2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册5.2菱形 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（2）同步练习）下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，并且有一条对角线平分一组内角
C．两条对角线互相平分，并且有一组邻角相等
D．一组对边平行，一组对边相等，并且对角线互相垂直
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.1 菱形的性质 同步练习）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．（2019九下·桐乡月考）用尺规作图法在一个矩形中作菱形ABCD，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019九上·揭西期末）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2，则点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2018九上·深圳期中）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
9．（2019九上·东源期中）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．（2018九上·渠县期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019九上·揭西期末）菱形的周长为12，它的一个内角为60°，则菱形的较短的对角线长为 ．
12．（2019九下·温州竞赛）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= °．
13．（2019九下·温州竞赛）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是CD的中点，连接OM并延长至E，使EM=OM，连接DE．CE．若AC=2，则四边形OCED的周长为 ．
14．（2019八上·江川期末）菱形对角线的长分别是6cm和8cm，则周长是 cm，面积是 cm2．
15．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（1）同步练习）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（1）同步练习）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
19．（2018·遂宁）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
20．（2018·郴州）如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
21．（2019九上·揭西期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
22．（2019九上·松北期末）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点，
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB=60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项一组对边平行且相等，可以判断这是个平行四边形，有一个角是直角的平行四边形可以判定是矩形，所以不对；
B选项两组对边分别相等，可以判断这是个平行四边形，有一条对角线平分一组内角的平行四边形可以判定是菱形，所以正确；
C选项两条对角线互相平分，可以判断这是个平行四边形，一组邻角相等可以判断这两个角都是直角，可以判定是矩形，所以不对；
D选项一组对边平行，一组对边相等，不能判断是个平行四边形，即使有对角线互相垂直也不能判定是菱形，所以不对。
故答案为：B
【分析】判定一个四边形是否是菱形，先判定这个四边形是否是平行四边形，判定一个四边形是否是平行四边形，可以有一组对边平行且相等，两组对边分别相等，两条对角线互相平分，而一组对边平行，一组对边相等不能判定一个四边形是否是平行四边形，所以D不对，而A中的有一个角是直角不能判定是菱形，一组邻角相等判定两个角是直角，也不能判定是菱形，所以只有B选项是正确的。
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质可得：菱形具有一般平行四边形不具有的是对角线互相垂直.
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作法可知AD=CB
∵原四边形是矩形
∴AD∥BC
∴四边形ABCD是平行时四边形
故A不符合题意；
B，由作法可知：AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG
∴∠FBD=2∠ABD。∠BDG=2∠BDC
∵矩形BFDG
∴AD∥BC，BF∥DG
∴∠FBD=∠BDG
∴∠ABD=∠BDC
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
故B不符合题意；
C、如图
∵矩形BEDF
∴∠E=∠F=90°，BE=DF，∠EBF=∠ADF，DE=BF
由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF
∴∠EBF=2∠ABE，∠ADF=2∠CDF
∴∠ABE=∠CDF
∵∠ABE=∠CDF ∠E=∠F BE=DF
∴△ABE≌△CFD（AAS）
∴AE=CF
∵DE=BF
∴AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、利用已知条件易证四边形ABCD是平行四边形，
由作法可知：CA垂直平分BD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】由作图可知A只能证明四边形ABCD是平行四边形，而B选项的作法可知AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG，只能证明四边形ABCD是平行四边形；C选项中，由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF，利用全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定定理，可证得四边形ABCD是平行四边形；D选项，由作法可知：CA垂直平分BD，易证四边形ABCD是菱形，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】因为菱形的对角线互相垂直平分，故A、B的横坐标是C点横坐标的一半为4，A、B关于OC对称即关于y轴对称，故B点纵坐标为-2.
所以B点坐标为（4，-2）
故答案为：B。
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分结合C点坐标可求出A、B的横坐标，A、B关于y轴对称可求B点纵坐标，继而可写出B点的坐标。
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝ AC＝6cm，OB＝ BD＝8cm，
∴AB＝ ＝10（cm），
故答案为：B．
【分析】由矩形等宽结合平行四边形面积可判断出四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可求出线段AB的长。
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， ，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC﹣CF=4﹣2t，
∴t=4﹣2t
∴t=
故答案为：D．
【分析】延长AB至M，使MB=AE，连接FM，根据菱形的四条边相等和等边三角形的性质利用AAS证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=BF，利用菱形的四条边相等得出方程即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形AFPE为平行四边形，根据平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可得阴影部分的面积是菱形面积的一半，根据菱形的面积是对角线乘积的一半可得结论.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC、BD，AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，
，
同法可得：
，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质和三角形中位线的性质得出GH=EF，GH∥EF，从而得出四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的性质得出四边形EFGH的角为直角即可得出结论.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB=AD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=2。
故答案为：C.
【分析】根据菱形四边相等，结合∠A=60°可得等边△ADB，再由等边三角形性质即可解答。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= ；故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OC= AC，AC⊥BD，从而得出DE=OC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形OCED是矩形，根据菱形的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质菱形的性质得出AD=AB=AC=2，OA= AC=1，根据勾股定理算出CE=OD=，AE=.
11．【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】如图，∠BAD=60°，菱形ABCD，故AB=AC=12÷4=3，所以△ABC是等边三角形，所以BC=3。
故答案为：3。
【分析】根据菱形的性质，四边都相等可求出边长为3，再根据有一个内角为60°可判断△ABC是等边三角形，故对角线长即为边长。
12．【答案】20°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=140°，
∴OB=OD，∠OBE=70°，
又∵ DE⊥BC，
∴OE=OB=OD，∠BED=90°，
∴∠OBE=∠OEB=70°，
∴∠OED=∠BED-∠OEB，
=90°-70°，
=20°.
