2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·南京期中）一元二次方程 x2＝ x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）若 与 互为倒数，则实数 为（ ）
A．± B．±1 C．± D．±
3．（2018·临沂）一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为（ ）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1
C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
4．（2019九上·高要期中）小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
5．（2018九上·宜城期中）若一元二次方程 配方后为 ，则b，k的值分别为（ ）
A．-6，4 B．6，4 C．6，13 D．-6，13
6．（2018九上·黄石期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．9和13 D．24
7．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
8．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．x
C． D．
9．（2018九上·天台月考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若x=1，则y等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2018九上·宜城期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
12．（2018九上·灌阳期中）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的非负整数值是（ ）
A．1 B．0,1 C．1,2 D．1,2,3
二、填空题
13．（2018·宁晋模拟）方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是
14．（2017九上·南涧期中）通过配方，把方程2x2-4x-4=0转化成(x+m)2=a形式为 .
15．（2018九上·泰州月考）方程 的解为 ．
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 = .
17．（2018九上·三门期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，若x2＜0，且 ＞﹣1，则整数m的值为 ．
18．（2018九上·长沙期中）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ，例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．
三、解答题
19．（2018九上·天台月考）解方程：
（1）x2﹣4x+1=0．
（2）（2x-3）2=3(2x-3)
20．（2018九上·宜兴月考）用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.2用配方法解一元二次方程 同步训练）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
22．（2019九上·高要期中）已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
23．（2018·嘉兴模拟）对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n．
（1）化简：(a+b)※(a一b)；
（2）解关于x的方程：x※(1※x)=-1．
24．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）在实数范围内定义一种新运算“#”，其规则时：a#b=a2﹣b2．
（1）求4#3与（﹣1）#（﹣2）的值；
（2）求（x+2）#5=0中的x值．
25．（2018九上·台州期中）阅读下列材料：求函数 的最大值.
解：将原函数转化成关于 的一元二次方程，得 .
当 时，∵x为实数，∴△＝
∴ 且 ；
当 时， 即为 ，方程有解（ 的值存在）；
∴ .因此， 的最大值为4.
根据材料给你的启示，求函数 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-x=0，
x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
故答案为：A．
【分析】将方程右边的x移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为，将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解。
2．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；
开方得：x=± ．
故答案为：C
【分析】根据互为倒数的两数的乘积为1，列出方程，整理后利用直接开平方法求出原方程的解。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2﹣y﹣ =0
y2﹣y=
y2﹣y+ =1
（y﹣ ）2=1
故答案为：B．
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答。
4．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵-x2+3x=1，
∴-x2+3x-1=0，
∴a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：A．
【分析】根据公式法，a、b、c对应，解出a、b、c的值。
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵一元二次方程 配方后为 ，
∴ ， ，
∴ ， 的值分别为 -6,4 ，
故答案为：A.
【分析】将 整理成一般形式，再与 比较即可得出b,k的值。
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】方程x（x-9）-13（x-9）=0，
分解因式得：（x-13）（x-9）=0，
解得：x1=13，x2=9，
当第三边为13时，3+8=11＜13，不能构成三角形，舍去；
则三角形周长为3+8+9=20．
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法求出方程的根，然后根据三角形三边的关系判断出三角形的第三边的长度，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x＋6)2＝16，
直接开平方得x＋6＝±4，
即x+6=4或x+6=-4.
故答案为：D.
【分析】观察方程特点：将x+6看着整体，利用直接开平方法，可得出另一个一元一次方程。
8．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式：3x2-12x+4=0，再将a、b、c的值代入公式即可求解。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a=1，b=-2，c=0， =b2-4ac=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、∵a=1，b=4，c=-4， =b2-4ac=42-4×1×（-4）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C、将 化为一般形式为：，∵a=1，b=-4，c=1， =b2-4ac=（-4）2-4×1×1=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意；
D、∵a=3，b=0，c=2， =b2-4ac=02-4×3×2=-24＜0，∴方程没有实数根，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别算出每一个方程的根的判别式 的值，根据 值与0的关系即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；图形的剪拼
【解析】【解答】依题意得（x+y）2=y（y+x+y），
而x=1，
∴y2-y-1=0，
∴y= ，而y不能为负，
∴y= ．
故答案为：B
【分析】观察两图形，可知左图是边长为x+y的正方形，右图是长为y+x+y，宽为y的长方形，根据两图形的面积相等建立方程，将x=1代入可得出关于y的一元二次方程，利用公式法求出方程的解，就可得出符合题意的y的值。
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】算出该方程根的判别式的值，再判断该值与0的大小关系即可得出结论。
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知其根的判别式应该不为负数，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解并找出 的非负整数值即可。
13．【答案】﹣9或11
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11.
