2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·江阴期中）某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（ ）
A．50m B．100m C．120m D．130m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意知AB=130米，tanB= =1：2.4，
设AC=x，则BC=2.4x，
则x2+（2.4x）2=1302，
解得x=50（负值舍去），
即他的高度上升了50m，
故答案为：A．
【分析】根据坡度的定义得出tanB= =1：2.4，设AC=x，则BC=2.4x，根据勾股定理建立方程，求解并检验即可。
2．（2018·奉贤模拟）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cos∠BCD= ，可得BC= .
故答案为：B．
【分析】根据同角的余角相等可得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中 cos∠BCD=，所以BC=.
3．（2018·定兴模拟）如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】则另一条直角边为 ，根据正切=对边：邻边，即tanθ= .
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出直角边，再根据锐角三角函数的正切等于对边比两边求即可
4．（2018·长宁模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，∴cosα= ，∴AB= = ．故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，根据cosα=即可求解。
5．（2018·浦东模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图：
由锐角三角函数定义，知： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数定义可得 sinA =.
6．（2018·吉林模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由A、B互为余角可知：cosB=sin（90°﹣B）=sinA= ．
故答案为：D．
【分析】因为A、B互为余角，所以可得cosB=sin（90°﹣B）=sinA=.
7．为测量被池塘相隔的两棵树 ， 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树 沿着垂直于 的方向走到 ，再从 沿着垂直于 的方向走到 ， 为 上一点。其中 位同学分别测得三组数据：（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ， ， 。其中能根据所测数据求得 ， 两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：第（1）组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；
第（2）组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；
第（3）组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．
故答案为：D．
【分析】（1）根据AB=ACtan，已知∠ACB和AC的长，可求AB。（2）已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB。（3）根据△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长。
8．（2018·包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点E是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形，在Rt△BDC中，求出BD的长，再根据点E是BC中点，因此连接DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出DE的长，再根据已知证明△DEF∽△BAF，得出对应边成比例，就可求出DF的长。
9．（2018·温州模拟）如图，把边长为a cm的等边△ABC剪成四部分，从三角形三个顶点往下b cm处，呈 30°角 下剪刀，使中间部分形成一个小的等边△DEF.若△DEF的面积是△ABC的 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长 与 交于点N，易得
根据△DEF的面积是△ABC的 ，则
根据 可得：
则： ，
根据 得
整理得：
即
故答案为：B.
【分析】延迟 M F 与 B C 交于点N，易得 ∠ B N M = 90 ° ， 利用△DEF的面积和△ABC的面积之间的关系，可用含a的代数式表示出DF、BM的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，表示出MN、MD、FN的长，然后利用MN=MD+DF+FN，建立方程，就可得出b与a的比值。
10．（2018·温州模拟）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90°
∴tan∠α=
∴
解之：DE=1.5
∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2
故答案为：C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。
二、填空题
11．（2018·长春）如图，在 ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
【答案】20
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°，
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
【分析】根据题意可知当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，在Rt△ABE中，利用解直角三角形或勾股定理求出AE、BE的长，再根据平移的性质求出EF=BC=AD，就可求出四边形AEFD的周长。
12．（2018·南宁）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=可求得CD。
13．（2018·宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：依题可得：
∠ACD=45°，∠BCD=30°，CH=1200，
∵CD∥AB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠CBH=∠BCD=30°，
∴AH=CH=1200，
设AB=x米，
在Rt△CHB中，
∴tan∠CBH= ，
即 = ，
解得：x=1200 -1200.
故答案为：1200 -1200.
【分析】根据平行线的性质结合已知条件得∠CAH=∠ACD=45°，∠CBH=∠BCD=30°，设AB=x米，在Rt△CHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得AB长.
14．（2018·重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到 ，若 厘米，则 的边 的长为 厘米.
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的应用
【解析】【解答】过点E作EH⊥AG于H，
∵AE=EG=2 ，∠AGE=30°，
∴AG=2AH =2AE cos30°=2×2 × =6，
由翻折得 ，
∴ ，
故答案为：6+4 .
