2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
2．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
3．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知PA=PB、DA=DC、EC=EB，再根据△PDE的周长为12即可求解。
4．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
5．（2018·广安）下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的判定；切线长定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用命题与证明、切线长定理、平行四边形的判定、一元二次方程根的判别式，对各选项分别判断，即可得出答案。
6．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
8．如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，且∠APB=40°，下列结论不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，∴∠AOP=180°－∠APO－∠OAP=70°.故A，B，D都是正确的只有C符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，进而根据角平分线的定义及垂直的定义得出∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，根据三角形的内角和即可得出答案。
9．下列说法正确的是（ ）
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：A、过圆外任意一点总可以作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；
B、圆的切线长就是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度就是圆的切线长；故B错误，不符合题意；
C、根据切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；
D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理及定义即可一一判断。
10．（2017九上·抚宁期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
二、填空题
11．（2018·白云模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， ，若量出 ，则圆形螺母的外直径是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 ，如图所示：
分别为圆O的切线，
为 的平分线， ，又 ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
则圆形螺母的直径为 ．
故答案为： ．
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 OD ， OE ， OA ，根据切线的性质可得AO 为 平分∠ DAB ，OD ⊥ AC ， OD ⊥ AC ，由∠ CAB = 60 ° 得到∠ OAE = ∠ OAD = ∠ DAB = 60 °，由锐角三角函数求出OD的长，从而求出圆形螺母的直径.
12．（2018·资中模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在 上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ 。
故答案为：
【分析】由题意知，当CD∥AB时，切线CD的长最小。由切线长定理易得三角形PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PB， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△PAB是等边三角形，由CD∥AB易得△PCD是等边三角形，则根据三角形PCD的周长可求得CD的长。
13．（2018·成华模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE= ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH，
∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴ ，
解得：x=6－ 或x=6+ (舍去)，
∴AE=6－ ．
【分析】由已知条件可知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据切线长定理可得出ED=EH，FC=FH，再由B、F关于EI对称，用含x的代数式分别表示出IF、ED、FH、EF的长，再在Rt△EFI中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出符合题意的x的值，就可得出AE的长。
14．（2017·上思模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了切线长定理，由于AB、AC、BD是⊙O的切线，运用切线长定理并利用等式的性质可得，AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
15．（2018九上·抚顺期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】44
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC=AB+CD=10+12=22，
∴四边形ABCD的周长=22×2=44.
故答案为： .
【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等，可计算出周长.
16．（2016九下·澧县开学考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是 ．
【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故答案为：20．
【分析】根据切线长定理知：PA=PB=10，CA=CE，DE=DB ，根据三角形的周长=PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB，计算即可。
三、解答题
17．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
18．已知：如图，过圆O外一点B作圆O的切线BM，M为切点，BO交圆O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，圆O的半径为1．求：MP的长.
【答案】解：连接OM，则OM⊥BM，
在Rt△BOM中，OM=1，BO=3，
根据勾股定理，得BM= ；
∵AP⊥OB，
∴AP是圆的切线，
又PM是圆的切线，
∴AP=MP；
在Rt△APB中，
设AP=x，AB=3-1=2，BP=2 -x；
根据勾股定理得：（2 -x）2=x2+4
解得x= .
∴AP=.
故MP的长为 .
