2，不属于最简二次根式，B不符合题意；
C、 属于最简二次根式，C符合题意；
D、 不属于最简二次根式，D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因式和因数的二次根式就是最简二次根式，根据定义即可一一判断。
2．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、化简后为 ，不符合题意；
B、化简后为3 ，不符合题意；
C、 不能化简，故是最简二次根式，符合题意；
D、化简得出x ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。根据定义即可判断。
3．（2018·杭州）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：AB、∵ ，因此A符合题意；B不符合题意；
CD、∵ ，因此C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。
4．（2018·南京） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ＝ ，
故答案为：A.
【分析】根据商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算数平方根。
5．（2018八上·宜兴期中）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a-5|+ =0，则△ABC的周长为( ）
A．9 B．12 C．15或12 D．9或1
【答案】B
【知识点】算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得a-5=0，b-2=0，
解得a=5，b=2，
（ 1 ）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，
不能组成三角形；
（ 2 ）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，
能组成三角形，
周长为2+5+5=12．
故答案为：B．
【分析】由 绝对值和算术平方根的非负性可得a-5=0，b-2=0，解得a=5，b=2，再根据等腰三角形的性质可知分两种情况讨论求解。①若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，由三角形的任意两边之和大于第三边可得2、2、5不能构成三角形；②若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，由三角形的任意两边之和大于第三边可知能构成三角形，则周长=2+5+5=12.
6．（2018·昆山模拟）如果m＜0，化简| ﹣m|的结果是（ ）
A．﹣2m B．2m C．0 D．﹣m
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵m＜0，
∴原式=||m|﹣m|
=|﹣m﹣m|
=|﹣2m|
=﹣2m，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的非负性即可求解。
7．（2018·武昌模拟）已知xy＜0，则 化简后为（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】 有意义，则
∵
∴原式
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件及xy＜0得出y > 0 ，x < 0 ，再根据二次根式的性质化简即可得出答案。
8．（2018八下·兴义期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为（ ）
A．7 B．-7 C．2a-15 D．无法化简
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|a-4|+|a-11|
∵5＜a＜10
∴原式=a-4+11-a=7
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，一个数的平方的算出平方根等于它的绝对值，从而去掉根号，由数轴上表示的数可知5＜a＜10，于是根据绝对值的意义去掉绝对值符号再按整式的加减法法则计算出结果即可。
二、填空题
9．把 化为最简二次根式 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = = × =10 ．
故答案为：10
【分析】把500化成100×5，再利用二次根式的乘法法则逆运算化简.
10．（2018七上·秀洲期中）若 ，则 .
【答案】-7
【知识点】算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+=0
∴x-1=0且y+8=0
解之：x=1，y=-8
∴x+y=1+（-8）=-7
故答案为：-7
【分析】根据几个非负数之和为0，则这几个数都是0，建立关于x、y的方程，求出x、y的值，再将x、y代入代数式求值。
11．（2018八上·江都期中）若 则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】算数平方根的非负性
【解析】【解答】∵ 有意义，
∴ ，
故答案是： .
【分析】利用二次根式的非负性，可得出x-1≥0，解不等式即可。
12．使 是整数的最小正整数n= ．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
13．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么6※3= ．
【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：6※3= =1．
故答案为：1
【分析】根据新定义得到算式，再化简二次根式可得.
三、解答题
14．化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解： =
（2）解： =4
（3）解： =
（4）解： =
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和即可化简；
（2）根据二次根式的性质和即可化简；
（3）根据二次根式的性质和即可化简；
（4）分母有理化，将分式的分子和分母分别乘以即可达到化简的目的。
15．（2018八上·江阴期中）计算:
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=3-（-2）+（ ）
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质化简，再算加减法。
（2）利用二次根式的性质，先化简，利用绝对值的意义去掉绝对值，再合并即可。
16．（2018八上·江阴期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质：，将原代数式转化为 |a-b| -|b+c|-|b-c|，再根据数轴上数a、b、c的位置，可得出a-b＞0，b+c＜0，b-c＞0，然后化简绝对值，合并同类项即可。
17．小东在学习了 后， 认为 也成立， 因此他认为一个化简过程： = 是正确的. 你认为他的化简对吗 如果不对请说明理由并改正.
【答案】解：不对.
理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，
所以 这一步是错误的.
注意 的前提条件是 .
正确的化简过程是：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简二次根式，必须被开方数是非负或正的，据此即可解答。
18．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
【答案】解：二次根式 与-3 能够合并，不能由此确定a=1．当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．还有其他情况．故不能确定a=1
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】由于二次根式可能是最简二次根式，也可能不是最简二次根式，因此不能确定a=1.
19．已知a，b，c满足(a－ )2＋ ＋ ＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵(a－ )2≥0， ， ≥0，
且(a－ )2＋ ＋ ＝0，
∴a－ ＝0，b－5＝0，c－3 ＝0，
∴a＝2 ，b＝5，c＝3
（2）解：∵a＋c＝2 ＋3 ＝5 ，5 ＞5，
∴a＋c＞b，
∴以a，b，c为边能构成三角形，其周长为a＋b＋c＝2 ＋5＋3 ＝5＋5
【知识点】三角形三边关系；算数平方根的非负性
【解析】【分析】（1）根据平方、二次根式和绝对值的非负性即可求解；
（2）求出（1）中的任意两边之和，由三角形三边关系定理即可判断。
20．探究题：
（1）= ， = ， = ，
= ， = ，02= ，
（2）根据计算结果，回答：
一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若 x＜2，则 = ；
② = ；
（4）若a，b，c为三角形的三边，化简 + + ．
【答案】（1）3；0.5；6；；；0
（2）解： 不一定等于a．当a≥0时， =a；当a≤0时， =﹣a
（3）2﹣x；π﹣3.14
（4）解： + + =a+b﹣c+（c+a﹣b）+b+c﹣a=a+b+c
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（3）① =2﹣x；
② =π﹣3.14；
【分析】（1）首先计算出探究题答案，（2）根据探究所的答案可得 =|a|；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当a≥0时， =a；当a≤0时， =﹣a；（3）①因为x＜2，所以x﹣2＜0，因此 =|x﹣2|，再根据所的规律进行计算即可；②因为π＜3.14可得3.14﹣π＜0，因此 =|3.14﹣π|，再根据所的规律进行计算即可；（4）根据三角形的三边关系定理可得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，因此 + + =|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．
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