2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册5.1矩形 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．（2019九下·未央月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.A（3，0），B(3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AO＝BO＝CO＝DO D．BO＝ AC
7．（2018九上·岐山期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．（2018·淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）。
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．（2018·遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
10．（2018·枣庄）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
12．（2019·黔南模拟）如图，在平面直角坐标系中有矩形ABCD，A（0，0），C（8，6），M为边CD上一动点，当△ABM是等腰三角形时，M点的坐标为 ．
13．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 .
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE。若∠ADB＝30°，则∠E＝ .
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
三、解答题
17．（浙教版2019中考数学模拟试卷3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，AD⊥BC于点D，把线段BD沿着BA的方向平移13cm得到线段AE，连接EC．
问：
（1）四边形ADCE是 形；
（2）若△ABC的周长比△AEC的周长大6，求四边形ADCE的面积．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
19．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）如图，已知AB＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC.
（2）只需添加一个条件，即 ▲ ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章 特殊的平行四边形 单元检测a卷）如图， ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
21．（2019七上·鄞州期末）已知：如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点M是BC边的中点，点P从点A出发，沿着AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点Q以同样的速度从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动．设点P运动的路程为x
（1）当x=2时，线段AQ的长是
（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积会发生改变吗 请你作出判断并说明理由；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP= DQ 若存在，求出点P的运动路程，若不存在，请说明理由．
22．（2018九上·紫金期中）将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短的直角边长为3．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗 说出你的结论和理由；
（2）如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△ 的位置，四边形 是平行四边形吗 说出你的结论和理由；
（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；
B选项，根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，∴根据∠A=∠C不等判断平行四边形ABCD为矩形；
C选项，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形；
D选项，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的判定定理，检验四个条件是否符合题意即可。
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故答案为：B．
【分析】画出图形，各角角的平分线的定义和平行线的性质，三角形的内角和矩形的判定定理求答.
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 延长OD、AB交于点F，如图所示。
∵将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，
∴∠AOB=∠DOB，
∴OB平分∠AOF，
∴
∵A(3，0)，B(3，1)，C(0，1)，
∴四边形OABC为矩形，
∴∠A=90 ，OA=3，AB=1，
∴OF=3BF.
设BF=a，则OF=3a，AF=1+a.
在Rt△OAF中，
OF2=OA2+AF2，即(3a)2=32+(1+a)2，
解得：a= 或a= 1(舍去)，
∴点F的坐标为(3， ).
设OD所在直线的解析式为y=kx，
将点F(3， )代入y=kx中，
=3k，解得：k= ，
∴OD所在直线的解析式为y= x.
故选C.
【分析】 延长CD、AB交于点F，由折叠的性质可得出OB平分∠AOF，根据角平分线的性质结合勾股定理即可求出BF的长度，进而可得出点F的坐标，再根据点F的坐标利用待定系数法，即可求出OD所在直线的解析式．
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠1=∠3=∠4=40°
∴∠5=∠2==70°。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质可得∠1=∠3=∠4，根据补角的性质求出∠2即可。
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，BO=AC
故答案为：A。
【分析】根据矩形的性质，对四个选项进行一一证明即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD CE=3 x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF= =4，
∴DF=AD-AF=5 4=1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DF2+DE2，
即x2=(3 x)2+12，
解得：x= ，
故答案为：D.
【分析】设CE=x，根据矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，根据折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，故DE=CD CE=3 x，在Rt△ABF中，由勾股定理算出AF，在Rt△DEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
依题可得：∠1＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠ECA+∠1=90°，
∴∠ECA=55°，
又∵纸片EFGD为矩形，
∴DE∥FG，
∴∠2=∠ECA=55°，
故答案为：C.