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OM，由切线的性质可知OM⊥BM，在Rt△BOM中借助勾股定理可得BM的长，由条件可知AP、PM都是圆的切线，根据切线长定理有AP=MP，设AP=x，在Rt△APB中借助勾股定理列出x的方程，据此解答即可。
19．（2018·灌云模拟）如图，D为 上一点，点C在直径BA的延长线上，且 ．
（1）判断直线CD与 的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作的 切线交CD的延长线于点E，若 ， ，求 的半径长．
【答案】（1）解：直线CD和 的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
已知D为 的一点，
直线CD是 的切线，
即直线CD和 的位置关系是相切
（2）解： ， ，过点B作的 切线交CD的延长线于点E，
，
根据切线长定理可得： ，
，
设 的半径是x，
， ，
∽ ，
，
即 ，
解得： ，
即 的半径长为 ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）要证CD与⊙O的切线，连接OD。证明OD⊥CD，根据等腰三角形的性质可得出∠OBD=∠ODB，利用直径所对的圆周角是直角，可得出∠ODB+∠ODA=90°，再由∠CDA=∠CBD ，可得出∠ODC=90°，从而可得出结论。
（2）先利用勾股定理求出CE的长，利用切线长定理求出DE=BE=5，设圆的半径为x，再证明△ODC∽△EBC，得出对应边成比例，建立关于x的方程，求出x的值。
20．（2018·襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连接OE、BE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE
（2）解：如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4 ，
∵CF= =2 ，
∴BC﹣AD=2 ，
∴BC=3 ，
在直角△OBC中，tan∠BOC= = ，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°，
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2× BC OB﹣ =9 ﹣3π
【知识点】切线的判定与性质；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）如图，连接OE、BE，根据等边对等角得出∠OBE=∠OEB．∠CBE=∠CEB，根据等式的性质得出∠OBC=∠OEC．根据切线的性质得出∠OEC=∠OBC=90°；从而得出CD为⊙O的切线，根据切线长定理得出DA=DE ；
（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等得出AD=BF，DF=AB=6，根据切线长定理得出DC=BC+AD=4 ，根据勾股定理得出CF的长，进而得出BC的长，在直角△OBC中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠BOC=60°．然后利用SSS判断出△OEC≌△OBC，从而得出∠BOE=2∠BOC=120°，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE即可得出答案。
21．（2018·福田模拟）如图，在 ，O是AC上的一点， 圆 与BC，AB分别切于点C，D， 与AC相交于点E，连接BO.
（1）求证：CE2=2DE BO；
（2）若BC=CE=6，则AE= ，AD= .
【答案】（1）证明：连接CD交
∴BC与 O相切于C，
EC是 O的直径， ，
BC，BD分别与 O相切于C，D， BO垂直平分CD，
从而在Rt 得
故 ，得 ，CE ，
又 CE，
（2）2；4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】⑵解：连接OD，
BC=CE=6，OD=OE=OC=3，
设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.
由 ，得AB=9+
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
解得x=2. .
从而在Rt 由勾股定理解得AD=4.
【分析】（1）连接CD交 BO 点 F .根据切线的性质定理得出∠BCO=90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ CDE = 90 °，根据等量代换得出BCO=∠CDE，根据切线长定理得出BC=BD，根据同角的余角相等得出∠ CBO = ∠ DCE，从而判断出△ BCO △ CDE，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶DE=BO∶CE，根据比例的性质得出CE CO = BO DE ，从而得出结论；
（2）连接OD， BC=CE=6，OD=OE=OC=3，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.然后判断出 ，根据相似三角形对应边成比例得AB=9
在Rt 由勾股定理得列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出AE，AO的长度，在Rt △ ADO 中 ， 由勾股定理求得AD。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
2．如图，⊙ 与正方形 的两边 相切，且 与⊙ 相切于点 .若 ， ，则⊙ 的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA等于（ ）
A．12 B．6 C．8 D．10
4．如图， 是四边形 的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018·广安）下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2018·深圳）如图，一把直尺， 60°的直角三角板和光盘如图摆放， A为 60°角与直尺交点， AB=3 ，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连结AB，BC，OP，则与∠PAB相等的 角(不包括∠PAB本身)有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，且∠APB=40°，下列结论不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
9．下列说法正确的是（ ）
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
10．（2017九上·抚宁期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
二、填空题
11．（2018·白云模拟）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， ，若量出 ，则圆形螺母的外直径是 ．
12．（2018·资中模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在 上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是 ．
13．（2018·成华模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE= ．
14．（2017·上思模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
15．（2018九上·抚顺期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为 ．
16．（2016九下·澧县开学考）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是 ．
三、解答题
17．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的半径.
18．已知：如图，过圆O外一点B作圆O的切线BM，M为切点，BO交圆O于点A，过点A作BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，圆O的半径为1．求：MP的长.
19．（2018·灌云模拟）如图，D为 上一点，点C在直径BA的延长线上，且 ．
（1）判断直线CD与 的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作的 切线交CD的延长线于点E，若 ， ，求 的半径长．
20．（2018·襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积．
21．（2018·福田模拟）如图，在 ，O是AC上的一点， 圆 与BC，AB分别切于点C，D， 与AC相交于点E，连接BO.
（1）求证：CE2=2DE BO；
（2）若BC=CE=6，则AE= ，AD= .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
2．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作辅助线 .
由题可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据经过圆心垂直于切线的直线必过切点可知M、N是切点，由切线长定理可得DE=DM、AM=AN，借助四边形ABCD是正方形此时易得四边形ANOM是正方形，再由AB、DE长即可求出⊙O的半径。
3．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∵△PDE的周长为12，
∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知PA=PB、DA=DC、EC=EB，再根据△PDE的周长为12即可求解。
4．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴多边形的每条边都与⊙O相切.
