浙教版八年级下册第5章 5.3正方形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·罗平期中）一个正方形的边长为3，则它的对角线长为（ ）
A．3 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为3，
∴它的对角线的长为：BD= =3 ．
故选B．
【分析】首先根据题意画出图形，由正方形的边长为3，可得△ABD是等腰直角三角形，且AD=AB=3，继而求得对角线BD的长．
2．（2015八下·六合期中）如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（ ）
A．22.5° B．45° C．30° D．135°
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB= ∠DAB= ×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠CAE= ×45°=22.5°，
故选A．
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB= ∠CAB，即可解决问题．
3．（2017·磴口模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣ ）2=4，
解得a= ，
则a2=2+ ，
∴S正方形ABCD=2+ ，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选C．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
4．（2016八上·富顺期中）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．
故选：A．
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
5．（2016八上·富顺期中）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（ ）°．
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD交MN于P′，如图，
∵MN是正方形ABCD的一条对称轴，
∴P′B=P′C，
∴P′C+P′D=P′B+P′D=BD，
∴此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，
∵点P′为正方形的对角线的交点，
∴∠P′CD=45°．
故选B．
【分析】连接BD交MN于P′，如图，利用两点之间线段最短可得到此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，然后根据正方形的性质求出∠P′CD的度数即可．
6．（2016八上·长泰期中）观察如图，把边长为3的两个正方形沿其对角线长剪开，可得4个直角三角形，这4个直角三角形可拼成一个新的正方形，则新正方形的边长为（ ）
A．3 B．6 C． D．18
【答案】C
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：新正方形的边长为： = ，
故选：C．
【分析】根据题意可得新正方形的边长为边长为3的小正方形的对角线长，利用勾股定理计算即可．
7．（2015八下·大同期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故选C．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，则AB=2+ ，于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2
OC= AC= +1，所以CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
8．（2015八下·金平期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．（ ）ncm2
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n﹣1）= cm2．
故选：B．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
9．（2015八下·六合期中）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
10．（正多边形的定义）在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
11．（2017八上·兴化期末）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= ．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
12．（2017八下·邗江期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故选：C．
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
13．（2016八下·周口期中）如图，在四边形ABCD的外侧，以四边形的边为边分别作四个小正方形，连接相邻的两个顶点，得到四个阴影三角形，则这四个阴影三角形的面积a、b、c、d满足（ ）
A．a+b=c+d B．a2+b2=c2+d2 C．a+c=b+d D．a2+c2=b2+d2
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，以△ABC的边为边分别正方形ABDE，正方形ACHG．
∵S△AEG= AE GN= AE AG sin∠EAG，
S△ACB= AB CM= AB AC sin∠CAM，
∵AB=AE，AC=AG，
∠EAG+∠BAC=180°，∠CAM+∠BAC=180°，
∴∠EAG=∠CAM，
∴S△AEG=S△ABC，
如图1中，连接AC、BD．
由上面的结论可知，S△ABD=a，S△BCD=c，S△ABC=b，S△ADC=d，
∵S四边形ABCD=a+c=b+d，
∴a+c=b+d，
故选C．
【分析】如图，以△ABC的边为边分别正方形ABDE，正方形ACHG，首先证明S△AEG=S△ABC，利用这个结论即可解决问题．
14．（2017八下·兴化月考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） 中正确的有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°．
∵CE=DF，∴AF=DE．
∴△ABF≌△DAE．
∴AE=BF；
∠AFB=∠AED．
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AOF=90°，即AE⊥BF；
S△AOB=S△ABF-S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△ADE，
∴S△AOB=S四边形DEOF．
故正确的有 （1）、（2）、（4）．
【分析】根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，运用全等三角形性质逐一解答．
二、填空题
15．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则tan∠CGD=
【答案】2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分别为AB、BC边的中点，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点H，连接CH，
∵H是AD的中点，CH∥AF，
设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，
∴DM=GM，
∴CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
设正方形的边长为2a，则AE=a，tan∠CGD=tan∠AED==2；
故答案为：2．
【分析】证明△ABF≌△DAE，得∠AED=∠BFA，证出AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，证明MH是三角形ADG的中位线，证出CH垂直平分DG，证出∠CGD=∠AED，即可得出tan∠CGD=tan∠AED．
16．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为 ．
【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，
∴阴影部分的正方形的边长为5﹣4=1，
∴阴影部分面积为1×1=1．
故答案为：1．
【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．
17．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED= 度．
【答案】22.5
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，AC=BD，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
根据三角形的外角性质，∠ABD=∠BDE+∠BED，
∴∠BED=∠ABD=×45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】连接BD，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=45°，再根据正方形的对角线相等可得AC=BD，然后求出BD=BE，再根据等边对等角可得∠BDE=∠BED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
18．（2015八下·临河期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