【分析】求方程的解关键是适当的分组，将方程两边配成完全平方式，再用直接开平方法求解即可。即：由题意可得：（x2+1）2=（2x+100）2 ，将方程两边直接开平方得，x2+1=（2x+100），①当x2+1=2x+100时，解得x=﹣9或x=11．②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解。
14．【答案】（x-1）2=3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】：∵2x2-4x-4=0，
∴2x2-4x=4，
∴x2-2x=2，
∴x2-2x+1=2+1，
∴（x-1）2=3，
故答案为（x-1）2=3．
【分析】先移项，将二次项的系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可将方程转化为(x+m)2=a形式。
15．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
a= ，b= ，c=-1，
∴△=3+4 ＞0，
，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。
16．【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=（ab＞0），
∴x=± ，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2
∴4a=b
∴ =4.
【分析】根据若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，可得出m+1+2m﹣4=0，求出m的值，就可得出4a=b，即可解答。
17．【答案】-1
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴b2-4ac=（m+2）2-4m×2=（m-2）2＞0
∴m≠2且m≠0
方程的根为：x=
∴x1=1，x2=
∵x2＜0，x2=
∴m＜0
∵
∴
解之：m＞-2
∵m≠2且m≠0
∴-2＜m＜0
∵m为整数
∴m=-1
故答案为：-1
【分析】利用根的判别式可求出m≠2且m≠0，再求出方程的根，根据已知求出m的取值范围，就可求出整数m的值。
18．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2．
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：±3．
【分析】首先利用因式分解法求出方程的两个根，然后分x1＞x2与x1＜x2两种情况根据定义新运算的法则算出结果。
19．【答案】（1）解： ∵x2-4x+1=0，∴a=1，b=-4，c=1，∴△=b2-4ac=12，∴x==2±，∴原方程的解为：x1=2+，x2=2-.
（2）解： ∵（2x-3）2=3（2x-3），
∴（2x-3）（2x-6）=0，
∴x1=，x2=3，
∴原方程的解为：x1=，x2=3.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由公式法解方程即可.（2）用因式分解法解方程即可.
20．【答案】（1）解：（x-1）2=25，
x-1=±5，
所以x1=6，x2=-4
（2）解：原方程可化为（x+3）（x-5）=0，
解得x1=-3，x2=5
（3）解：∵a=3，b=-13，c=-10，
b2-4ac==(-13)2-4×3×(-10)=289>0，
∴x= .
∴x1=5， x2=
（4）解：3（x-3）2+x（x-3）=0，
（x-3）（3x-9+x）=0，
x-3=0或4x-9=0，
所以x1=3， x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点。利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解此方程。
（3）先求出b2-4ac的值，再代入求根公式，求出方程的根。
（4）观察方程的特点：右边为0，左边有公因式（x-3），因此利用因式分解法解此方程。
21．【答案】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+ x=﹣ ，
等式的两边都加上 ，得
x2+ x+ =﹣ + ，
配方，得
（x+ ）2=﹣ ，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+ =± ，
解得x1= ，x2= ，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣ ；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，转化为（x-m）2=n的形式，再分情况讨论，求出方程的解。
22．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，
解得k＞- .
（2）解：当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，
因式分解得（x-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知 △ ＞0，解出k值即可。
（2）将k的值代入一元二次方程，可解出x的两个值。
23．【答案】（1）解：(a+b)(a一b)+(a+b)+(a一b)
=a2-b2+a+b+a-b
=a2-b2+2a
（2）解：∵1※x=x+1+x=2x+1
∴x※(2x+1)=-1
x（2x+1）+x+2x+1=-1
整理得：x2+2x+1=0
（x+1）2=0
解之：x=-1
【知识点】整式的混合运算；公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义运算：m※n=mn+m+n，先列式，再利用整式的运算法则计算即可。
（2）先根据新定义运算求出1※x=2x+1，再x※(2x+1)=-1转化为x（2x+1）+x+2x+1=-1，解方程求解即可。
24．【答案】（1）解：4#3=42﹣32=7，（﹣1）#（﹣2）=（﹣1）2﹣（﹣2）2=﹣3
（2）解：由题意得：（x+2）2﹣52=0，
解得x+2=±5，
∴ x1=3，x2=﹣7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则，列式计算可求解。
（2）根据新定义运算法则，列出关于x的方程，再利用直接开平方法解方程求出x的值。
25．【答案】解：将原函数转化得 当 时，∵x为实数，∴△＝ ＝ ；∴ 且 当y=3时， 即为 ，方程有解（ 的值存在）；∴ .因此，y的最小值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】类比阅读材料给出的方法，分类探讨（当y≠3时和当y=3时）得出函数的最小值即可。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·南京期中）一元二次方程 x2＝ x的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝－1
C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-x=0，
x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
故答案为：A．
【分析】将方程右边的x移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积为0，则这两个因式中至少有一个为，将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解。
2．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）若 与 互为倒数，则实数 为（ ）
A．± B．±1 C．± D．±
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ；
开方得：x=± ．
故答案为：C
【分析】根据互为倒数的两数的乘积为1，列出方程，整理后利用直接开平方法求出原方程的解。
3．（2018·临沂）一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为（ ）
A．（y+ ）2=1 B．（y﹣ ）2=1
C．（y+ ）2= D．（y﹣ ）2=
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2﹣y﹣ =0
y2﹣y=
y2﹣y+ =1
（y﹣ ）2=1
故答案为：B．
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可解答。
4．（2019九上·高要期中）小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵-x2+3x=1，
∴-x2+3x-1=0，
∴a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：A．
【分析】根据公式法，a、b、c对应，解出a、b、c的值。
5．（2018九上·宜城期中）若一元二次方程 配方后为 ，则b，k的值分别为（ ）
A．-6，4 B．6，4 C．6，13 D．-6，13
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵一元二次方程 配方后为 ，
∴ ， ，
∴ ， 的值分别为 -6,4 ，
故答案为：A.