【分析】过点E作EH⊥AG于H，根据等腰三角形的三线合一及余弦函数的定义得出AG=2AH =2AE cos30°=6，根据翻折的性质可知BE = AE = 2 ， GC=GA = 6 ，然后根据BC=BE+EG +GC得出答案。
15．（2018·葫芦岛）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为 米（结果保留根号）．
【答案】100+100
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，
∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．
∵CD=100米，
∴AD=CD=100米，DB= =100 米，
∴AB=AD+DB=100+100 （米）．
故答案为：100+100 ．
【分析】由已知可得出∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．再根据CD的长，利用解直角三角形分别求出AD、BD的长，就可得出结果。
16．（2018·仙桃）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+ ）n mile处，则海岛A，C之间的距离为 n mile．
【答案】18
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
设AC=x海里，
在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD= x，
则CD= x，
在Rt△ABD中，BD= x，
则 x+ x=18（1+ ），解得，x=18 ，
答：A，C之间的距离为18 海里．
故答案为：18
【分析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AC×sin∠ACD，表示出AD，进而根据等腰直角三角形的性质表示出CD，在Rt△ABD中根据正切函数的定义，由BD=，表示出BD，根据BD+CD=BC，列出方程，求解即可。
三、解答题
17．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
【答案】解：如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离；
由题意得，四边形CDEF是矩形，
∴CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米，
设AG=x米，
∵∠ACG=30°，∠AFG=45°，∠AGC=∠AGF=90°，
∴GF=AG=x，AC=2AG=2x，
∴CG= 米，
∴DE=BD+BE=CG+GF= x+x=135，
∴x≈49.28，∴AB=AG+GB=50.9米，
∴古松树高=50.9米＜60米，
∴小阳的说法正确．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离； 由题意得，四边形CDEF是矩形， 根据矩形的性质得出 CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米， 设AG=x米， 根据等腰直角三角形的性质得出 GF=AG=x，根据含30°直角三角形的边之间的关系AC=2AG=2x， 根据勾股定理得出CG的长，进而根据 CF=CG+GF 建立方程，求解得出x的值，进而求出树的高度，即可得出答案。
18．（2018九上·青岛期中）某地发生8.1级地震，震源深度20千米．救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：过C作CD⊥AB，设CD=x米，∵∠ABE=45°，∴∠CBD=45°，∴DB=CD=x米，∵∠CAD=30°，∴AD= CD= x米，∵AB相距2米，∴ x﹣x=2，解得：x= ．答：生命所在点C与探测面的距离是 米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB，设CD=x米，根据等腰直角三角形的性质得出DB=CD=x米，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AD= CD= x，然后根据AB=AD-BD即可列出方程，求解即可。
19．（2018·广元）如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，则在Rt△PAE和Rt△PBE中， ， BE=PE，而AE+BE=AB， 即 ， ∴PE= ，∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，∴公路不会穿越保护区.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，只要算出PE的长，再与50比大小即可得出结论，在Rt△PAE和Rt△PBE中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AE=PE tan∠APE=PE tan30°，表示出AE，根据等腰直角三角形的性质得出 BE=PE，然后由AE+BE=AB，建立方程，求解即可求出PE的长。
20．（2018·泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 ，其中 为楼间水平距离， 为南侧楼房高度， 为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡 朝北， 长为 ，坡度为 ，山坡顶部平地 上有一高为 的楼房 ，底部 到 点的距离为 .
（1）求山坡 的水平宽度 ；
（2）欲在 楼正北侧山脚的平地 上建一楼房 ，已知该楼底层窗台 处至地面 处的高度为 ，要使该楼的日照间距系数不低于 ，底部 距 处至少多远？
【答案】（1）解：∵EF的坡度i=1：0.75=4：3
∴EH：FH=4：3
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2
即16x2+9x2=25x2=152
解之：x=3
∴FH=9，EH=12
答：山坡 的水平宽度 的长为9m。
（2）解：延长BA、FH，两延长线交于点G，
∵EH=12，AB=22.5
∴AG=EH=12，AE=HG=4
∴L=CG=CF+FH+HG=CF+13
BG=AB+AG=22.5+12=34.5
∴（CF+13）：（BG-PC）≥1.25
即（CF+13）：（34.5-0.9）≥1.25
解之：CF≥29
CF取最小整数
∴CF=29
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据EF的坡度，可得出EH：FH=4：3，再利用勾股定理，建立方程求解即可。（2）根据题意添加辅助线，延长BA、FH，两延长线交于点G，根据矩形的性质，可得出AG=EH=12，AE=HG=4，再求出L=13+CF及BG的长，根据该楼的日照间距系数(日照间距系数 ）≥ ，建立不等式，求出不等式的最小整数解即可。
21．（2018·株洲）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线 都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘）， 上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 千米， 上的点N位于点M的北偏东 方向上，且 ，MN= 千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.