【分析】由补角定义结合已知条件得出∠ECA度数，再根据矩形性质和平行线性质得∠2度数.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故答案为：C．
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，根据矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形得出S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，故S△DFP=S△PBE，从而得出答案。
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故答案为：B．
【分析】如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，又矩形的对角线相等，故这8个矩形的对角线都相等，如图所示，满足条件的点应该有3个，
11．【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
12．【答案】（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当M为顶点时，AB长为底=8，M在DC中点上，
所以M的坐标为（4， 6），
当B为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近D处，根据勾股定理可知ME= =2
所以M的坐标为（8﹣2 ，6）；
当A为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近C处，根据勾股定理可知MF= =2
所以M的坐标为（2 ，6）；
综上所述，M的坐标为（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）；
故答案为：（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）．
【分析】由题意可知，应分三种情况：当M为顶点时，点M在线段AB的垂直平分线与CD的交点上，此时易求出M的坐标为（4， 6）；当B为顶点，AB长为腰时，BM=AB=8，在△BCM中，根据勾股定理可求出CM的长，进而求出M的坐标为（8﹣2 ，6）；当A为顶点，AB长为腰时，AM=AB=8，在△AADM中，根据勾股定理可求出DM的长，进而求出M的坐标为（2 ，6）；所以M的坐标为（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）.
13．【答案】2.5
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD=10，BO=OD=5
又∵P点和Q点分别为AO和AD的中点
∴PQ=OD=2.5.
故答案为：2.5。
【分析】根据矩形的性质得出OD的长度，利用三角形的中位线定理即可求得PQ的长度。
14．【答案】15°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BE，AC=BD
∴∠E=∠DAE
∵BD=CE，BD=AC
∴CE=CA，∠E=∠CAE，∠CAD=∠ADB=30°
∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠E+∠E=30°
∴∠E=15°。
【分析】根据图中矩形的性质可得∠E=∠DAE，BD=AC=CE，根据∠E=∠CAE求出∠E的度数即可。
15．【答案】60°；4cm；4 cm2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= =2 （cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 cm×2cm=4 cm2
故答案为：60°，4cm，4 cm2．
【分析】 由BE=OE=1cm，及矩形的对角线互相平分且相等可得△AOB是等边三角形，从而可知∠AOB=60°，进而可知OA=AB=2cm，即可求得AC=2AO=4cm，从而由勾股定理得BC长，即可求得S矩形ABCD.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
17．【答案】（1）矩
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AE＝DC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝AE，
设BD＝DC＝AE＝x，CE＝y，
∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，
∴（13×2+2x）﹣（x+y+13）＝6，即y﹣x＝7①，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，即x2+y2＝169②，
由②﹣①的平方，得：2xy＝120，S矩形ADCE＝xy＝60，
即四边形ADCE的面积是60．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形，
理由是：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴根据平移得：AE∥BC，AE＝DC＝BD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
故答案为：矩
【分析】（1）四边形ADCE是矩形，理由如下：根据等腰三角形的三线合一得出BD＝DC，根据平移的性质得出AE∥BC，AE＝DC＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形ADCE是平行四边形，由垂直的定义得出∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论：四边形ADCE是矩形；
（2）根据矩形的性质得出 AE＝DC， 根据等腰三角形的三线合一及等量代换得出BD＝DC＝AE， 设BD＝DC＝AE＝x，CE＝y， 根据三角形周长的计算方法及 △ABC的周长比△AEC的周长大6， 列出方程，整理得 y﹣x＝7①， 在Rt△AEC中，由勾股定理得 x2+y2＝169②， 由②﹣①的平方，得：2xy＝120，然后根据矩形的面积计算方法整体代入即可得出 四边形ADCE的面积 。
18．【答案】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质和等边对等角得
∠MAE=∠B ，根据内错角相等两直线平行得出
AN∥BC ，根据等腰三角形的三线合一得出
AD⊥BC ，利用
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 证明出
四边形ADCE为平行四边形 ，再根据有一个角是是直角的平行四边形是矩形即可解答.
19．【答案】（1）证明：在△DCA和△EAC中，
∵DC=EA，AD=CE，AC=CA，
∴△DCA≌△EAC。
（2）添加条件AD=BC，
∵AB=DC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵CE⊥AE，∴∠E=90°
根据（1）可得△DCA≌△EAC
∴∠A=∠E=90°
∴四边形ABCD为矩形。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证明△DCA≌△EAC即可。
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，根据全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得到结论。
20．【答案】解：结论：四边形PQMN为矩形.在平行四边形ABCD中， 又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，同理 又∵∠CMD=∠NMQ，∠APB=∠NPQ，∴四边形PQMN为矩形.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，可证得它的邻角互补，再利用角平分线的定义，可得出每两个相邻的内角的平分线互相垂直，就可证得有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论。
21．【答案】（1）6
（2）解：阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：
连结AM，
依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，
∴AQ=8-x，
∴S阴=S△APM+S△AQN，
=·x×4+·（8-x）×4，
=2x+16-2x，
=16.