19．（2016八下·广州期中）如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，
∴AC=AE，
∴∠CAB=60°，∠EAB=90°，
∴∠CAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF=∠AEF=15°．
故答案为：15°．
【分析】本题需先根据△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB的度数和∠AFB的度数，再根据ABDE是正方形，得出∠BAD的度数，最后即可求出答案．
三、综合题
20．（2015八下·临河期中）已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF
（2）2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE，
即S四边形OECF=S△BOC．
∵S△BOC=2，
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
故答案为：2．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四边形OECF=S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论．
21．（2015八下·大同期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵ ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
22．（2015八下·金平期中）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
23．（2015八下·金平期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N
（1）求证：AE=MN；
（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．
【答案】（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中
∵，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，
∴EF= AE=1，AF=AE cos30°=2× = ．
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF= +1，即正方形的边长为 +1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接EC，根据题意可得出四边形EMCN为矩形，故MN=CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，进而可得出结论；（2）过点E作EF⊥AD，由直角三角形的性质可得出EF及AF的长，再由等腰直角三角形的性质得出DF的长，进而可得出结论．
24．（2016八下·和平期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，∠CBF=20°．
（1）∠ACB的大小= （度）；
（2）求证：△ABE≌△ADE；
（3）∠AED的大小= （度）．
【答案】（1）45
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD．
（3）65
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB= BCD= ×90°=45°．
故答案为45．
（3.）解：∵△EAB≌△EAD，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°．
∴∠AED=65°．
故答案为65．
【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角即可解决问题．（2）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．（3）根据∠AED=∠AEB=∠EBC+∠ACB即可解决问题．
1 / 1浙教版八年级下册第5章 5.3正方形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·罗平期中）一个正方形的边长为3，则它的对角线长为（ ）
A．3 B．3 C． D．2
2．（2015八下·六合期中）如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（ ）
A．22.5° B．45° C．30° D．135°
3．（2017·磴口模拟）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2016八上·富顺期中）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5．（2016八上·富顺期中）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD=（ ）°．
A．60° B．45° C．30° D．15°
6．（2016八上·长泰期中）观察如图，把边长为3的两个正方形沿其对角线长剪开，可得4个直角三角形，这4个直角三角形可拼成一个新的正方形，则新正方形的边长为（ ）
A．3 B．6 C． D．18
7．（2015八下·大同期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2015八下·金平期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．（ ）ncm2
9．（2015八下·六合期中）正方形面积为36，则对角线的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．9
10．（正多边形的定义）在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
11．（2017八上·兴化期末）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）
A． B．2 C． D．2
12．（2017八下·邗江期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
13．（2016八下·周口期中）如图，在四边形ABCD的外侧，以四边形的边为边分别作四个小正方形，连接相邻的两个顶点，得到四个阴影三角形，则这四个阴影三角形的面积a、b、c、d满足（ ）
A．a+b=c+d B．a2+b2=c2+d2 C．a+c=b+d D．a2+c2=b2+d2
14．（2017八下·兴化月考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） 中正确的有（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
二、填空题
15．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则tan∠CGD=
16．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为 ．
17．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED= 度．
18．（2015八下·临河期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
19．（2016八下·广州期中）如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为 ．
三、综合题
20．（2015八下·临河期中）已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为
21．（2015八下·大同期中）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
22．（2015八下·金平期中）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
23．（2015八下·金平期中）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N
（1）求证：AE=MN；
（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．
24．（2016八下·和平期中）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，∠CBF=20°．
（1）∠ACB的大小= （度）；
（2）求证：△ABE≌△ADE；
（3）∠AED的大小= （度）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为3，
∴它的对角线的长为：BD= =3 ．
故选B．
【分析】首先根据题意画出图形，由正方形的边长为3，可得△ABD是等腰直角三角形，且AD=AB=3，继而求得对角线BD的长．
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB= ∠DAB= ×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠CAE= ×45°=22.5°，
故选A．
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB= ∠CAB，即可解决问题．
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣ ）2=4，
解得a= ，
则a2=2+ ，
∴S正方形ABCD=2+ ，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选C．
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△AEB和△AFD中
