华师大版数学九年级下册同步课件：26.2.2 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象与性质(共19张PPT)

(共19张PPT)
26.2.2　第1课时　
二次函数y=ax2+k的图象与性质
第26章 二次函数
类比上节课我们探究二次函数y=ax2的图象与性质的方法, 二次函数y=ax2+c的图象与性质又是怎样的呢
情境导入
这个函数的图象是如何画出来的？
获取新知
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
描点、连线，画出这两个函数的图象
结合图象解决下面的问题:
①二次函数 的图象与二次函数 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
②二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系 它是轴对称图形吗
1.相同点:
(1)都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.
(2) 都是轴对称图形,且对称轴都是y轴.
(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.
(4)都有最低点,y都有最小值.
②二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系 它是轴对称图形吗
2.不同点:
(1)它们的顶点不同: 的顶点在原点,顶点坐标为(0,0);y=x2+1的顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1).
(2)最小值不同, 的最小值为0, 的最小值为1.
据此，可以由函数 的性质，得到函数 的一些性质：
当 x < 0 时，y随着x的 ；
当 x >0 时，y随着x的 ，
当 x=0 时，函数 y的值最小，最小值是 .
增大而增大
增大而减小
y=1
当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图像上，相应的两个点之间的位置有什么关系？
观察思考
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
当自变量x取同一数值时，函数 的值都比函数 的值大1.反映在图像上，函数 的图像上的每一点都在函数 的图像上相应点的上方一个单位.
函数 的图像可以看成是将函数
向上平移一个单位长度得到的.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,-2）
y轴
y轴
二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系 请类比 的图象的性质进行小结,
当 x < 0 时，y随着x的 ；
当 x >0 时，y随着x的 ，
当 x=0 时，函数 y的值最小，
最小值是 .
增大而增大
增大而减小
y=-2
y＝ax2+k a>0 a<0
图象
开口
对称性 顶点 (0,k)
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧(x<0)递减
在对称轴右侧(x>0)递增
在对称轴左侧(x<0)递增
在对称轴右侧(x0)递减
二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移 c 个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移 –c 个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
例题讲解
例1 已知二次函数y＝ x2＋4.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值．
(2)若点(x1，y1)、(x2，y2)在该二次函数的图象上，
且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小关系．
(3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4平移得到吗？
如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
(1)因为a＝ ＜0，所以它的图象的开口向下，对
称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)，当x＝0时，y最
大值＝4.
(2)因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x＞0时，y随x的增大而减小．所以当x1＞x2＞0时， y1＜y2.
(3)抛物线y＝ x2－1可以由抛物线y＝ x2＋4平移得到，其平移方法是：将抛物线y＝ x2＋4向下平移5个单位
解：
随堂演练
1.（1）抛物线 y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当 x= 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线 y= 2x2向 平移
个单位长度得到.
(0,3)
y轴的左
y轴的右
0
3
上
3
y轴
（2）抛物线 y=x -5的顶点坐标是 ，对称轴是 ,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的值最___，最小值是 .
y轴
(0,-5)
增大而增大
增大而减小
0
小
-5
2.写出一个顶点坐标为(0，-3)，开口方向与抛物线 y=x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式。
分析：由题意可知二次函数的 a=-1，并且根据顶点坐标(0,-3)，可知形式为 y=ax2+k 的形式，且 k=-3，所以符合条件的抛物线为 y=-x2-3
3. 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
4.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
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课堂小结
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.