2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.2 平行四边形 同步练习
一、单选题
1．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y与另一个角的度数x 之间的关系是（ ）
A．y=x B．y=90–x C．y=180–x D．y=180+x
2．如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
3．如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为（ ）
A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
4．（2018八下·乐清期末）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A．85．平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．6cm和8cm B．10cm和20cm C．8cm和12cm D．12cm和32cm
6．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
7．如图，AB∥EF，C是EF上一个动点，当点C的位置变化时，△ABC的面积将（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点C向左还是向右移动
8．（2017八下·罗山期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC=2S△CEF．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．（2018八上·罗山期末）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝ BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．（2018·常州）如图，在 ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB= ．
12．（2018·泰州）如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为 .
13．（2018·陕西）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S1，S2分别表示 EOF和 GOH的面积，则S1，S2之间的等量关系是
14．（2018·柳州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3.若平行四边形ABCD的周长是16，则EC的长为 ．
15．（2018·潮南模拟）如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有 对．
16．（2018·东胜模拟）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为 cm．
17．（2018·吉林模拟）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题
18．（2018·淮安）已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F，求证：AE＝CF．
19．（2018·铜仁模拟）在 ABCD中，E是BC边上一点，F为DE上一点，若∠B=∠AFE，AB=AF．求证：△ADF≌△DEC．
20．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
21．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
22．如图所示，直线L1∥L2，C1，C2，C3是L1上的三点，连接C1A，C1B，C2A，C2B，C3A，C3B，得△C1AB，△C2AB，△C3AB，试说明△C1AB，△C2AB，△C3AB的面积相等．
23．如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以 cm/s的速度运动，分别连结AF，CE．设点F运动时间为t（s），其中t＞0．
（1）当t为何值时，∠BAF＜∠BAC；
（2）当t为何值时，AE=CF；
（3）当t为何值时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】由题意得 ，y=180–x，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对边平行可得相邻两角互补，即可得到结果。
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AMN，
∴MN∥BC.故①正确；
∵BC∥AD，
∴MN∥AD，
∵DN∥AM，
∴四边形AMND是平行四边形．
∴DN＝AM，
∴MN＝AM.故②正确．
故答案为：A.
【分析】（1）根据折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.而四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D＝∠AMN，根据平行线的判定可得MN∥BC；
（2）由（1）知BC∥AD，MN∥BC所以MN∥AD，而DN∥AM，根据平行线的定义可得四边形AMND是平行四边形。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】已知原点O恰好是 ABCD对角线的交点，可得点C与点A关于原点对称，又因关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为（2，3），即可得C点坐标为（-2，-3）．故答案为：C
【分析】根据题意可知原点O恰好是平行四边形ABCD的对角线的交点，就可得出点A、C关于原点对称，因此点A和点C的横纵坐标都互为相反数，即可解答。
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=BD=5，OC=AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，10，10，能构成三角形；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得6，16，10，不能构成三角形，舍去．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知，对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求解。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
7．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】△ABC面积与AB及两平行线的距离不变
【分析】根据平行线间的距离相等可知，当点C的位置变化时，点C到AB的距离不变，而△ABC的面积=AB点C到AB的距离，根据同底等高的两个三角形面积相等可得，△ABC的面积不变。
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
9．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项符合题意；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项符合题意；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故答案为：A．
【分析】根据已知和平行四边形的性质和角平分线定义，得到∠DCF=∠BCF=∠BCD；根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到内错角相等，由ASA得到△AEF≌△DMF，得到FM=EF=FC；由三角形内角和定理得到∠DFE=3∠AEF；由②中的EF=FM，得到等底同高的三角形的面积相等，由MC＞BE，得到面积不等.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．所以S△ABC= BC h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH= GH h1+ GH h2= GH （h1+h2）= GH h．因为四边形BDHG是平行四边形，且BD= BC，可得GH=BD= BC，所以S阴影= ×（ BC h）= S△ABC=4．
故答案为：B．
【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，就可得出h=h1+h2，再利用三角形的面积公式，可推出S阴影=S△AGH+S△CGH= GH h，然后根据平行四边形的性质，就可得出GH= BC，即可求出阴影部分的面积。
11．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，
故答案为40°．
【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C=70°，根据等边对等角得出∠C=∠DBC=70°，由三角形的内角和即可算出答案。
12．【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2CO+2BO=16，即CO+BO=8
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=8+6=14
故答案为：14
【分析】根据平行四边形的性质，可得出AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=6，再求出CO+BO的值，就可求出△BOC的周长。
13．【答案】2S1＝3S2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB 2ON， S平行四边形ABCD=BC 2OM，
∴AB ON=BC OM，
∵S1= EF ON，S2= GH OM，EF＝ AB，GH＝ BC，
∴S1= AB ON，S2= BC OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为：2S1＝3S2.
