初中数学浙教版九年级上册4.7 图形的位似 强化提升训练
一、单选题
1．（2018九上·泰州期中）如图所示，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若OB=1，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（ ， ）
C．（﹣1，1） D．（1．﹣1）
2．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为3∶1，把线段AB缩小得到A′B′，则过A′点对应点的反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
3．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
4．（2018·河北模拟）在研究位似问题时，甲、乙同学的说法如下：
甲：如图①，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P（点P在GC上）是位似中心，则点P的坐标为（0，2）．
图① 图②
乙：如图②，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（4，0）．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对
二、填空题
5．（2019·广西模拟）如图，A是反比例函数y= (x>o)图象上一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则该反比例函数的表达式为
6．（2019九上·滦南期中）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（-1，2），则点P的坐标为 ．
7．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
8．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，则点P的坐标为 ．
9．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．
10．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的 ，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的 ，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
三、综合题
11．（2018·苏州模拟）在平面直角坐标系 中，已知 和 的顶点坐标分别为 、 、 、 、 、 .
按下列要求画图：以点 为位似中心，将 向 轴左侧按比例尺 放大得 的位似图形 ，并解决下列问题：
（1）顶点 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使 通过变换后得到 ，且 恰与 拼接成一个平行四边形 (非正方形).写出符合要求的变换过程.
12．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，求出△A1B1C1与△A2B2C2的面积.
13．（2018·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接BC，
∵△OAB∽△OCD，相似比为1：2，
∴ ，
∵OB=1，
∴OD=2，
∴BD=OB，
∵CD=CO，
∴CB⊥OD，
∴BC=DB=OB=1，
∴C（-1，1），
故答案为：C．
【分析】连接BC，由位似比为1：2 可得OB与OD的比为 1：2 ,由OB=1，可得OD=2，由等腰三角形的三线合一可得BC=DB=OB=1,即可得出点C的坐标。
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；位似变换
【解析】【解答】解：∵△A1B1O和△ABO以原点为位似中心，
∴△A1B1O∽△ABO，相似比为3：1，
∴A1B1= ，OB1=2，
∴A1的坐标为（2， ）或（﹣2，﹣ ），
设过此点的反比例函数解析式为y= ，则k= ，
所以解析式为y= ．
故答案为：B．
【分析】A点关于点O的位似点有两种情况，一种是在第一象限，一种是在第三象限，设出过点A1的反比例函数的解析式，将点坐标代入，得出k的值，最后得出相应的反比例函数解析式。
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；因为A，D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1，0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK，∴ ，∵CD∥AB，∴ ，∵DH∥BK，∴ ，∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2），故答案为：C．
【分析】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；根据位似图形对应线段的比等于相似比即可求得对应线段的比值，根据位似图形对应边互相平行或在同一直线上可得CD∥AB；再根据平行线分线段成比例定理可求解。
4．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD和矩形EFGO 是位似图形，∴B和F是对应点，设直线BF为y=kx+b，则 ，解得： ，∴ ．∵位似中心是直线BF和CG的交点，∴x=0，∴y=2，∴位似中心为P（0，2），故甲正确；
由图可知，点B的坐标为（3，﹣2），以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（5，0），故乙正确．
故答案为：A．
【分析】位似图形是指对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形。甲：根据定义易知B和F是对应点，用待定系数法可求得BF的解析式，直线BF与y轴的交点的坐标即为位似中心P的坐标；乙：根据位似图形的定义和已知条件可知，即为直线CB与x轴的交点，用待定系数法可求得直线CB的坐标，再求出直线CB与x轴的交点坐标即可。
5．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；位似变换
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1:3，
∴
∴OE=AB，
∴
∵OD∥AE
∴△COD∽△CEA
∴
设BD=x，AB=y
∴DO=3x，AE=4x，CO=3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy=1，
∴xy=2，
∴AB AE=4xy=8，
该反比例函数的表达式为：y=
故答案为：y=y=
【分析】过A作AE⊥x轴，根据位似的性质及OE=AB，可证得，再证明△COD∽△CEA，得出对应成比例，就可证得，设BD=x，AB=y，分别表示出DO、AE、CO，然后根据 △ABD的面积为1 ，求出xy的值，从而可求出AB AE的值，根据反比例函数的几何意义，就可得到函数解析式。
6．【答案】（-2，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为1：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则 ，
解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（-2，0）．
故答案为：（-2，0）
【分析】位似图形对应点连线相交于位似中心，可确定位似比为1：2，再根据OP：AP=OD：AB即可求得OP长，即可写出P点坐标。
7．【答案】 或
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB= =10，