根据切线长定理可知，AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DE＝DH，即②正确；
∵四边形形状不定，
∴①④无法判定；
又∵AB＋CD＝AF＋BF＋CH＋DH，AD＋BC＝AE＋AD＋BG＋CG；
∴AB＋CD＝AD＋BC，③正确.
故答案为：B.
【分析】由切线长定理可知AF＝AE、BF＝BG、CG＝CH、DE＝DH，借助等式性质逐个即可判断。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；平行四边形的判定；切线长定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用命题与证明、切线长定理、平行四边形的判定、一元二次方程根的判别式，对各选项分别判断，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），
∵∠DAC=60°，
∴∠BAC=120°.
又∵AB、AC为圆O的切线，
∴AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°，
在Rt△AOB中，
∵AB=3，
∴tan∠BAO= ，
∴OB=AB×tan∠60°=3 ，
∴光盘的直径为6 .
故答案为：D.
【分析】设光盘切直角三角形斜边于点C，连接OC、OB、OA（如图），根据邻补角定义得∠BAC=120°，又由切线长定理AC=AB，∠BAO=∠CAO=60°；在Rt△AOB中，根据正切定义得tan∠BAO= ，代入数值即可得半径OB长，由直径是半径的2倍即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A. B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°
∴∠PAB+∠BAC=90°
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠C=90°
∴∠PAB=∠C
∵OP⊥AB
∴∠BAC+∠AOP=90°
∴∠AOP=∠PAB
∴与∠PAB相等的角有：∠C、∠AOP、∠PBA
故答案为：C
【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA=PB，即可得∠PAB=∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC=∠OAP=90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB=∠C，同理可得∠PAB=∠AOP，就可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：∵PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，∴∠AOP=180°－∠APO－∠OAP=70°.故A，B，D都是正确的只有C符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，进而根据角平分线的定义及垂直的定义得出∠APO=∠BPO=∠APB=20°，∠0BP=∠OAP=90°，根据三角形的内角和即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解 ：A、过圆外任意一点总可以作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；
B、圆的切线长就是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度就是圆的切线长；故B错误，不符合题意；
C、根据切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；
D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据切线长定理及定义即可一一判断。
10．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
【分析】由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
11．【答案】
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 ，如图所示：
分别为圆O的切线，
为 的平分线， ，又 ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
则圆形螺母的直径为 ．
故答案为： ．
【分析】设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接 OD ， OE ， OA ，根据切线的性质可得AO 为 平分∠ DAB ，OD ⊥ AC ， OD ⊥ AC ，由∠ CAB = 60 ° 得到∠ OAE = ∠ OAD = ∠ DAB = 60 °，由锐角三角函数求出OD的长，从而求出圆形螺母的直径.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ 。
故答案为：
【分析】由题意知，当CD∥AB时，切线CD的长最小。由切线长定理易得三角形PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PB， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△PAB是等边三角形，由CD∥AB易得△PCD是等边三角形，则根据三角形PCD的周长可求得CD的长。
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：由题意易知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，
由切线长定理可知，ED=EH，FC=FH，
∵B、F关于EI对称，
∴IF=BI=x，ED=EH=8－x，FC=FH=8－2x，EF=16-3x，
在Rt△EFI中，∴ ，
解得：x=6－ 或x=6+ (舍去)，
∴AE=6－ ．
【分析】由已知条件可知四边形AEIB是矩形，设AE=BI=x，根据切线长定理可得出ED=EH，FC=FH，再由B、F关于EI对称，用含x的代数式分别表示出IF、ED、FH、EF的长，再在Rt△EFI中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出符合题意的x的值，就可得出AE的长。
14．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了切线长定理，由于AB、AC、BD是⊙O的切线，运用切线长定理并利用等式的性质可得，AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
15．【答案】44
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC=AB+CD=10+12=22，
∴四边形ABCD的周长=22×2=44.
故答案为： .
【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等，可计算出周长.
