初中数学浙教版九年级上册1.2二次函数的图象（1） 同步训练
一、基础夯实
1．二次函数y=x2的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ．
【答案】抛物线；上；y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知，
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
它的开口向上，它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，0）．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
2．（2019九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象性质：a＞0，则抛物线开口向上；a＜0，则抛物线开口向下；由此即可得出答案.
3．抛物线y＝－x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故答案为：B.
【分析】二次函数的解析式中b=0，c=0，a小于0，故抛物线的对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，从而得出答案。
4．（2017九下·沂源开学考）已知h关于t的函数关系式为h= gt2，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数关系式h= gt2，（g为正常数，t为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线；
又因为t的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分．
故选A．
【分析】因为g为正常数，t为时间，也是正数，所以函数h的值也是正数，图象只能是抛物线在第一象限的部分．
5．（2019九上·河西期中）下列各点中，在二次函数y=-x2的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=-x2=-1；当x=-2时，y=-x2=-4；当x=2时，y=-x2=-4.
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故答案为：A．
【分析】将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的函数值。若函数值等于纵坐标，则可判定此点在函数图象上。
6．（2018·吉林模拟）对于函数 ，下列结论正确的是 （ ）
A． 随 的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于 轴对称
D．无论 取何值， 的值总是正的
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵在函数 中， ，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，在函数 y=5x2 中， a=5>0 ， b=0 ， c=0 ，从而得出该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0，根据性质一一判断即可得出答案。
二、提高特训
7．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
8．（2018九上·山东期中）如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的长为x，且0A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据题意和图像可知：图中阴影部分的面积就是边长为x的一个小正方形的面积，即y=x2，其图像应该是抛物线，从而排除了B，C，又∵0故答案为D
【分析】根据图形和已知条件，即可建立出y与x的函数关系式，根据函数类别判断出其图像应该是抛物线，再根据自变量的取值范围，进而确定函数图象应该是抛物线的一部分，从而得出答案。
9．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，- ).
（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
【答案】（1）解：将点A（-1， ）代入y=ax2，得 =a×12，解得，a= ，
所以解析式为：y=- x2.
图象如图所示：
（2）解：根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）由题意将点A的坐标代入解析式即可求解，由题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
（2）由二次函数的性质易知，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
10．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
11．（2017八下·福州期末）请写出一个开口向上，并且与y轴的交点为（0，0）的抛物线解析式是 ．
【答案】y=x （答案不唯一）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】抛物线y=x 开口向上，且与y轴的交点为(0，0).故答案为：y=x (答案不唯一).
【分析】抛物线y=x 开口向上，且与y轴的交点为(0，0).
12．在同一坐标系中，作y=x2，y=－ x2，y= x2的图象，它们的共同特点是（ ）
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】在同一坐标系中，作y=x2，y=－ x2，y= x2的图象，它们的共同特点是：（1）顶点都在原点：（2）对称轴都是y轴；
故答案为：D.
【分析】由于三个函数解析式中b=0，c=0，故顶点都在原点，对称轴都是y轴。
13．用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（ ）
A．一定是1个 B．一定有2个
C．1个或者2个 D．0个
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，二次函数图象经过第一、二象限，
若k＞0，则反比例函数图象位于第一、三象限，两个函数图象在第一象限有一个交点，
若k＜0，则反比例函数图象位于第二、四象限，两个函数图象在第二象限有一个交点，
所以，交点个数一定是1个．
故选A．
【分析】建立平面直角坐标系，然后作出二次函数图象，再根据k的正负情况判断出反比例函数图象的位置，从而得解．
14．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
三、中考演练
15．（2018·岳阳）在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】设点A、B在二次函数y＝x2的图象上，点C在反比例函数y (x＞0)的图象上，
因为A、B两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2 =0，
因为点C(x3，m)在反比例函数图象上，则x3= ，
∴ω＝x1+x2+x3= ，
故答案为：D.