∴OM=5，OM′= ，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=5- = ；
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=5+ = ，
故答案为： 或 ．
【分析】以O点为位似中心，作三个对应点的坐标，存在于第二象限和第四象限，根据存在的两种情况，可得出MM′的长度。
8．【答案】（-2，0）
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则 ，解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（-2，0）
故答案为：（-2，0）
【分析】由B点坐标，可求C点坐标，继而求出两个矩形的位似比，可简单利用三角形相似、对应边成比例来求得点P的坐标。
9．【答案】（2，2 ）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO cos30°=4× =2 ，
故点C的坐标是：（2，2 ）．
故答案为：（2，2 ）．
【分析】分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，利用∠OCD=90°，∠AOB=60°，可求出∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，再根据已知：△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出DO、OC、OF的长，然后利用解直角三角形求出CF的长，就可得出点C的坐标。
10．【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由已知有：OA1= OA；OA2= OA1= OA，OA3= OA2= OA，．．．．．．，∴OAn= OA， OAn= OA= ，∴ = ，∴n=16．故答案为：16．
【分析】由题意和图形可得OAn=OA=，将OA的值代入计算即可求解。
11．【答案】（1）（﹣2，0）；（﹣6，0）；（﹣4，﹣2）
（2）解：如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；
【分析】（1）延长AO到A1，使A1O=2AO，延长BO到B1，使B1O=2BO，连接CO并延长到C1，使C1O=2CO，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可。
（2）先绕点O顺时针旋转90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角边与△DEF的直角边重合即可。
12．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：由题图得S△A1B1C1＝ ×2×2＝2.∵将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，
∴S△A2B2C2＝4S△A1B1C1＝4×2＝8.
即S△A1B1C1＝2，S△A2B2C2＝8.
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变求出A，B，C三点的对称点A1，B1，C1三点的坐标，利用方格纸的特点描出A1，B1，C1三点，再顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长，在其延长线上取点A2，使OA2=2OA1，同理作出B2，C2，再顺次连接即可得到△A2B2C2，首先算出△A1B1C1的面积，由位似的性质知△A1B1C1∽△A2B2C2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出△A2B2C2的面积。
13．【答案】（1）解：四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.7 图形的位似 强化提升训练
一、单选题
1．（2018九上·泰州期中）如图所示，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若OB=1，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（ ， ）
C．（﹣1，1） D．（1．﹣1）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接BC，
∵△OAB∽△OCD，相似比为1：2，
∴ ，
∵OB=1，
∴OD=2，
∴BD=OB，
∵CD=CO，
∴CB⊥OD，
∴BC=DB=OB=1，
∴C（-1，1），
故答案为：C．
【分析】连接BC，由位似比为1：2 可得OB与OD的比为 1：2 ,由OB=1，可得OD=2，由等腰三角形的三线合一可得BC=DB=OB=1,即可得出点C的坐标。
2．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为3∶1，把线段AB缩小得到A′B′，则过A′点对应点的反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；位似变换
【解析】【解答】解：∵△A1B1O和△ABO以原点为位似中心，
∴△A1B1O∽△ABO，相似比为3：1，
∴A1B1= ，OB1=2，
∴A1的坐标为（2， ）或（﹣2，﹣ ），
设过此点的反比例函数解析式为y= ，则k= ，
所以解析式为y= ．
故答案为：B．
【分析】A点关于点O的位似点有两种情况，一种是在第一象限，一种是在第三象限，设出过点A1的反比例函数的解析式，将点坐标代入，得出k的值，最后得出相应的反比例函数解析式。
3．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；因为A，D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1，0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK，∴ ，∵CD∥AB，∴ ，∵DH∥BK，∴ ，∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2），故答案为：C．
【分析】分别过C，D，A，B，做x轴的垂线，垂足分别是F，H，K；根据位似图形对应线段的比等于相似比即可求得对应线段的比值，根据位似图形对应边互相平行或在同一直线上可得CD∥AB；再根据平行线分线段成比例定理可求解。
4．（2018·河北模拟）在研究位似问题时，甲、乙同学的说法如下：
甲：如图①，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P（点P在GC上）是位似中心，则点P的坐标为（0，2）．
图① 图②
乙：如图②，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（4，0）．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD和矩形EFGO 是位似图形，∴B和F是对应点，设直线BF为y=kx+b，则 ，解得： ，∴ ．∵位似中心是直线BF和CG的交点，∴x=0，∴y=2，∴位似中心为P（0，2），故甲正确；
由图可知，点B的坐标为（3，﹣2），以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（5，0），故乙正确．
故答案为：A．
【分析】位似图形是指对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形。甲：根据定义易知B和F是对应点，用待定系数法可求得BF的解析式，直线BF与y轴的交点的坐标即为位似中心P的坐标；乙：根据位似图形的定义和已知条件可知，即为直线CB与x轴的交点，用待定系数法可求得直线CB的坐标，再求出直线CB与x轴的交点坐标即可。
二、填空题