（1）求 之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
【答案】（1）解：过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα= ，MN=2 千米，
∴cosα= ，
解得：DM=2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km
（2）解：∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM= 千米，∴tan30°= ，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2 km，DM=2km，∴DN= =4 （km），则NC=DN+BM=5 （km），∴AN= =10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要 小时
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点M作MD⊥NC于点D，根据余弦函数的定义，由cosα=即可得出答案；
（2）根据正切函数的定义由tan30°=及特殊锐角的三角函数值即可得出AB的长，进而得出AC的长，根据勾股定理可以得出DN的长，根据矩形的性质及线段的和差得出NC的长，根据勾股定理得出AN的长，然后根据时间等于路程除以速度，即可得出答案。
22．（2018·资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．
（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；
（2）当她从点A跑动9 米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．
【答案】（1）解：∵在Rt△ACD中，cos∠CAD= ，AC=18、∠CAD=30°，
∴AD= = = =12 （米），
答：此时风筝线AD的长度为12 米
（2）解：设AF=x米，则BF=AB+AF=9 +x（米），在Rt△BEF中，BE= = =18+ x（米），
由题意知AD=BE=18+ x（米），
∵CF=10 ，
∴AC=AF+CF=10 +x，
由cos∠CAD= 可得 = ，
解得：x=3 +2 ，则AD=18+ （3 +2 ）=24+3 ，
∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ，
则C1D=CD+C1C= + = ，
答：风筝原来的高度C1D为 米
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ACD中根据余弦函数的定义，由AD=，及特殊锐角三角函数值，即可求出答案；
（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9 +x（米），在Rt△BEF中，利用余弦函数的定义，由BE= ，表示出BE的长，由题意知AD=BE=18+ x（米），AC=AF+CF=10 +x，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由cos∠CAD=，建立方程，求解得出AD的长，再根据CD=ADsin∠CAD算出CD的长，最后由C1D=CD+C1C算出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·江阴期中）某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（ ）
A．50m B．100m C．120m D．130m
2．（2018·奉贤模拟）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·定兴模拟）如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·长宁模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（ ）
A． B． C．3sinα D．3cosα
5．（2018·浦东模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·吉林模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．为测量被池塘相隔的两棵树 ， 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树 沿着垂直于 的方向走到 ，再从 沿着垂直于 的方向走到 ， 为 上一点。其中 位同学分别测得三组数据：（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ， ， 。其中能根据所测数据求得 ， 两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组 C．二组 D．三组
8．（2018·包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·温州模拟）如图，把边长为a cm的等边△ABC剪成四部分，从三角形三个顶点往下b cm处，呈 30°角 下剪刀，使中间部分形成一个小的等边△DEF.若△DEF的面积是△ABC的 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·温州模拟）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB= 米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα=，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
二、填空题
11．（2018·长春）如图，在 ABCD中，AD=7，AB=2 ，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
12．（2018·南宁）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是 m（结果保留根号）
13．（2018·宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
14．（2018·重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到 ，若 厘米，则 的边 的长为 厘米.
15．（2018·葫芦岛）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为 米（结果保留根号）．
16．（2018·仙桃）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+ ）n mile处，则海岛A，C之间的距离为 n mile．
三、解答题
17．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”
小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
18．（2018九上·青岛期中）某地发生8.1级地震，震源深度20千米．救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）
19．（2018·广元）如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
20．（2018·泰州）日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数 ，其中 为楼间水平距离， 为南侧楼房高度， 为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡 朝北， 长为 ，坡度为 ，山坡顶部平地 上有一高为 的楼房 ，底部 到 点的距离为 .
（1）求山坡 的水平宽度 ；
（2）欲在 楼正北侧山脚的平地 上建一楼房 ，已知该楼底层窗台 处至地面 处的高度为 ，要使该楼的日照间距系数不低于 ，底部 距 处至少多远？
21．（2018·株洲）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线 都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘）， 上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 千米， 上的点N位于点M的北偏东 方向上，且 ，MN= 千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.
（1）求 之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
22．（2018·资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．
（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；
（2）当她从点A跑动9 米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意知AB=130米，tanB= =1：2.4，
设AC=x，则BC=2.4x，
则x2+（2.4x）2=1302，
解得x=50（负值舍去），
即他的高度上升了50m，
故答案为：A．
【分析】根据坡度的定义得出tanB= =1：2.4，设AC=x，则BC=2.4x，根据勾股定理建立方程，求解并检验即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cos∠BCD= ，可得BC= .