∴ 阴影面积不变 .
（3）解： ①当点P在线段AB上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=4－x，
又∵ BP=DQ ，
∴4－x=x，
解得：x=3；
②当点P在线段BM上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=x-4，
又∵ BP=DQ ，
∴x-4=x，
解得：x=6；
综上所述：当x=3或6时，BP=DQ .
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】（1）依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，AP=2，
∴DQ=2，
∴AQ=AD-DQ=8-2=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意可得AP=DQ=x，由AQ=AD-DQ计算即可求得答案.
（2）阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：连结AM， 根据题意可得AP=DQ=x，AQ=8-x，由S阴=S△APM+S△AQN计算即可得出阴影面积为定值.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在线段AB上时，②当点P在线段BM上时，由 BP=DQ分别列出方程，解之即可得出答案.
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形
理由：∵∠ABD=∠CDB=30 ° ，∠ADB=∠CBD=90°
∴BC∥AD，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：四边形ABC1D1是平行四边形
理由：由（1）AB=CD，AB∥CD
又由平移得：CD=C1D1，CD∥C1D1
∴AB=C1D1，AB∥C1D1
∴四边形ABC1D1是平行四边形.
（3）解：由（2）知当∠ABC1=90°时，四边形ABC1D1是矩形
∵∠ABD=30°
∴∠ C1BB1=90°-30°=60°
又∵C1B1=3 ∠BB1C1=90°
∴BB1===
即当点B的移动距离为时四边形ABC1D1是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；平移的性质
【解析】 【分析】（1） 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断；
（2）根据平移前后对应线段相等且平行，借助平行相等的传递性即可判断；
（3）在Rt△BB1C1中利用60°的正切即可计算。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册5.1矩形 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；
B选项，根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，∴根据∠A=∠C不等判断平行四边形ABCD为矩形；
C选项，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形；
D选项，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的判定定理，检验四个条件是否符合题意即可。
2．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故答案为：B．
【分析】画出图形，各角角的平分线的定义和平行线的性质，三角形的内角和矩形的判定定理求答.
4．（2019九下·未央月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.A（3，0），B(3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 延长OD、AB交于点F，如图所示。
∵将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，
∴∠AOB=∠DOB，
∴OB平分∠AOF，
∴
∵A(3，0)，B(3，1)，C(0，1)，
∴四边形OABC为矩形，
∴∠A=90 ，OA=3，AB=1，
∴OF=3BF.
设BF=a，则OF=3a，AF=1+a.
在Rt△OAF中，
OF2=OA2+AF2，即(3a)2=32+(1+a)2，
解得：a= 或a= 1(舍去)，
∴点F的坐标为(3， ).
设OD所在直线的解析式为y=kx，
将点F(3， )代入y=kx中，
=3k，解得：k= ，
∴OD所在直线的解析式为y= x.
故选C.
【分析】 延长CD、AB交于点F，由折叠的性质可得出OB平分∠AOF，根据角平分线的性质结合勾股定理即可求出BF的长度，进而可得出点F的坐标，再根据点F的坐标利用待定系数法，即可求出OD所在直线的解析式．
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠1=∠3=∠4=40°
∴∠5=∠2==70°。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质以及平行线的性质可得∠1=∠3=∠4，根据补角的性质求出∠2即可。
6．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AO＝BO＝CO＝DO D．BO＝ AC
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，BO=AC
故答案为：A。
【分析】根据矩形的性质，对四个选项进行一一证明即可。
7．（2018九上·岐山期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CE=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD CE=3 x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF= =4，
∴DF=AD-AF=5 4=1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DF2+DE2，
即x2=(3 x)2+12，
解得：x= ，
故答案为：D.
【分析】设CE=x，根据矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，根据折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，故DE=CD CE=3 x，在Rt△ABF中，由勾股定理算出AF，在Rt△DEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
8．（2018·淮安）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）。
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
依题可得：∠1＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠ECA+∠1=90°，
∴∠ECA=55°，
又∵纸片EFGD为矩形，
∴DE∥FG，
∴∠2=∠ECA=55°，
故答案为：C.