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据平行四边形的对称性，由点O是平行四边形ABCD的对称中心，及平行四边形的面积得出，AB ON=BC OM，再根据三角形的面积公式，及EF＝ AB，GH= BC，即可得出答案。
14．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求得AB=BE，再由平行四边形ABCD的周长是16可求得AD的长，则CE=BC-BE。
15．【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】观察可得到有两对同底同高的三角形，即S△ABC=S△BCD，S△ABD=S△ADC，
同时S△ABD-S△AED=S△ADC-S△AED得，S△AEB=S△CED所以共有3对面积相等的三角形．
【分析】根据平行线间的距离相等，观察可得到有两对同底同高的三角形，即S△ABC=S△BCD，S△ABD=S△ADC，根据等量减等量差相等还可以得出S△AEB=S△CED，从而得出答案。
16．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出OB=OD，再根据已知易证EO为BD的垂直平分线，可得出BE=DE，然后求△ABE的周长就转化为求出AB+AD的值即可。
17．【答案】41
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF=S△DEF，
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，
即S△APD=S△EPF=16cm2，
同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，、
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=16+25=41cm2．
【分析】根据同底等高的两个三角形的面积相等，得出S△ADF=S△DEF，就可得出S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，S△APD=S△EPF=16cm2，再证明S△BQC=S△EFQ=25cm2，就可求出阴影部分的面积。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AEO和△CFO中，
∵ ，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AO=CO，AD∥BC，根据平行线性质可得∠DAO=∠BCO，再由全等三角形判定ASA得△AEO≌△CFO，由全等三角形性质即可得证.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC=∠DEC，
∵∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B=∠AFE，
∴∠AFD=∠C，
∵AB=AF，
∴AF=CD，
在△AFD和△DCE中 ，
∴△ADF≌△DEC（AAS）
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得条件用角角边证得△ADF≌△DEC。
20．【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
21．【答案】解：∵AB∥EF，CD∥EG，
∴∠AEF+∠A=180°，
∠DEG+∠D=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠AEF=∠DEG，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH=∠GEH，
∴∠AEF+∠FEH= ×180°=90°，
即∠AEH=90°，
∴EH⊥AB，
∴线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】根据等角的补角相等求出∠AEF=∠DEG，再根据角平分线的定义可得∠FEH=∠GEH，然后求出∠AEH=90°，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义解答．
22．【答案】解：底相同，高相等，则三个三角形的面积相等
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据两条平行线间的距离处处相等，再结合三角形的面积公式，可知：只要两个三角形是等底等高的，则两个三角形的面积相等．
23．【答案】（1）解：当BF＜BC时，∠BAF＜∠BAC，
∴ ＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，∠BAF＜∠BAC
（2）解：分两种情况讨论：
点F在点C左侧时，AE=CF，
则2（t+1）=6﹣ t，
解得t= ；
②当点F在点C的右侧时，AE=CF，
则2（t+1）= t﹣6，
解得t= ，
综上所述，t= ，t= 时，AE=CF
（3）解：当BF+AE＜BC，S△ABF+S△ACE＜S△ABC，
t+2（t+1）＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据边越长，边所对的角越大，可得答案；（2）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；（3）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式．
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.2 平行四边形 同步练习
一、单选题
1．平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y与另一个角的度数x 之间的关系是（ ）
A．y=x B．y=90–x C．y=180–x D．y=180+x
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】由题意得 ，y=180–x，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对边平行可得相邻两角互补，即可得到结果。
2．如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是（ ）
A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AMN，
∴MN∥BC.故①正确；
∵BC∥AD，
∴MN∥AD，
∵DN∥AM，
∴四边形AMND是平行四边形．
∴DN＝AM，
∴MN＝AM.故②正确．
故答案为：A.
