2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．内心和外心重合的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：A、直角三角形的外心在斜边的中点处，内心在三角形内部，故A不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形的外部，内心在三角形内部，故B不符合题意；
C、等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，故C不符合题意；
D、等边三角形的外心，内心在三角形内部重合与一点，故D不符合题意；
故答案为：D。
【分析】所有三角形的内心都在三角形的内部，但外心确不一定，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心再三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，综上所述即可得出答案。
2．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
3．（2018九上·兴化期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．一个三角形只有一个外接圆
D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】A、不共线的三点确定一个圆,所以A不符合题意;
B、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以B不符合题意;
C、一个三角形只有一个外接圆,所以C符合题意;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,；一个三角形只有一个外接圆,，但一个圆可以有无数个内接三角形；三角形的内心就是三内角平分线的交点，该点到三角形三边的距离相等,根据性质即可一一得出判断。
4．（2018九上·合浦期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）
A．∠AIB=∠AOB B．∠AIB≠∠AOB
C．4∠AIB-∠AOB=360° D．2∠AOB-∠AIB=180°
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由题意得∠AIB ∠C，∠AOB=2∠C
则∠AIB ∠AOB，4∠AIB-∠AOB=360°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内心的形成可得∠AIB ∠C，根据三角形的外心的形成可得∠AOB=2∠C，即可得到结果。
5．（2018·荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【答案】A
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质
【解析】【解答】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），
故答案为：A．
【分析】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，由点A、B、C的坐标求出BC、AC、AB的长，再根据内心的定义可得出IF=1，求出IE、OE的长，就可得出点I的坐标，再根据旋转的性质得出I'的坐标。
6．（2018·河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；平移的性质
【解析】【解答】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故答案为：B．
【分析】根据点I为△ABC的内心，可证得∠CAI=∠BAI，由平移的性质可得出∠CAI=∠AID，再证明∠BAI=∠AID，得出AD=DI，同理证得BE=EI，从而将要求△DIE的周长转化为线段AB的长。继而可得出答案。
7．（2018·武昌模拟）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边是 ，则有：
又∵
∴
将 代入 得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故答案为：B．
【分析】设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式及，得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。
8．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①正确；
反之圆的内接三角形可以无数多个，所以②错误；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③正确；
反之圆的外切三角形可以有无数多个，④错误。
所以正确的命题有2个。
故答案为：B.
【分析】根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错。三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，从而可得出答案。
9．（2017·济宁模拟）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1），
同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x= ，故本选项正确；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），
则△BCA∽△OFA，
∴ = ，
∴ = ，
解得：y= ，故本选项错误；
C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴ = ，
= ，
解得：r= ，故本选项错误；
D、从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；
又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x= ，故本选项错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．
10．（2017·淄川模拟）如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
图2，由S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= ，由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ = ，
由（1）得：
⊙O的半径= = ，⊙E的半径= = ，
∴S1+S2=π×（ ）2+π×（ ）2=π．
图3，由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD= ，
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ = ，
由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，
∴⊙F的半径= = ，
∴S1+S2+S3=π×（ ）2+π×（ ）2+π×（ ）2=π，
…
观察规律可知S1+S2+S3+…+S6=π．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，求出图1中圆的半径，进而求出S1的面积；利用三角形的面积公式求出CD的长，进而求得两个圆的面积和；同理求出S1+S2+S3的面积，由以上可得到答案.
二、填空题
11．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
12．（2018九上·如皋期中）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，这个圆的半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=13，AC=5，BC=12，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =2，
故答案为：2
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形ABC的内切圆的半径r=，代入计算即可。
13．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
【答案】70°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
【分析】根据△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，由内心的定义，及切线的性质得出OB平分∠ABC，OD⊥BC，根据角平分线的定义及三角形的内角和即可得出答案。
14．（2018·玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4 ，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
【答案】9+4
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= （180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM= AF= （6+4 ）=3+2 ，FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S +S +S ，
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）= ×r+ ×r+ ×（12+6 ）×r，
解得：r= ，
即O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，
故答案为：9+4 ．
【分析】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，利用正六边形的性质求出∠A、∠AFB的度数及AM、BF的长，设△AFB的内切圆的半径为r，根据S△AFB=S △AO1F +S △AO1B +S △BFO1 ，求出r和O1M的值，继而求出O1O2的长。
15．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为
【答案】4π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB= =10，
∴△ABC的内切圆的半径= =2，
∴△ABC内切圆的周长=π 22=4π．
故答案为4π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形内切圆半径公式得出其内切圆的半径，从而得出内切圆的周长。
16．（2018·威海）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ．
【答案】135°
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，
∴∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
【分析】如图，连接EC．根据三角形内心的性质得出∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，然后利用SAS判断出△EAC≌△EAB，根据全等三角形对应角相等得出∠AEB=∠AEC=135°。
三、解答题
17．（2017·嘉兴）如图，已知 ， ．
（1）在图中，用尺规作出 的内切圆 ，并标出 与边 ， ， 的切点 ， ， （保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接 ， ，求 的度数．
【答案】（1）如图，圆O即可所求。
（2）解：连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥BC，
所以∠ODB=∠OEB=90°，又因为∠B=40°，
所以∠DOE=140°，
所以∠EFD=70°.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）用尺规作图的方法，作出∠A和∠C的角平分线的交点即为内切圆O；
（2）由切线的性质可得∠ODB=∠OEB=90°，已知∠B的度数，根据四边形内角和360度，可求得∠DOE，由圆周角定理可求得∠EFD.