【分析】由补角定义结合已知条件得出∠ECA度数，再根据矩形性质和平行线性质得∠2度数.
9．（2018·遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故答案为：C．
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，根据矩形的对角线将矩形分成两个面积相等的三角形得出S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，故S△DFP=S△PBE，从而得出答案。
10．（2018·枣庄）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故答案为：B．
【分析】如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，又矩形的对角线相等，故这8个矩形的对角线都相等，如图所示，满足条件的点应该有3个，
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
12．（2019·黔南模拟）如图，在平面直角坐标系中有矩形ABCD，A（0，0），C（8，6），M为边CD上一动点，当△ABM是等腰三角形时，M点的坐标为 ．
【答案】（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当M为顶点时，AB长为底=8，M在DC中点上，
所以M的坐标为（4， 6），
当B为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近D处，根据勾股定理可知ME= =2
所以M的坐标为（8﹣2 ，6）；
当A为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近C处，根据勾股定理可知MF= =2
所以M的坐标为（2 ，6）；
综上所述，M的坐标为（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）；
故答案为：（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）．
【分析】由题意可知，应分三种情况：当M为顶点时，点M在线段AB的垂直平分线与CD的交点上，此时易求出M的坐标为（4， 6）；当B为顶点，AB长为腰时，BM=AB=8，在△BCM中，根据勾股定理可求出CM的长，进而求出M的坐标为（8﹣2 ，6）；当A为顶点，AB长为腰时，AM=AB=8，在△AADM中，根据勾股定理可求出DM的长，进而求出M的坐标为（2 ，6）；所以M的坐标为（4，6），（8﹣2 ，6），（2 ，6）.
13．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 .
【答案】2.5
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD=10，BO=OD=5
又∵P点和Q点分别为AO和AD的中点
∴PQ=OD=2.5.
故答案为：2.5。
【分析】根据矩形的性质得出OD的长度，利用三角形的中位线定理即可求得PQ的长度。
14．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（1） 同步练习）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE。若∠ADB＝30°，则∠E＝ .
【答案】15°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BE，AC=BD
∴∠E=∠DAE
∵BD=CE，BD=AC
∴CE=CA，∠E=∠CAE，∠CAD=∠ADB=30°
∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠E+∠E=30°
∴∠E=15°。
【分析】根据图中矩形的性质可得∠E=∠DAE，BD=AC=CE，根据∠E=∠CAE求出∠E的度数即可。
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，若BE=OE=1cm，则∠AOB= ，AC= ，S矩形ABCD= ．
【答案】60°；4cm；4 cm2
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵BE=OE=1cm，
∴OB=2cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=OC，BO=DO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE⊥BD，BE=OE，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴AC=2AO=4cm，
由勾股定理得：BC= =2 （cm），
∴S矩形ABCD=BC×AB=2 cm×2cm=4 cm2
故答案为：60°，4cm，4 cm2．
【分析】 由BE=OE=1cm，及矩形的对角线互相平分且相等可得△AOB是等边三角形，从而可知∠AOB=60°，进而可知OA=AB=2cm，即可求得AC=2AO=4cm，从而由勾股定理得BC长，即可求得S矩形ABCD.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
三、解答题
17．（浙教版2019中考数学模拟试卷3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，AD⊥BC于点D，把线段BD沿着BA的方向平移13cm得到线段AE，连接EC．
问：
（1）四边形ADCE是 形；
（2）若△ABC的周长比△AEC的周长大6，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）矩
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AE＝DC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝AE，
设BD＝DC＝AE＝x，CE＝y，
∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，
∴（13×2+2x）﹣（x+y+13）＝6，即y﹣x＝7①，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，即x2+y2＝169②，
由②﹣①的平方，得：2xy＝120，S矩形ADCE＝xy＝60，
即四边形ADCE的面积是60．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形，
理由是：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴根据平移得：AE∥BC，AE＝DC＝BD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
故答案为：矩
【分析】（1）四边形ADCE是矩形，理由如下：根据等腰三角形的三线合一得出BD＝DC，根据平移的性质得出AE∥BC，AE＝DC＝BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形ADCE是平行四边形，由垂直的定义得出∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论：四边形ADCE是矩形；
（2）根据矩形的性质得出 AE＝DC， 根据等腰三角形的三线合一及等量代换得出BD＝DC＝AE， 设BD＝DC＝AE＝x，CE＝y， 根据三角形周长的计算方法及 △ABC的周长比△AEC的周长大6， 列出方程，整理得 y﹣x＝7①， 在Rt△AEC中，由勾股定理得 x2+y2＝169②， 由②﹣①的平方，得：2xy＝120，然后根据矩形的面积计算方法整体代入即可得出 四边形ADCE的面积 。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
【答案】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质和等边对等角得
∠MAE=∠B ，根据内错角相等两直线平行得出
AN∥BC ，根据等腰三角形的三线合一得出
AD⊥BC ，利用
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 证明出
四边形ADCE为平行四边形 ，再根据有一个角是是直角的平行四边形是矩形即可解答.