16．【答案】20
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故答案为：20．
【分析】根据切线长定理知：PA=PB=10，CA=CE，DE=DB ，根据三角形的周长=PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB，计算即可。
17．【答案】解：连接OD、OE，∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，∴AF=AD，BE=BF，CE=CD，OD⊥AD，OE⊥BC，∵∠ACB=90°，∴四边形ODCE是正方形，设OD=r，则CD=CE=r，∵BC=3，∴BE=BF=3-r，∵AB=5，AC=4，∴AF=AB+BF=5+3-r，AD=AC+CD=4+r，∴5+3-r=4+r，r=2，则⊙O的半径是2．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OD、OE，由切线长定理可知AF=AD、BE=BF、CE=CD，同时根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OD⊥AD、OE⊥BC，结合∠ACB=90°易得四边形ODCE是正方形，设⊙O的半径为r，由前面的推理即可建立r的方程，据此解答即可。
18．【答案】解：连接OM，则OM⊥BM，
在Rt△BOM中，OM=1，BO=3，
根据勾股定理，得BM= ；
∵AP⊥OB，
∴AP是圆的切线，
又PM是圆的切线，
∴AP=MP；
在Rt△APB中，
设AP=x，AB=3-1=2，BP=2 -x；
根据勾股定理得：（2 -x）2=x2+4
解得x= .
∴AP=.
故MP的长为 .
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】连接OM，由切线的性质可知OM⊥BM，在Rt△BOM中借助勾股定理可得BM的长，由条件可知AP、PM都是圆的切线，根据切线长定理有AP=MP，设AP=x，在Rt△APB中借助勾股定理列出x的方程，据此解答即可。
19．【答案】（1）解：直线CD和 的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
已知D为 的一点，
直线CD是 的切线，
即直线CD和 的位置关系是相切
（2）解： ， ，过点B作的 切线交CD的延长线于点E，
，
根据切线长定理可得： ，
，
设 的半径是x，
， ，
∽ ，
，
即 ，
解得： ，
即 的半径长为 ．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】（1）要证CD与⊙O的切线，连接OD。证明OD⊥CD，根据等腰三角形的性质可得出∠OBD=∠ODB，利用直径所对的圆周角是直角，可得出∠ODB+∠ODA=90°，再由∠CDA=∠CBD ，可得出∠ODC=90°，从而可得出结论。
（2）先利用勾股定理求出CE的长，利用切线长定理求出DE=BE=5，设圆的半径为x，再证明△ODC∽△EBC，得出对应边成比例，建立关于x的方程，求出x的值。
20．【答案】（1）解：如图，连接OE、BE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE
（2）解：如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4 ，
∵CF= =2 ，
∴BC﹣AD=2 ，
∴BC=3 ，
在直角△OBC中，tan∠BOC= = ，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°，
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2× BC OB﹣ =9 ﹣3π
【知识点】切线的判定与性质；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）如图，连接OE、BE，根据等边对等角得出∠OBE=∠OEB．∠CBE=∠CEB，根据等式的性质得出∠OBC=∠OEC．根据切线的性质得出∠OEC=∠OBC=90°；从而得出CD为⊙O的切线，根据切线长定理得出DA=DE ；
（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，根据矩形的对边相等得出AD=BF，DF=AB=6，根据切线长定理得出DC=BC+AD=4 ，根据勾股定理得出CF的长，进而得出BC的长，在直角△OBC中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠BOC=60°．然后利用SSS判断出△OEC≌△OBC，从而得出∠BOE=2∠BOC=120°，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE即可得出答案。
21．【答案】（1）证明：连接CD交
∴BC与 O相切于C，
EC是 O的直径， ，
BC，BD分别与 O相切于C，D， BO垂直平分CD，
从而在Rt 得
故 ，得 ，CE ，
又 CE，
（2）2；4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】⑵解：连接OD，
BC=CE=6，OD=OE=OC=3，
设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.
由 ，得AB=9+
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
解得x=2. .
从而在Rt 由勾股定理解得AD=4.
【分析】（1）连接CD交 BO 点 F .根据切线的性质定理得出∠BCO=90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ CDE = 90 °，根据等量代换得出BCO=∠CDE，根据切线长定理得出BC=BD，根据同角的余角相等得出∠ CBO = ∠ DCE，从而判断出△ BCO △ CDE，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶DE=BO∶CE，根据比例的性质得出CE CO = BO DE ，从而得出结论；
（2）连接OD， BC=CE=6，OD=OE=OC=3，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.然后判断出 ，根据相似三角形对应边成比例得AB=9
在Rt 由勾股定理得列出关于x的方程，求解得出x的值，从而得出AE，AO的长度，在Rt △ ADO 中 ， 由勾股定理求得AD。
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