故答案为：B．
【分析】根据同角的余角相等可得∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中 cos∠BCD=，所以BC=.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】则另一条直角边为 ，根据正切=对边：邻边，即tanθ= .
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出直角边，再根据锐角三角函数的正切等于对边比两边求即可
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，∴cosα= ，∴AB= = ．故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，根据cosα=即可求解。
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图：
由锐角三角函数定义，知： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数定义可得 sinA =.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由A、B互为余角可知：cosB=sin（90°﹣B）=sinA= ．
故答案为：D．
【分析】因为A、B互为余角，所以可得cosB=sin（90°﹣B）=sinA=.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：第（1）组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；
第（2）组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；
第（3）组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．
故答案为：D．
【分析】（1）根据AB=ACtan，已知∠ACB和AC的长，可求AB。（2）已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB。（3）根据△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点E是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形，在Rt△BDC中，求出BD的长，再根据点E是BC中点，因此连接DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出DE的长，再根据已知证明△DEF∽△BAF，得出对应边成比例，就可求出DF的长。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长 与 交于点N，易得
根据△DEF的面积是△ABC的 ，则
根据 可得：
则： ，
根据 得
整理得：
即
故答案为：B.
【分析】延迟 M F 与 B C 交于点N，易得 ∠ B N M = 90 ° ， 利用△DEF的面积和△ABC的面积之间的关系，可用含a的代数式表示出DF、BM的长，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，表示出MN、MD、FN的长，然后利用MN=MD+DF+FN，建立方程，就可得出b与a的比值。
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，四边形AECB是矩形
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5，∠DEA=90°
∴tan∠α=
∴
解之：DE=1.5
∴DC=DE+CE=1.5+1.7=3.2
故答案为：C
【分析】根据题意可得出四边形AECB是矩形，从而可求出CE、AE的长，再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=DE+CE，可求得结果。
11．【答案】20
【知识点】平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2 ，∠B=60°，
∴AE=3，BE= ，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.
【分析】根据题意可知当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，在Rt△ABE中，利用解直角三角形或勾股定理求出AE、BE的长，再根据平移的性质求出EF=BC=AD，就可求出四边形AEFD的周长。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=可求得CD。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：依题可得：
∠ACD=45°，∠BCD=30°，CH=1200，
∵CD∥AB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠CBH=∠BCD=30°，
∴AH=CH=1200，
设AB=x米，
在Rt△CHB中，
∴tan∠CBH= ，
即 = ，
解得：x=1200 -1200.
故答案为：1200 -1200.
【分析】根据平行线的性质结合已知条件得∠CAH=∠ACD=45°，∠CBH=∠BCD=30°，设AB=x米，在Rt△CHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得AB长.
14．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形的应用
【解析】【解答】过点E作EH⊥AG于H，
∵AE=EG=2 ，∠AGE=30°，
∴AG=2AH =2AE cos30°=2×2 × =6，
由翻折得 ，
∴ ，
故答案为：6+4 .
【分析】过点E作EH⊥AG于H，根据等腰三角形的三线合一及余弦函数的定义得出AG=2AH =2AE cos30°=6，根据翻折的性质可知BE = AE = 2 ， GC=GA = 6 ，然后根据BC=BE+EG +GC得出答案。
15．【答案】100+100
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，
∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．
∵CD=100米，
∴AD=CD=100米，DB= =100 米，
∴AB=AD+DB=100+100 （米）．
故答案为：100+100 ．
【分析】由已知可得出∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．再根据CD的长，利用解直角三角形分别求出AD、BD的长，就可得出结果。
16．【答案】18
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
设AC=x海里，
在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD= x，
则CD= x，
在Rt△ABD中，BD= x，
则 x+ x=18（1+ ），解得，x=18 ，
