初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-特殊角的三角函数 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·杭州期末）tan45°的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】tan45°=1，
故答案为：B.
【分析】由特殊角的三角函数值可得tan45°=1.
2．﹣sin60°的倒数为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】﹣sin60°=﹣
，
则﹣sin60°的倒数=﹣
=﹣
，
故答案为：D．
【分析】先确定60°角的正弦值等于
，然后写出 ﹣sin60°的倒数 并进行化简即可。
3．（2019九上·定安期末）已知锐角A，且sinA= ，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA=
∴∠A=60°．
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值即得.
4．（2018九上·襄汾期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，则∠C=（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，∴cosA= ，sinB= ，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．
故答案为：C．
【分析】先根据“几个非负数的和等于0，那么这几个数都等于0”求出cosA和sinB的值，然后根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
5．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
x+2x+3x=180，
解得：x=30，
∴∠B=60°，
∴sinB= ．
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理和三个内角的关系求出∠B的度数是60°，然后根据sinB=sin60°=确定出正确选项为C。
6．（2018·建邺模拟）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
∵tan45°=1，tan60°= ，
∴1＜tan55°＜ ，
∴1＜tan55°＜2.
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别得出tan45°和tan60°的值，就可得出a的取值范围。
7．（2019·长春模拟）计算：sin30°-3tan60°+cos245°。
【答案】解：原式=
=1-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可.
8．（2019九上·鄞州期末）计算：3tan30°+cos60°- +2sin245°
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案.
9．计算： ﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）
【答案】解: 原式= ﹣ （ ﹣ ）
= ﹣
=
=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把45°、30°、60°的相应三角函数值代入，再根据二次根式的加减计算即可得.
10．计算：
（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°
（2）2cos30°﹣ ．
【答案】（1）解：原式= +3× ﹣2×
= + ﹣
=
（2）解：原式=2× ﹣ ﹣1
=﹣1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．
11．如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，BC=1.5，求AC．
【答案】解：∵∠C=90°，且sinA= ，
∴∠A=60°，
∴tanA= = ，
∴ = ，
解得：AC=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．
二、提高特训
12．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
13．（2018九上·大庆期中）已知α为锐角，sin(α+20°)＝ ，则α的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为α为锐角，所以20°＜(α+20°)＜110°；
因为sin(α+20°)=，所以α+20°=60°
即α=40°。
故答案为：B。
【分析】根据α的度数范围即可求出(α+20°)的度数范围，根据正弦值为即可求出α+20°的度数，继而得出α的度数。
14．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，
∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，
即tanB= 或sinA= ．
∴∠B=60°或∠A=60°．
∴△ABC有一个角是60°．
故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB- =0或2sinA- =0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
15．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
16．定义：斜率表示一条直线y＝kx+b（k≠0）关于橫坐标轴倾斜程度的量，即直线与x轴正方向夹角（倾斜角α）的正切值，表示成k＝tanα．
（1）直线y＝x﹣2b的倾斜角α＝ ．
（2）如图，在△ABC中，tanA、tanB是方程x2﹣（ +1）x+ ＝0的两根，且∠A＞∠B，B点坐标为（5，0），求出直线AC关系式．
【答案】（1）45°
（2）解：∵x2﹣（ +1）x+ ＝0
∴（x﹣ ）（x﹣1）＝0，
∴x＝ 或1，
∵∠A＞∠B，
∴tanA＝ ，tanB＝1，
在Rt△BCO中，tanB＝ ＝1，
∵B（5，0），
∴OB＝OC＝5，
∴C（0，5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可知：k＝ ，b＝5，
∴AC解析式为：y＝ x+5．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（1）由题意：tanα＝1，
∴α＝45°
故答案为45°
【分析】（1）根据直线y＝x﹣2b可知点B、C的坐标，就可证得OC=OB，因此可知tanα==1，根据特殊角的三角函数值，就可求出α的度数。
（2）利用因式分解法求出方程x2﹣（ +1）x+ ＝0的解，就可得到tanA＝ ，tanB＝1，根据锐角三角函数的定义及点B的坐标，就可求出OC的长，从而可得点C的坐标， 利用待定系数法求出直线AC的解析式。
17．（2018·淮南模拟）已知：α为锐角，关于x的一元二次方程3x2﹣2 x+tanα=0有两个相等的实数根．
（1）求锐角α；
（2）求方程的根．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2 x+tanα=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2 ）2﹣4×3tanα=0，∴tanα=1．
又∵α为锐角，∴α=45°
（2）解：∵tanα=1，∴原方程为3x2﹣2 x+1=0，即（ x﹣1）2=0，解得：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式应该等于0，从而列出一个关于tanα的方程，求解得出tanα的值，根据特殊锐角的三角函数值，得出α的度数；
（2）将tanα=1代入原一元二次方程，然后利用直接开平方法求出方程的根。
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-特殊角的三角函数 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·杭州期末）tan45°的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．﹣sin60°的倒数为（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．﹣
3．（2019九上·定安期末）已知锐角A，且sinA= ，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
4．（2018九上·襄汾期中）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，则∠C=（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
6．（2018·建邺模拟）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
7．（2019·长春模拟）计算：sin30°-3tan60°+cos245°。
8．（2019九上·鄞州期末）计算：3tan30°+cos60°- +2sin245°
9．计算： ﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）
10．计算：
（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°
（2）2cos30°﹣ ．
11．如图，已知△ABC中，∠C=90°，且sinA= ，BC=1.5，求AC．
二、提高特训
12．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
13．（2018九上·大庆期中）已知α为锐角，sin(α+20°)＝ ，则α的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
14．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．有一个角是60°的三角形
15．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣ ，③sin15°= ，④cos90°=0.