18．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
19．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
20．（2018·马边模拟）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA．
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
由AD∥CO，AD=CO，∴∠4=∠5=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS）
（2）解：由（1）得，BC=AC，∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等边三角形
∴O是△ABC的内心也是外心
∴OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中，CE= AC= AB=1，∠OCE=30°，∴OA=OB=OC=
∵∠AOC=120°，
∴= = .
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由O是△ABC的内心，因为内心是△ABC是三个内角的平分线的交点，则∠2=∠3，∠5=∠6；由平行四边形OADC可知AD∥CO，AD=CO，则∠4=∠5=∠6，则△BOC≌△CDA；
（2）阴影部分是一个弓形，必是一个扇形的面积减去一个三角形的面积求得，而求扇形的面积则要知道扇形的圆心角的度数，而题中并没有给出相关角度，那么需要通过边的关系得到相应的角度，则∠AOC可能是一个特殊角120度，则需要证明OA=OB，且∠AOC=120度：由（1）的△BOC≌△CDA可知BC=AC，而圆周角∠3=∠4=∠6，则∠ABC=∠ACB，AB=AC，则△ABC是等边三角形，而O是△ABC的内心也是外心，所以∠AOC=120度；运用解直角三角形的方法求出OA的长度及OE的长。
21．（2017·百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若 = ，如图1，．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵ = ，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， ，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴ = =，
∵AE= =4 ，
∴AM=4 × = ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，∠B=∠C，AB=AC，即可解题.
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，根据平行线所截线段成比例；再根据AE长度即可解题．
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版九年级下册 2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．内心和外心重合的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
3．（2018九上·兴化期中）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．和半径垂直的直线是圆的切线
C．一个三角形只有一个外接圆
D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
4．（2018九上·合浦期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）
A．∠AIB=∠AOB B．∠AIB≠∠AOB
C．4∠AIB-∠AOB=360° D．2∠AOB-∠AIB=180°
5．（2018·荆门）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
6．（2018·河北）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
7．（2018·武昌模拟）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2017·济宁模拟）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为 的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2017·淄川模拟）如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
二、填空题
11．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
12．（2018九上·如皋期中）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，这个圆的半径为 ．
13．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 ．
14．（2018·玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4 ，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2= ．
15．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为
16．（2018·威海）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 ．
三、解答题
17．（2017·嘉兴）如图，已知 ， ．
（1）在图中，用尺规作出 的内切圆 ，并标出 与边 ， ， 的切点 ， ， （保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接 ， ，求 的度数．
18．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
19．（2017·滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE2=DF DA．
20．（2018·马边模拟）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA．
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
21．（2017·百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若 = ，如图1，．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解 ：A、直角三角形的外心在斜边的中点处，内心在三角形内部，故A不符合题意；
B、钝角三角形的外心在三角形的外部，内心在三角形内部，故B不符合题意；
C、等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，故C不符合题意；
D、等边三角形的外心，内心在三角形内部重合与一点，故D不符合题意；
故答案为：D。
【分析】所有三角形的内心都在三角形的内部，但外心确不一定，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心再三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形的内部，等腰三角形，可以为等腰直角，等腰锐角，还可能是等腰钝角，综上所述即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
3．【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】A、不共线的三点确定一个圆,所以A不符合题意;
B、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以B不符合题意;
C、一个三角形只有一个外接圆,所以C符合题意;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆，过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,；一个三角形只有一个外接圆,，但一个圆可以有无数个内接三角形；三角形的内心就是三内角平分线的交点，该点到三角形三边的距离相等,根据性质即可一一得出判断。
4．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由题意得∠AIB ∠C，∠AOB=2∠C
则∠AIB ∠AOB，4∠AIB-∠AOB=360°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内心的形成可得∠AIB ∠C，根据三角形的外心的形成可得∠AOB=2∠C，即可得到结果。
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质
【解析】【解答】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），
故答案为：A．
【分析】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，由点A、B、C的坐标求出BC、AC、AB的长，再根据内心的定义可得出IF=1，求出IE、OE的长，就可得出点I的坐标，再根据旋转的性质得出I'的坐标。
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心；平移的性质
【解析】【解答】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故答案为：B．
【分析】根据点I为△ABC的内心，可证得∠CAI=∠BAI，由平移的性质可得出∠CAI=∠AID，再证明∠BAI=∠AID，得出AD=DI，同理证得BE=EI，从而将要求△DIE的周长转化为线段AB的长。继而可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边是 ，则有：
又∵
∴
将 代入 得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故答案为：B．
【分析】设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式及，得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①正确；
反之圆的内接三角形可以无数多个，所以②错误；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③正确；
反之圆的外切三角形可以有无数多个，④错误。
所以正确的命题有2个。
故答案为：B.