【分析】由于三点的纵坐标相同，且三点各部相同，故其中应该有两点在抛物线上，一点在双曲线上，设点A、B在二次函数y＝x2的图象上，点C在反比例函数y (x＞0)的图象上，根据抛物线的对称性，A,B两点的横坐标应该互为相反数，即x1+x2 =0，根据双曲线上的点的坐标特点，即可得出x3= ，从而得出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.2二次函数的图象（1） 同步训练
一、基础夯实
1．二次函数y=x2的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ．
2．（2019九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
3．抛物线y＝－x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
4．（2017九下·沂源开学考）已知h关于t的函数关系式为h= gt2，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019九上·河西期中）下列各点中，在二次函数y=-x2的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·吉林模拟）对于函数 ，下列结论正确的是 （ ）
A． 随 的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于 轴对称
D．无论 取何值， 的值总是正的
二、提高特训
7．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
8．（2018九上·山东期中）如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的长为x，且0A． B．
C． D．
9．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，- ).
（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
10．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
11．（2017八下·福州期末）请写出一个开口向上，并且与y轴的交点为（0，0）的抛物线解析式是 ．
12．在同一坐标系中，作y=x2，y=－ x2，y= x2的图象，它们的共同特点是（ ）
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
13．用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（ ）
A．一定是1个 B．一定有2个
C．1个或者2个 D．0个
14．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
三、中考演练
15．（2018·岳阳）在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
答案解析部分
1．【答案】抛物线；上；y轴；（0，0）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：观察图象可知，
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
它的开口向上，它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，0）．
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可。
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象性质：a＞0，则抛物线开口向上；a＜0，则抛物线开口向下；由此即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故答案为：B.
【分析】二次函数的解析式中b=0，c=0，a小于0，故抛物线的对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数关系式h= gt2，（g为正常数，t为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线；
又因为t的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分．
故选A．
【分析】因为g为正常数，t为时间，也是正数，所以函数h的值也是正数，图象只能是抛物线在第一象限的部分．
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=-x2=-1；当x=-2时，y=-x2=-4；当x=2时，y=-x2=-4.
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故答案为：A．
【分析】将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的函数值。若函数值等于纵坐标，则可判定此点在函数图象上。
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵在函数 中， ，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，在函数 y=5x2 中， a=5>0 ， b=0 ， c=0 ，从而得出该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0，根据性质一一判断即可得出答案。
7．【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据题意和图像可知：图中阴影部分的面积就是边长为x的一个小正方形的面积，即y=x2，其图像应该是抛物线，从而排除了B，C，又∵0故答案为D
【分析】根据图形和已知条件，即可建立出y与x的函数关系式，根据函数类别判断出其图像应该是抛物线，再根据自变量的取值范围，进而确定函数图象应该是抛物线的一部分，从而得出答案。
9．【答案】（1）解：将点A（-1， ）代入y=ax2，得 =a×12，解得，a= ，
所以解析式为：y=- x2.
图象如图所示：
（2）解：根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）由题意将点A的坐标代入解析式即可求解，由题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
（2）由二次函数的性质易知，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
10．【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
11．【答案】y=x （答案不唯一）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】抛物线y=x 开口向上，且与y轴的交点为(0，0).故答案为：y=x (答案不唯一).
【分析】抛物线y=x 开口向上，且与y轴的交点为(0，0).
12．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】在同一坐标系中，作y=x2，y=－ x2，y= x2的图象，它们的共同特点是：（1）顶点都在原点：（2）对称轴都是y轴；
故答案为：D.
【分析】由于三个函数解析式中b=0，c=0，故顶点都在原点，对称轴都是y轴。
13．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，二次函数图象经过第一、二象限，
若k＞0，则反比例函数图象位于第一、三象限，两个函数图象在第一象限有一个交点，
若k＜0，则反比例函数图象位于第二、四象限，两个函数图象在第二象限有一个交点，
所以，交点个数一定是1个．
故选A．
【分析】建立平面直角坐标系，然后作出二次函数图象，再根据k的正负情况判断出反比例函数图象的位置，从而得解．
14．【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
15．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】设点A、B在二次函数y＝x2的图象上，点C在反比例函数y (x＞0)的图象上，
因为A、B两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2 =0，
因为点C(x3，m)在反比例函数图象上，则x3= ，
∴ω＝x1+x2+x3= ，
故答案为：D.
【分析】由于三点的纵坐标相同，且三点各部相同，故其中应该有两点在抛物线上，一点在双曲线上，设点A、B在二次函数y＝x2的图象上，点C在反比例函数y (x＞0)的图象上，根据抛物线的对称性，A,B两点的横坐标应该互为相反数，即x1+x2 =0，根据双曲线上的点的坐标特点，即可得出x3= ，从而得出答案。
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