5．（2019·广西模拟）如图，A是反比例函数y= (x>o)图象上一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则该反比例函数的表达式为
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；位似变换
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1:3，
∴
∴OE=AB，
∴
∵OD∥AE
∴△COD∽△CEA
∴
设BD=x，AB=y
∴DO=3x，AE=4x，CO=3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy=1，
∴xy=2，
∴AB AE=4xy=8，
该反比例函数的表达式为：y=
故答案为：y=y=
【分析】过A作AE⊥x轴，根据位似的性质及OE=AB，可证得，再证明△COD∽△CEA，得出对应成比例，就可证得，设BD=x，AB=y，分别表示出DO、AE、CO，然后根据 △ABD的面积为1 ，求出xy的值，从而可求出AB AE的值，根据反比例函数的几何意义，就可得到函数解析式。
6．（2019九上·滦南期中）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（-1，2），则点P的坐标为 ．
【答案】（-2，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为1：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则 ，
解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（-2，0）．
故答案为：（-2，0）
【分析】位似图形对应点连线相交于位似中心，可确定位似比为1：2，再根据OP：AP=OD：AB即可求得OP长，即可写出P点坐标。
7．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的 ，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为 ．
【答案】 或
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB= =10，
∴OM=5，OM′= ，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=5- = ；
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=5+ = ，
故答案为： 或 ．
【分析】以O点为位似中心，作三个对应点的坐标，存在于第二象限和第四象限，根据存在的两种情况，可得出MM′的长度。
8．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，则点P的坐标为 ．
【答案】（-2，0）
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2，
∴OP：AP=OD：AB=1：2，
设OP=x，则 ，解得：x=2，
∴OP=2，
即点P的坐标为：（-2，0）
故答案为：（-2，0）
【分析】由B点坐标，可求C点坐标，继而求出两个矩形的位似比，可简单利用三角形相似、对应边成比例来求得点P的坐标。
9．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．
【答案】（2，2 ）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO cos30°=4× =2 ，
故点C的坐标是：（2，2 ）．
故答案为：（2，2 ）．
【分析】分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，利用∠OCD=90°，∠AOB=60°，可求出∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，再根据已知：△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出DO、OC、OF的长，然后利用解直角三角形求出CF的长，就可得出点C的坐标。
10．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的 ，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的 ，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的 ，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．
【答案】16
【知识点】位似变换
【解析】【解答】由已知有：OA1= OA；OA2= OA1= OA，OA3= OA2= OA，．．．．．．，∴OAn= OA， OAn= OA= ，∴ = ，∴n=16．故答案为：16．
【分析】由题意和图形可得OAn=OA=，将OA的值代入计算即可求解。
三、综合题
11．（2018·苏州模拟）在平面直角坐标系 中，已知 和 的顶点坐标分别为 、 、 、 、 、 .
按下列要求画图：以点 为位似中心，将 向 轴左侧按比例尺 放大得 的位似图形 ，并解决下列问题：
（1）顶点 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使 通过变换后得到 ，且 恰与 拼接成一个平行四边形 (非正方形).写出符合要求的变换过程.
【答案】（1）（﹣2，0）；（﹣6，0）；（﹣4，﹣2）
（2）解：如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；
【分析】（1）延长AO到A1，使A1O=2AO，延长BO到B1，使B1O=2BO，连接CO并延长到C1，使C1O=2CO，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可。
（2）先绕点O顺时针旋转90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角边与△DEF的直角边重合即可。
12．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，3），B（－1，1），C（－3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，求出△A1B1C1与△A2B2C2的面积.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）解：由题图得S△A1B1C1＝ ×2×2＝2.∵将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，
∴S△A2B2C2＝4S△A1B1C1＝4×2＝8.
即S△A1B1C1＝2，S△A2B2C2＝8.
【知识点】作图﹣轴对称；相似三角形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变求出A，B，C三点的对称点A1，B1，C1三点的坐标，利用方格纸的特点描出A1，B1，C1三点，再顺次连接即可；
（2）连接A1O并延长，在其延长线上取点A2，使OA2=2OA1，同理作出B2，C2，再顺次连接即可得到△A2B2C2，首先算出△A1B1C1的面积，由位似的性质知△A1B1C1∽△A2B2C2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出△A2B2C2的面积。
13．（2018·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】（1）解：四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
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