【分析】（1）根据折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.而四边形ABCD是平行四边形，所以∠B＝∠D＝∠AMN，根据平行线的判定可得MN∥BC；
（2）由（1）知BC∥AD，MN∥BC所以MN∥AD，而DN∥AM，根据平行线的定义可得四边形AMND是平行四边形。
3．如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为（ ）
A．(－3，－2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】已知原点O恰好是 ABCD对角线的交点，可得点C与点A关于原点对称，又因关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为（2，3），即可得C点坐标为（-2，-3）．故答案为：C
【分析】根据题意可知原点O恰好是平行四边形ABCD的对角线的交点，就可得出点A、C关于原点对称，因此点A和点C的横纵坐标都互为相反数，即可解答。
4．（2018八下·乐清期末）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A．8【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=BD=5，OC=AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
5．平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．6cm和8cm B．10cm和20cm C．8cm和12cm D．12cm和32cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，10，10，能构成三角形；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得6，16，10，不能构成三角形，舍去．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知，对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求解。
6．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=180°﹣∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质对边平行，得到AB∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补，求出∠A的度数.
7．如图，AB∥EF，C是EF上一个动点，当点C的位置变化时，△ABC的面积将（ ）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点C向左还是向右移动
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】△ABC面积与AB及两平行线的距离不变
【分析】根据平行线间的距离相等可知，当点C的位置变化时，点C到AB的距离不变，而△ABC的面积=AB点C到AB的距离，根据同底等高的两个三角形面积相等可得，△ABC的面积不变。
8．（2017八下·罗山期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S△BEC=2S△CEF．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项符合题意；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项符合题意；
④∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故答案为：A．
【分析】根据已知和平行四边形的性质和角平分线定义，得到∠DCF=∠BCF=∠BCD；根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到内错角相等，由ASA得到△AEF≌△DMF，得到FM=EF=FC；由三角形内角和定理得到∠DFE=3∠AEF；由②中的EF=FM，得到等底同高的三角形的面积相等，由MC＞BE，得到面积不等.
10．（2018八上·罗山期末）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝ BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．所以S△ABC= BC h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH= GH h1+ GH h2= GH （h1+h2）= GH h．因为四边形BDHG是平行四边形，且BD= BC，可得GH=BD= BC，所以S阴影= ×（ BC h）= S△ABC=4．
故答案为：B．
【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，就可得出h=h1+h2，再利用三角形的面积公式，可推出S阴影=S△AGH+S△CGH= GH h，然后根据平行四边形的性质，就可得出GH= BC，即可求出阴影部分的面积。
二、填空题
11．（2018·常州）如图，在 ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB= ．
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，
故答案为40°．
【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C=70°，根据等边对等角得出∠C=∠DBC=70°，由三角形的内角和即可算出答案。
12．（2018·泰州）如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为 .
【答案】14
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2CO+2BO=16，即CO+BO=8
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=8+6=14
故答案为：14
【分析】根据平行四边形的性质，可得出AC=2CO，BD=2BO，AD=BC=6，再求出CO+BO的值，就可求出△BOC的周长。
13．（2018·陕西）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S1，S2分别表示 EOF和 GOH的面积，则S1，S2之间的等量关系是
【答案】2S1＝3S2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB 2ON， S平行四边形ABCD=BC 2OM，
∴AB ON=BC OM，
∵S1= EF ON，S2= GH OM，EF＝ AB，GH＝ BC，
∴S1= AB ON，S2= BC OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为：2S1＝3S2.