答：A，C之间的距离为18 海里．
故答案为：18
【分析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AC×sin∠ACD，表示出AD，进而根据等腰直角三角形的性质表示出CD，在Rt△ABD中根据正切函数的定义，由BD=，表示出BD，根据BD+CD=BC，列出方程，求解即可。
17．【答案】解：如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离；
由题意得，四边形CDEF是矩形，
∴CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米，
设AG=x米，
∵∠ACG=30°，∠AFG=45°，∠AGC=∠AGF=90°，
∴GF=AG=x，AC=2AG=2x，
∴CG= 米，
∴DE=BD+BE=CG+GF= x+x=135，
∴x≈49.28，∴AB=AG+GB=50.9米，
∴古松树高=50.9米＜60米，
∴小阳的说法正确．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图，AB表示古松树的高，CD，EF分别表示小红和小阳的眼睛到地面的距离； 由题意得，四边形CDEF是矩形， 根据矩形的性质得出 CD=BG=EF=1.6米，CF=DE=135米， 设AG=x米， 根据等腰直角三角形的性质得出 GF=AG=x，根据含30°直角三角形的边之间的关系AC=2AG=2x， 根据勾股定理得出CG的长，进而根据 CF=CG+GF 建立方程，求解得出x的值，进而求出树的高度，即可得出答案。
18．【答案】解：过C作CD⊥AB，设CD=x米，∵∠ABE=45°，∴∠CBD=45°，∴DB=CD=x米，∵∠CAD=30°，∴AD= CD= x米，∵AB相距2米，∴ x﹣x=2，解得：x= ．答：生命所在点C与探测面的距离是 米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过C作CD⊥AB，设CD=x米，根据等腰直角三角形的性质得出DB=CD=x米，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AD= CD= x，然后根据AB=AD-BD即可列出方程，求解即可。
19．【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，则在Rt△PAE和Rt△PBE中， ， BE=PE，而AE+BE=AB， 即 ， ∴PE= ，∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，∴公路不会穿越保护区.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，只要算出PE的长，再与50比大小即可得出结论，在Rt△PAE和Rt△PBE中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AE=PE tan∠APE=PE tan30°，表示出AE，根据等腰直角三角形的性质得出 BE=PE，然后由AE+BE=AB，建立方程，求解即可求出PE的长。
20．【答案】（1）解：∵EF的坡度i=1：0.75=4：3
∴EH：FH=4：3
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2
即16x2+9x2=25x2=152
解之：x=3
∴FH=9，EH=12
答：山坡 的水平宽度 的长为9m。
（2）解：延长BA、FH，两延长线交于点G，
∵EH=12，AB=22.5
∴AG=EH=12，AE=HG=4
∴L=CG=CF+FH+HG=CF+13
BG=AB+AG=22.5+12=34.5
∴（CF+13）：（BG-PC）≥1.25
即（CF+13）：（34.5-0.9）≥1.25
解之：CF≥29
CF取最小整数
∴CF=29
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据EF的坡度，可得出EH：FH=4：3，再利用勾股定理，建立方程求解即可。（2）根据题意添加辅助线，延长BA、FH，两延长线交于点G，根据矩形的性质，可得出AG=EH=12，AE=HG=4，再求出L=13+CF及BG的长，根据该楼的日照间距系数(日照间距系数 ）≥ ，建立不等式，求出不等式的最小整数解即可。
21．【答案】（1）解：过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα= ，MN=2 千米，
∴cosα= ，
解得：DM=2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km
（2）解：∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM= 千米，∴tan30°= ，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2 km，DM=2km，∴DN= =4 （km），则NC=DN+BM=5 （km），∴AN= =10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要 小时
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点M作MD⊥NC于点D，根据余弦函数的定义，由cosα=即可得出答案；
（2）根据正切函数的定义由tan30°=及特殊锐角的三角函数值即可得出AB的长，进而得出AC的长，根据勾股定理可以得出DN的长，根据矩形的性质及线段的和差得出NC的长，根据勾股定理得出AN的长，然后根据时间等于路程除以速度，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：∵在Rt△ACD中，cos∠CAD= ，AC=18、∠CAD=30°，
∴AD= = = =12 （米），
答：此时风筝线AD的长度为12 米
（2）解：设AF=x米，则BF=AB+AF=9 +x（米），在Rt△BEF中，BE= = =18+ x（米），
由题意知AD=BE=18+ x（米），
∵CF=10 ，
∴AC=AF+CF=10 +x，
由cos∠CAD= 可得 = ，
解得：x=3 +2 ，则AD=18+ （3 +2 ）=24+3 ，
∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ，
则C1D=CD+C1C= + = ，
答：风筝原来的高度C1D为 米
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ACD中根据余弦函数的定义，由AD=，及特殊锐角三角函数值，即可求出答案；
（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9 +x（米），在Rt△BEF中，利用余弦函数的定义，由BE= ，表示出BE的长，由题意知AD=BE=18+ x（米），AC=AF+CF=10 +x，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由cos∠CAD=，建立方程，求解得出AD的长，再根据CD=ADsin∠CAD算出CD的长，最后由C1D=CD+C1C算出答案。
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