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．
故选：A．
【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD交MN于P′，如图，
∵MN是正方形ABCD的一条对称轴，
∴P′B=P′C，
∴P′C+P′D=P′B+P′D=BD，
∴此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，
∵点P′为正方形的对角线的交点，
∴∠P′CD=45°．
故选B．
【分析】连接BD交MN于P′，如图，利用两点之间线段最短可得到此时P′C+P′D最短，即点P运动到P′位置时，PC+PD最小，然后根据正方形的性质求出∠P′CD的度数即可．
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：新正方形的边长为： = ，
故选：C．
【分析】根据题意可得新正方形的边长为边长为3的小正方形的对角线长，利用勾股定理计算即可．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故选C．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，则AB=2+ ，于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2
OC= AC= +1，所以CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n﹣1）= cm2．
故选：B．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设对角线长是x．则有
x2=36，
解得：x=6．
故选：B．
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= ．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故选：C．
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
13．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，以△ABC的边为边分别正方形ABDE，正方形ACHG．
∵S△AEG= AE GN= AE AG sin∠EAG，
S△ACB= AB CM= AB AC sin∠CAM，
∵AB=AE，AC=AG，
∠EAG+∠BAC=180°，∠CAM+∠BAC=180°，
∴∠EAG=∠CAM，
∴S△AEG=S△ABC，
如图1中，连接AC、BD．
由上面的结论可知，S△ABD=a，S△BCD=c，S△ABC=b，S△ADC=d，
∵S四边形ABCD=a+c=b+d，
∴a+c=b+d，
故选C．
【分析】如图，以△ABC的边为边分别正方形ABDE，正方形ACHG，首先证明S△AEG=S△ABC，利用这个结论即可解决问题．
14．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°．
∵CE=DF，∴AF=DE．
∴△ABF≌△DAE．
∴AE=BF；
∠AFB=∠AED．
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
∴∠AOF=90°，即AE⊥BF；
S△AOB=S△ABF-S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE-S△AOF，
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△ADE，
∴S△AOB=S四边形DEOF．
故正确的有 （1）、（2）、（4）．
【分析】根据正方形的性质，运用SAS证明△ABF≌△DAE，运用全等三角形性质逐一解答．
15．【答案】2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分别为AB、BC边的中点，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点H，连接CH，
∵H是AD的中点，CH∥AF，
设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，
∴DM=GM，
∴CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
设正方形的边长为2a，则AE=a，tan∠CGD=tan∠AED==2；
故答案为：2．
【分析】证明△ABF≌△DAE，得∠AED=∠BFA，证出AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，证明MH是三角形ADG的中位线，证出CH垂直平分DG，证出∠CGD=∠AED，即可得出tan∠CGD=tan∠AED．
16．【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，
∴阴影部分的正方形的边长为5﹣4=1，
∴阴影部分面积为1×1=1．
故答案为：1．
【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．
17．【答案】22.5
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，AC=BD，
∵BE=AC，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
根据三角形的外角性质，∠ABD=∠BDE+∠BED，
∴∠BED=∠ABD=×45°=22.5°．
故答案为：22.5．
【分析】连接BD，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=45°，再根据正方形的对角线相等可得AC=BD，然后求出BD=BE，再根据等边对等角可得∠BDE=∠BED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
18．【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= =5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
19．【答案】15°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，
∴AC=AE，
∴∠CAB=60°，∠EAB=90°，
∴∠CAE=150°，
∴∠ACE=∠AEC=15°，
∵△AEF和△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴∠ABF=∠AEF=15°．
故答案为：15°．
【分析】本题需先根据△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB的度数和∠AFB的度数，再根据ABDE是正方形，得出∠BAD的度数，最后即可求出答案．
20．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF
（2）2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE，
即S四边形OECF=S△BOC．
∵S△BOC=2，
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
故答案为：2．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四边形OECF=S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论．
21．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵ ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
22．【答案】（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
23．【答案】（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中
∵，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．
（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，
∴EF= AE=1，AF=AE cos30°=2× = ．
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF= +1，即正方形的边长为 +1．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接EC，根据题意可得出四边形EMCN为矩形，故MN=CE，再由SAS定理得出△ABE≌△CBE，进而可得出结论；（2）过点E作EF⊥AD，由直角三角形的性质可得出EF及AF的长，再由等腰直角三角形的性质得出DF的长，进而可得出结论．
24．【答案】（1）45
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD，
在△EAB和△EAD中，
，
∴△EAB≌△EAD．
（3）65
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ACB= BCD= ×90°=45°．
故答案为45．
（3.）解：∵△EAB≌△EAD，
∴∠AED=∠AEB，
∵∠AEB=∠EBC+∠BCE=20°+45°=65°．
∴∠AED=65°．
故答案为65．
【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角即可解决问题．（2）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．（3）根据∠AED=∠AEB=∠EBC+∠ACB即可解决问题．
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