【分析】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据平行四边形的对称性，由点O是平行四边形ABCD的对称中心，及平行四边形的面积得出，AB ON=BC OM，再根据三角形的面积公式，及EF＝ AB，GH= BC，即可得出答案。
14．（2018·柳州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3.若平行四边形ABCD的周长是16，则EC的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，
∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求得AB=BE，再由平行四边形ABCD的周长是16可求得AD的长，则CE=BC-BE。
15．（2018·潮南模拟）如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有 对．
【答案】3
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】观察可得到有两对同底同高的三角形，即S△ABC=S△BCD，S△ABD=S△ADC，
同时S△ABD-S△AED=S△ADC-S△AED得，S△AEB=S△CED所以共有3对面积相等的三角形．
【分析】根据平行线间的距离相等，观察可得到有两对同底同高的三角形，即S△ABC=S△BCD，S△ABD=S△ADC，根据等量减等量差相等还可以得出S△AEB=S△CED，从而得出答案。
16．（2018·东胜模拟）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为 cm．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出OB=OD，再根据已知易证EO为BD的垂直平分线，可得出BE=DE，然后求△ABE的周长就转化为求出AB+AD的值即可。
17．（2018·吉林模拟）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】41
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF=S△DEF，
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，
即S△APD=S△EPF=16cm2，
同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，、
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=16+25=41cm2．
【分析】根据同底等高的两个三角形的面积相等，得出S△ADF=S△DEF，就可得出S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，S△APD=S△EPF=16cm2，再证明S△BQC=S△EFQ=25cm2，就可求出阴影部分的面积。
三、解答题
18．（2018·淮安）已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F，求证：AE＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AEO和△CFO中，
∵ ，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AO=CO，AD∥BC，根据平行线性质可得∠DAO=∠BCO，再由全等三角形判定ASA得△AEO≌△CFO，由全等三角形性质即可得证.
19．（2018·铜仁模拟）在 ABCD中，E是BC边上一点，F为DE上一点，若∠B=∠AFE，AB=AF．求证：△ADF≌△DEC．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC=∠DEC，
∵∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B=∠AFE，
∴∠AFD=∠C，
∵AB=AF，
∴AF=CD，
在△AFD和△DCE中 ，
∴△ADF≌△DEC（AAS）
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得条件用角角边证得△ADF≌△DEC。
20．如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
【答案】解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴S OEDH＝24
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行线间的距离相等可设平行线AD，GH之间的距离为h1，平行线GH，BC之间的距离为h2，则，，，所以四边形OEDH的面积=24.
21．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
【答案】解：∵AB∥EF，CD∥EG，
∴∠AEF+∠A=180°，
∠DEG+∠D=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠AEF=∠DEG，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH=∠GEH，
∴∠AEF+∠FEH= ×180°=90°，
即∠AEH=90°，
∴EH⊥AB，
∴线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【分析】根据等角的补角相等求出∠AEF=∠DEG，再根据角平分线的定义可得∠FEH=∠GEH，然后求出∠AEH=90°，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义解答．
22．如图所示，直线L1∥L2，C1，C2，C3是L1上的三点，连接C1A，C1B，C2A，C2B，C3A，C3B，得△C1AB，△C2AB，△C3AB，试说明△C1AB，△C2AB，△C3AB的面积相等．
【答案】解：底相同，高相等，则三个三角形的面积相等
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据两条平行线间的距离处处相等，再结合三角形的面积公式，可知：只要两个三角形是等底等高的，则两个三角形的面积相等．
23．如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以 cm/s的速度运动，分别连结AF，CE．设点F运动时间为t（s），其中t＞0．
（1）当t为何值时，∠BAF＜∠BAC；
（2）当t为何值时，AE=CF；
（3）当t为何值时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC．
【答案】（1）解：当BF＜BC时，∠BAF＜∠BAC，
∴ ＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，∠BAF＜∠BAC
（2）解：分两种情况讨论：
点F在点C左侧时，AE=CF，
则2（t+1）=6﹣ t，
解得t= ；
②当点F在点C的右侧时，AE=CF，
则2（t+1）= t﹣6，
解得t= ，
综上所述，t= ，t= 时，AE=CF
（3）解：当BF+AE＜BC，S△ABF+S△ACE＜S△ABC，
t+2（t+1）＜6，
解得t＜ ，
当0＜t＜ 时，S△ABF+S△ACE＜S△ABC
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据边越长，边所对的角越大，可得答案；（2）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案；（3）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式．
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