【分析】将 整理成一般形式，再与 比较即可得出b,k的值。
6．（2018九上·黄石期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程x(x-9)-13(x-9)=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．9和13 D．24
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】方程x（x-9）-13（x-9）=0，
分解因式得：（x-13）（x-9）=0，
解得：x1=13，x2=9，
当第三边为13时，3+8=11＜13，不能构成三角形，舍去；
则三角形周长为3+8+9=20．
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法求出方程的根，然后根据三角形三边的关系判断出三角形的第三边的长度，最后根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x＋6)2＝16，
直接开平方得x＋6＝±4，
即x+6=4或x+6=-4.
故答案为：D.
【分析】观察方程特点：将x+6看着整体，利用直接开平方法，可得出另一个一元一次方程。
8．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．x
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2+4=12x，
∴3x2-12x+4=0，
∴a=3，b=-12，c=4，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式：3x2-12x+4=0，再将a、b、c的值代入公式即可求解。
9．（2018九上·天台月考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a=1，b=-2，c=0， =b2-4ac=（-2）2-4×1×0=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、∵a=1，b=4，c=-4， =b2-4ac=42-4×1×（-4）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C、将 化为一般形式为：，∵a=1，b=-4，c=1， =b2-4ac=（-4）2-4×1×1=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故C不符合题意；
D、∵a=3，b=0，c=2， =b2-4ac=02-4×3×2=-24＜0，∴方程没有实数根，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别算出每一个方程的根的判别式 的值，根据 值与0的关系即可得出答案。
10．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习）如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若x=1，则y等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；图形的剪拼
【解析】【解答】依题意得（x+y）2=y（y+x+y），
而x=1，
∴y2-y-1=0，
∴y= ，而y不能为负，
∴y= ．
故答案为：B
【分析】观察两图形，可知左图是边长为x+y的正方形，右图是长为y+x+y，宽为y的长方形，根据两图形的面积相等建立方程，将x=1代入可得出关于y的一元二次方程，利用公式法求出方程的解，就可得出符合题意的y的值。
11．（2018九上·宜城期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】算出该方程根的判别式的值，再判断该值与0的大小关系即可得出结论。
12．（2018九上·灌阳期中）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的非负整数值是（ ）
A．1 B．0,1 C．1,2 D．1,2,3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知其根的判别式应该不为负数，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解并找出 的非负整数值即可。
二、填空题
13．（2018·宁晋模拟）方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是
【答案】﹣9或11
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11.
【分析】求方程的解关键是适当的分组，将方程两边配成完全平方式，再用直接开平方法求解即可。即：由题意可得：（x2+1）2=（2x+100）2 ，将方程两边直接开平方得，x2+1=（2x+100），①当x2+1=2x+100时，解得x=﹣9或x=11．②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解。
14．（2017九上·南涧期中）通过配方，把方程2x2-4x-4=0转化成(x+m)2=a形式为 .
【答案】（x-1）2=3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】：∵2x2-4x-4=0，
∴2x2-4x=4，
∴x2-2x=2，
∴x2-2x+1=2+1，
∴（x-1）2=3，
故答案为（x-1）2=3．
【分析】先移项，将二次项的系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就可将方程转化为(x+m)2=a形式。
15．（2018九上·泰州月考）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
a= ，b= ，c=-1，
∴△=3+4 ＞0，
，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷）若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 = .
【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=（ab＞0），
∴x=± ，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2
∴4a=b
∴ =4.
