2017-2018学年浙教版八年级下册第四章第五节 三角形的中位线 同步训练
一、单选题
1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．MN∥AB
B．AB=24m
C．△CMN∽△CAB
D．△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：2
2．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是（ ）
A．120° B．150° C．135° D．140°
3．如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2，则DC和EF的大小关系是（ ）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较
4．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2017·河北模拟）如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．（2017八下·临泽期末）已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为
三、解答题
9．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴CM=MA，
∴CM：CA=1：2，
∴△CMN与△ACB的面积之比为1：4，
即△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：3，
故描述错误的是D选项．
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30°，
∴∠EPF=120°．
故选A．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠EPF的度数．
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=，
在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD=AB=，
∴CD=EF，
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理证明EF=AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=AB，得到答案．
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG=AC，
∵AC=6，
∴AG=AC=6，FG=CF，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG，
∵AB=8，
∴BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
∴EF=1．
故选C．
【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=6，FG=CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF= AC，FE= AB，DE= BC；
∴DF+FE+DE= AC+ AB+ BC= （AC+BA+CB）= ×（6+7+5）=9．
故答案为：A．
【分析】三中位线围城的三角形与原三角形相似，相似比为1：2，周长之比为1：2 ，据此可求出△DEF的周长.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分．可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线．
根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6（cm）．
故选B．
【分析】由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解．
7．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：△ABC的周长为1，新的三角形的三条边为△ABC的三条中位线，
根据中位线定理,三条中位线之和为三角形三条边的 ，所以第2个三角形周长为 ；
第3个三角形的周长为 ；以此类推,第N个三角形的周长为 ；
所以第2010个三角形的周长为 .
故选择D.
【分析】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的 的规律，进行分析解决题目.
8．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3；
又∵CE=CD，
∴CE==1，
∴ED=CE+CD=1+3=4；
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线．
∴BF=2ED=2×4=8，
即BF的长为8．
故答案为：8．
【分析】首先根据直角三角形斜边上中线的性质，求出CD的长度是多少；然后根据CE=CD，求出CE的长度是多少，进而求出ED的长度是多少；最后判断出ED是△AFB的中位线，根据三角形中位线定理，求出BF的长为多少即可．
9．【答案】证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE=EB，
∴E是AB中点，
∴EF=BD．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD．
10．【答案】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
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一、单选题
1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．MN∥AB
B．AB=24m
C．△CMN∽△CAB
D．△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：2
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，
∵M是AC的中点，
∴CM=MA，
∴CM：CA=1：2，
∴△CMN与△ACB的面积之比为1：4，
即△CMN与四边形ABMN的面积之比为1：3，
故描述错误的是D选项．
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答即可．
2．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是（ ）
A．120° B．150° C．135° D．140°
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30°，
∴∠EPF=120°．
故选A．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠EPF的度数．
3．如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=2，则DC和EF的大小关系是（ ）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC=EF D．无法比较
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=AB=，
在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD=AB=，
∴CD=EF，
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理证明EF=AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=AB，得到答案．
4．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG=AC，
∵AC=6，
∴AG=AC=6，FG=CF，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG，
∵AB=8，
∴BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
∴EF=1．
故选C．
【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG=AC=6，FG=CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
5．（2017·河北模拟）如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF= AC，FE= AB，DE= BC；
∴DF+FE+DE= AC+ AB+ BC= （AC+BA+CB）= ×（6+7+5）=9．
故答案为：A．
【分析】三中位线围城的三角形与原三角形相似，相似比为1：2，周长之比为1：2 ，据此可求出△DEF的周长.
6．如图所示， ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分．可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线．
根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6（cm）．
故选B．
【分析】由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解．
7．（2017八下·临泽期末）已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：△ABC的周长为1，新的三角形的三条边为△ABC的三条中位线，
根据中位线定理,三条中位线之和为三角形三条边的 ，所以第2个三角形周长为 ；
第3个三角形的周长为 ；以此类推,第N个三角形的周长为 ；
所以第2010个三角形的周长为 .
故选择D.
【分析】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的 的规律，进行分析解决题目.
二、填空题
8．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3；
又∵CE=CD，
∴CE==1，
∴ED=CE+CD=1+3=4；
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线．
∴BF=2ED=2×4=8，
即BF的长为8．
故答案为：8．
【分析】首先根据直角三角形斜边上中线的性质，求出CD的长度是多少；然后根据CE=CD，求出CE的长度是多少，进而求出ED的长度是多少；最后判断出ED是△AFB的中位线，根据三角形中位线定理，求出BF的长为多少即可．
三、解答题
9．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
【答案】证明：∵CD=CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE=EB，
∴E是AB中点，
∴EF=BD．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD．
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长．
【答案】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（SAS），∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
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