19．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.1矩形（2）同步练习）如图，已知AB＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC.
（2）只需添加一个条件，即 ▲ ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
【答案】（1）证明：在△DCA和△EAC中，
∵DC=EA，AD=CE，AC=CA，
∴△DCA≌△EAC。
（2）添加条件AD=BC，
∵AB=DC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵CE⊥AE，∴∠E=90°
根据（1）可得△DCA≌△EAC
∴∠A=∠E=90°
∴四边形ABCD为矩形。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证明△DCA≌△EAC即可。
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，根据全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得到结论。
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章 特殊的平行四边形 单元检测a卷）如图， ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
【答案】解：结论：四边形PQMN为矩形.在平行四边形ABCD中， 又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，同理 又∵∠CMD=∠NMQ，∠APB=∠NPQ，∴四边形PQMN为矩形.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，可证得它的邻角互补，再利用角平分线的定义，可得出每两个相邻的内角的平分线互相垂直，就可证得有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论。
21．（2019七上·鄞州期末）已知：如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点M是BC边的中点，点P从点A出发，沿着AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点Q以同样的速度从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动．设点P运动的路程为x
（1）当x=2时，线段AQ的长是
（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积会发生改变吗 请你作出判断并说明理由；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP= DQ 若存在，求出点P的运动路程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6
（2）解：阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：
连结AM，
依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，
∴AQ=8-x，
∴S阴=S△APM+S△AQN，
=·x×4+·（8-x）×4，
=2x+16-2x，
=16.
∴ 阴影面积不变 .
（3）解： ①当点P在线段AB上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=4－x，
又∵ BP=DQ ，
∴4－x=x，
解得：x=3；
②当点P在线段BM上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=x-4，
又∵ BP=DQ ，
∴x-4=x，
解得：x=6；
综上所述：当x=3或6时，BP=DQ .
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】（1）依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，AP=2，
∴DQ=2，
∴AQ=AD-DQ=8-2=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意可得AP=DQ=x，由AQ=AD-DQ计算即可求得答案.
（2）阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：连结AM， 根据题意可得AP=DQ=x，AQ=8-x，由S阴=S△APM+S△AQN计算即可得出阴影面积为定值.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在线段AB上时，②当点P在线段BM上时，由 BP=DQ分别列出方程，解之即可得出答案.
22．（2018九上·紫金期中）将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短的直角边长为3．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗 说出你的结论和理由；
（2）如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△ 的位置，四边形 是平行四边形吗 说出你的结论和理由；
（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形
理由：∵∠ABD=∠CDB=30 ° ，∠ADB=∠CBD=90°
∴BC∥AD，AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：四边形ABC1D1是平行四边形
理由：由（1）AB=CD，AB∥CD
又由平移得：CD=C1D1，CD∥C1D1
∴AB=C1D1，AB∥C1D1
∴四边形ABC1D1是平行四边形.
（3）解：由（2）知当∠ABC1=90°时，四边形ABC1D1是矩形
∵∠ABD=30°
∴∠ C1BB1=90°-30°=60°
又∵C1B1=3 ∠BB1C1=90°
∴BB1===
即当点B的移动距离为时四边形ABC1D1是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；平移的性质
【解析】 【分析】（1） 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断；
（2）根据平移前后对应线段相等且平行，借助平行相等的传递性即可判断；
（3）在Rt△BB1C1中利用60°的正切即可计算。
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