【分析】根据若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，可得出m+1+2m﹣4=0，求出m的值，就可得出4a=b，即可解答。
17．（2018九上·三门期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，若x2＜0，且 ＞﹣1，则整数m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴b2-4ac=（m+2）2-4m×2=（m-2）2＞0
∴m≠2且m≠0
方程的根为：x=
∴x1=1，x2=
∵x2＜0，x2=
∴m＜0
∵
∴
解之：m＞-2
∵m≠2且m≠0
∴-2＜m＜0
∵m为整数
∴m=-1
故答案为：-1
【分析】利用根的判别式可求出m≠2且m≠0，再求出方程的根，根据已知求出m的取值范围，就可求出整数m的值。
18．（2018九上·长沙期中）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b= ，例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2．
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：±3．
【分析】首先利用因式分解法求出方程的两个根，然后分x1＞x2与x1＜x2两种情况根据定义新运算的法则算出结果。
三、解答题
19．（2018九上·天台月考）解方程：
（1）x2﹣4x+1=0．
（2）（2x-3）2=3(2x-3)
【答案】（1）解： ∵x2-4x+1=0，∴a=1，b=-4，c=1，∴△=b2-4ac=12，∴x==2±，∴原方程的解为：x1=2+，x2=2-.
（2）解： ∵（2x-3）2=3（2x-3），
∴（2x-3）（2x-6）=0，
∴x1=，x2=3，
∴原方程的解为：x1=，x2=3.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由公式法解方程即可.（2）用因式分解法解方程即可.
20．（2018九上·宜兴月考）用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：（x-1）2=25，
x-1=±5，
所以x1=6，x2=-4
（2）解：原方程可化为（x+3）（x-5）=0，
解得x1=-3，x2=5
（3）解：∵a=3，b=-13，c=-10，
b2-4ac==(-13)2-4×3×(-10)=289>0，
∴x= .
∴x1=5， x2=
（4）解：3（x-3）2+x（x-3）=0，
（x-3）（3x-9+x）=0，
x-3=0或4x-9=0，
所以x1=3， x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点。利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法解此方程。
（3）先求出b2-4ac的值，再代入求根公式，求出方程的根。
（4）观察方程的特点：右边为0，左边有公因式（x-3），因此利用因式分解法解此方程。
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.2用配方法解一元二次方程 同步训练）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
【答案】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，
∴a≠0．
∴由原方程，得
x2+ x=﹣ ，
等式的两边都加上 ，得
x2+ x+ =﹣ + ，
配方，得
（x+ ）2=﹣ ，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+ =± ，
解得x1= ，x2= ，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣ ；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，转化为（x-m）2=n的形式，再分情况讨论，求出方程的解。
22．（2019九上·高要期中）已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，
解得k＞- .
（2）解：当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，
因式分解得（x-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知 △ ＞0，解出k值即可。
（2）将k的值代入一元二次方程，可解出x的两个值。
23．（2018·嘉兴模拟）对于实数m、n，我们定义一种运算“※”为：m※n=mn+m+n．
（1）化简：(a+b)※(a一b)；
（2）解关于x的方程：x※(1※x)=-1．
【答案】（1）解：(a+b)(a一b)+(a+b)+(a一b)
=a2-b2+a+b+a-b
=a2-b2+2a
（2）解：∵1※x=x+1+x=2x+1
∴x※(2x+1)=-1
x（2x+1）+x+2x+1=-1
整理得：x2+2x+1=0
（x+1）2=0
解之：x=-1
【知识点】整式的混合运算；公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义运算：m※n=mn+m+n，先列式，再利用整式的运算法则计算即可。
（2）先根据新定义运算求出1※x=2x+1，再x※(2x+1)=-1转化为x（2x+1）+x+2x+1=-1，解方程求解即可。
24．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）在实数范围内定义一种新运算“#”，其规则时：a#b=a2﹣b2．
（1）求4#3与（﹣1）#（﹣2）的值；
（2）求（x+2）#5=0中的x值．
【答案】（1）解：4#3=42﹣32=7，（﹣1）#（﹣2）=（﹣1）2﹣（﹣2）2=﹣3
（2）解：由题意得：（x+2）2﹣52=0，
解得x+2=±5，
∴ x1=3，x2=﹣7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则，列式计算可求解。
（2）根据新定义运算法则，列出关于x的方程，再利用直接开平方法解方程求出x的值。
25．（2018九上·台州期中）阅读下列材料：求函数 的最大值.
解：将原函数转化成关于 的一元二次方程，得 .
当 时，∵x为实数，∴△＝
∴ 且 ；
当 时， 即为 ，方程有解（ 的值存在）；
∴ .因此， 的最大值为4.
根据材料给你的启示，求函数 的最小值.
【答案】解：将原函数转化得 当 时，∵x为实数，∴△＝ ＝ ；∴ 且 当y=3时， 即为 ，方程有解（ 的值存在）；∴ .因此，y的最小值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】类比阅读材料给出的方法，分类探讨（当y≠3时和当y=3时）得出函数的最小值即可。
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