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．定义：斜率表示一条直线y＝kx+b（k≠0）关于橫坐标轴倾斜程度的量，即直线与x轴正方向夹角（倾斜角α）的正切值，表示成k＝tanα．
（1）直线y＝x﹣2b的倾斜角α＝ ．
（2）如图，在△ABC中，tanA、tanB是方程x2﹣（ +1）x+ ＝0的两根，且∠A＞∠B，B点坐标为（5，0），求出直线AC关系式．
17．（2018·淮南模拟）已知：α为锐角，关于x的一元二次方程3x2﹣2 x+tanα=0有两个相等的实数根．
（1）求锐角α；
（2）求方程的根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】tan45°=1，
故答案为：B.
【分析】由特殊角的三角函数值可得tan45°=1.
2．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】﹣sin60°=﹣
，
则﹣sin60°的倒数=﹣
=﹣
，
故答案为：D．
【分析】先确定60°角的正弦值等于
，然后写出 ﹣sin60°的倒数 并进行化简即可。
3．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sinA=
∴∠A=60°．
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值即得.
4．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵|cosA﹣ |+（sinB﹣ ）2=0，∴cosA= ，sinB= ，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°．
故答案为：C．
【分析】先根据“几个非负数的和等于0，那么这几个数都等于0”求出cosA和sinB的值，然后根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
x+2x+3x=180，
解得：x=30，
∴∠B=60°，
∴sinB= ．
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理和三个内角的关系求出∠B的度数是60°，然后根据sinB=sin60°=确定出正确选项为C。
6．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
∵tan45°=1，tan60°= ，
∴1＜tan55°＜ ，
∴1＜tan55°＜2.
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，分别得出tan45°和tan60°的值，就可得出a的取值范围。
7．【答案】解：原式=
=1-
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可.
8．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案.
9．【答案】解: 原式= ﹣ （ ﹣ ）
= ﹣
=
=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把45°、30°、60°的相应三角函数值代入，再根据二次根式的加减计算即可得.
10．【答案】（1）解：原式= +3× ﹣2×
= + ﹣
=
（2）解：原式=2× ﹣ ﹣1
=﹣1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．
11．【答案】解：∵∠C=90°，且sinA= ，
∴∠A=60°，
∴tanA= = ，
∴ = ，
解得：AC=
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．
12．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
13．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为α为锐角，所以20°＜(α+20°)＜110°；
因为sin(α+20°)=，所以α+20°=60°
即α=40°。
故答案为：B。
【分析】根据α的度数范围即可求出(α+20°)的度数范围，根据正弦值为即可求出α+20°的度数，继而得出α的度数。
14．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣ ）（2sinA﹣ ）=0，
∴tanB﹣ =0或2sinA﹣ =0，
即tanB= 或sinA= ．
∴∠B=60°或∠A=60°．
∴△ABC有一个角是60°．
故答案为：D．
【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB- =0或2sinA- =0，解得tanB= ，或sinA= ，因为△ABC中，∠A，∠B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得∠B=60°或∠A=60°．所以△ABC有一个角是60°．
15．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
= × + ×
= ，故①正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
=
=
=﹣2﹣ ，故②正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
= × ﹣ ×
= ，故③正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
= × ﹣ ×
=0，故④正确；
故正确的有4个．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的值，利用公式进行化简计算，可得出正确的选项。
16．【答案】（1）45°
（2）解：∵x2﹣（ +1）x+ ＝0
∴（x﹣ ）（x﹣1）＝0，
∴x＝ 或1，
∵∠A＞∠B，
∴tanA＝ ，tanB＝1，
在Rt△BCO中，tanB＝ ＝1，
∵B（5，0），
∴OB＝OC＝5，
∴C（0，5），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可知：k＝ ，b＝5，
∴AC解析式为：y＝ x+5．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（1）由题意：tanα＝1，
∴α＝45°
故答案为45°
【分析】（1）根据直线y＝x﹣2b可知点B、C的坐标，就可证得OC=OB，因此可知tanα==1，根据特殊角的三角函数值，就可求出α的度数。
（2）利用因式分解法求出方程x2﹣（ +1）x+ ＝0的解，就可得到tanA＝ ，tanB＝1，根据锐角三角函数的定义及点B的坐标，就可求出OC的长，从而可得点C的坐标， 利用待定系数法求出直线AC的解析式。
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程3x2﹣2 x+tanα=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2 ）2﹣4×3tanα=0，∴tanα=1．
又∵α为锐角，∴α=45°
（2）解：∵tanα=1，∴原方程为3x2﹣2 x+1=0，即（ x﹣1）2=0，解得：
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式应该等于0，从而列出一个关于tanα的方程，求解得出tanα的值，根据特殊锐角的三角函数值，得出α的度数；
（2）将tanα=1代入原一元二次方程，然后利用直接开平方法求出方程的根。
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