【分析】根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错。三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，从而可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1），
同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x= ，故本选项正确；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），
则△BCA∽△OFA，
∴ = ，
∴ = ，
解得：y= ，故本选项错误；
C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴ = ，
= ，
解得：r= ，故本选项错误；
D、从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；
又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x= ，故本选项错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．
10．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r
∴3﹣r+4﹣r=5，r= =1
∴S1=π×12=π
图2，由S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= ，由勾股定理得：AD= = ，BD=5﹣ = ，
由（1）得：
⊙O的半径= = ，⊙E的半径= = ，
∴S1+S2=π×（ ）2+π×（ ）2=π．
图3，由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD= ，
由勾股定理得：CM= = ，MB=4﹣ = ，
由（1）得：⊙O的半径= ，：⊙E的半径= = ，
∴⊙F的半径= = ，
∴S1+S2+S3=π×（ ）2+π×（ ）2+π×（ ）2=π，
…
观察规律可知S1+S2+S3+…+S6=π．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°，求出图1中圆的半径，进而求出S1的面积；利用三角形的面积公式求出CD的长，进而求得两个圆的面积和；同理求出S1+S2+S3的面积，由以上可得到答案.
11．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
12．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=13，AC=5，BC=12，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径= =2，
故答案为：2
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形ABC的内切圆的半径r=，代入计算即可。
13．【答案】70°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
【分析】根据△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，由内心的定义，及切线的性质得出OB平分∠ABC，OD⊥BC，根据角平分线的定义及三角形的内角和即可得出答案。
14．【答案】9+4
【知识点】三角形的内切圆与内心；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A= =120°，AF=AB，
∴∠AFB=∠ABF= （180°﹣120°）=30°，
∴△AFB边BF上的高AM= AF= （6+4 ）=3+2 ，FM=BM= AM=3 +6，
∴BF=3 +6+3 +6=12+6 ，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S +S +S ，
∴ ×（3+2 ）×（3 +6）= ×r+ ×r+ ×（12+6 ）×r，
解得：r= ，
即O1M=r= ，
∴O1O2=2× +6+4 =9+4 ，
故答案为：9+4 ．
【分析】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，利用正六边形的性质求出∠A、∠AFB的度数及AM、BF的长，设△AFB的内切圆的半径为r，根据S△AFB=S △AO1F +S △AO1B +S △BFO1 ，求出r和O1M的值，继而求出O1O2的长。
15．【答案】4π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB= =10，
∴△ABC的内切圆的半径= =2，
∴△ABC内切圆的周长=π 22=4π．
故答案为4π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形内切圆半径公式得出其内切圆的半径，从而得出内切圆的周长。
16．【答案】135°
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，
∴∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
【分析】如图，连接EC．根据三角形内心的性质得出∠AEC=90°+ ∠ADC=135°，然后利用SAS判断出△EAC≌△EAB，根据全等三角形对应角相等得出∠AEB=∠AEC=135°。
17．【答案】（1）如图，圆O即可所求。
（2）解：连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥BC，
所以∠ODB=∠OEB=90°，又因为∠B=40°，
所以∠DOE=140°，
所以∠EFD=70°.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）用尺规作图的方法，作出∠A和∠C的角平分线的交点即为内切圆O；
（2）由切线的性质可得∠ODB=∠OEB=90°，已知∠B的度数，根据四边形内角和360度，可求得∠DOE，由圆周角定理可求得∠EFD.
18．【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
19．【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴ = ，即DB2=DF DA，
∴DE2=DF DA．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF DA，据此可得DE2=DF DA．
20．【答案】（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
由AD∥CO，AD=CO，∴∠4=∠5=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS）
（2）解：由（1）得，BC=AC，∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等边三角形
∴O是△ABC的内心也是外心
∴OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中，CE= AC= AB=1，∠OCE=30°，∴OA=OB=OC=
∵∠AOC=120°，
∴= = .
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由O是△ABC的内心，因为内心是△ABC是三个内角的平分线的交点，则∠2=∠3，∠5=∠6；由平行四边形OADC可知AD∥CO，AD=CO，则∠4=∠5=∠6，则△BOC≌△CDA；
（2）阴影部分是一个弓形，必是一个扇形的面积减去一个三角形的面积求得，而求扇形的面积则要知道扇形的圆心角的度数，而题中并没有给出相关角度，那么需要通过边的关系得到相应的角度，则∠AOC可能是一个特殊角120度，则需要证明OA=OB，且∠AOC=120度：由（1）的△BOC≌△CDA可知BC=AC，而圆周角∠3=∠4=∠6，则∠ABC=∠ACB，AB=AC，则△ABC是等边三角形，而O是△ABC的内心也是外心，所以∠AOC=120度；运用解直角三角形的方法求出OA的长度及OE的长。
21．【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴∠CFO=∠CEO=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵ = ，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中， ，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴ = =，
∵AE= =4 ，
∴AM=4 × = ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，∠B=∠C，AB=AC，即可解题.
（2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，根据平行线所截线段成比例；再根据AE长度即可解题．
1 / 1