故答案为：20°.
【分析】根据菱形的性质得OB=OD，∠OBE=70°，由垂直定义和直角三角形性质得OE=OB=OD，根据等腰三角形性质得∠OBE=∠OEB=70°，再由∠OED=∠BED-∠OEB，计算即可得出答案.
13．【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解：∵矩形ABCD，AC=2，
∴OC=OD=1，
又∵M为CD中点，EM=OM，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形OCED为菱形，
∴C菱形OCED=4×1=4.
故答案为：4.
【分析】根据矩形的性质可得OC=OD=1，再由平行四边形和菱形的判定可得平行四边形OCED是边长为1的菱形，根据周长公式即可求得答案.
14．【答案】20；24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，∴菱形的边长为 5（cm），∴菱形的周长＝5×4＝20（cm）；
面积 8×6＝24（cm2）．
故答案为：20，24．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分及勾股定理可求出菱形的边长，进而求出菱形的周长；根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求出.菱形的面积.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=3，BO=4，∵AB==5，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∵S菱形ABCD=，∴AE=
故答案为：
【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可以求得AO与BO的长，再由勾股定理求得AB的长，根据菱形的面积即等于对角线AC与BD乘积的一半又等于BC与BC边上的高AE的乘积，即可求得AE的长。
16．【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ AB OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据作图可得AC=BC=OA，根据四条边相等的四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C
∵CE=AF，
∴ΔABF≌ΔCBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质四条边相等，可知AB=BC，再由菱形的对角相等，可知∠A=∠C，加上已知条件中给出的CE=AF，由三角形的判定定理SAS可知三角形ABF与三角形CBE全等，由全等三角形的对应角相等，即可证得∠ABF=∠CBE。
19．【答案】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出 ， ， 然后根据等式的性质得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出： 四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论。
20．【答案】解：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中， ，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得出BO=DO，∠EDB=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，得出OE=OF，就可证得四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证。
21．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形．
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形
（2）解：如图，
∵四边形EBFC是菱形，
∴∠2＝∠3＝ ∠ECF
∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴∠4＝ ∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，
∴∠4＝∠3.
∵AH⊥CB，
∴∠4＋∠1＋∠2＝90°，
∴∠3＋∠1＋∠2＝90°.
即AC⊥CF.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AB=AC，AH⊥BC可知BH=HC，又FH=EH，故根据对角线互相垂直平分的四边形可以判定是菱形；
（2）根据等腰三角形“三线合一”可以判定∠CAH=∠BAC；根据菱形EBCF的性质可判定∠BCF=∠ECF， 又∠BAC＝∠ECF 可判断∠CAH=∠BCF。从AH⊥BC可判断∠AHC=90°，故通过计算可判断∠ACF=90°，即得AC⊥CF。
22．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中AD=BC，AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
又∵O为BD的中点
∴OD=OB
在△DOE和△BOF中，∠ADB=∠CBD，OD=OB，∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF
∴DE=BF
又∵AD=BC
∴ AD-DE=BC-BF
即AE=CF
（2）∵△DOE≌△BOF（已证）
∴OE=OF OB=OD
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形
∴DE=BE=BF=DF
又∵∠AEB=60° BE=BF
∴△BEF为等边三角形
∴BE=EF
∴EF=DE
综合得：与DE相等的线段有BE，BF，EF，DF。
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证得三角形全等，得线段DE=BF，再用线段的差得出结论；
（2）先判定四边形BEDF的形状为菱形得DE=BE=BF=DF，进而判定△BEF为等边三角形，得BE=EF=DE，从而得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册5.2菱形 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（2）同步练习）下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，并且有一条对角线平分一组内角
C．两条对角线互相平分，并且有一组邻角相等
D．一组对边平行，一组对边相等，并且对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A选项一组对边平行且相等，可以判断这是个平行四边形，有一个角是直角的平行四边形可以判定是矩形，所以不对；
B选项两组对边分别相等，可以判断这是个平行四边形，有一条对角线平分一组内角的平行四边形可以判定是菱形，所以正确；
C选项两条对角线互相平分，可以判断这是个平行四边形，一组邻角相等可以判断这两个角都是直角，可以判定是矩形，所以不对；
D选项一组对边平行，一组对边相等，不能判断是个平行四边形，即使有对角线互相垂直也不能判定是菱形，所以不对。
故答案为：B
【分析】判定一个四边形是否是菱形，先判定这个四边形是否是平行四边形，判定一个四边形是否是平行四边形，可以有一组对边平行且相等，两组对边分别相等，两条对角线互相平分，而一组对边平行，一组对边相等不能判定一个四边形是否是平行四边形，所以D不对，而A中的有一个角是直角不能判定是菱形，一组邻角相等判定两个角是直角，也不能判定是菱形，所以只有B选项是正确的。
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.1 菱形的性质 同步练习）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质可得：菱形具有一般平行四边形不具有的是对角线互相垂直.
3．（2019九下·桐乡月考）用尺规作图法在一个矩形中作菱形ABCD，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作法可知AD=CB
∵原四边形是矩形
∴AD∥BC
∴四边形ABCD是平行时四边形
故A不符合题意；
B，由作法可知：AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG
∴∠FBD=2∠ABD。∠BDG=2∠BDC
∵矩形BFDG
∴AD∥BC，BF∥DG
∴∠FBD=∠BDG
∴∠ABD=∠BDC
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
故B不符合题意；
C、如图
∵矩形BEDF
∴∠E=∠F=90°，BE=DF，∠EBF=∠ADF，DE=BF
由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF
∴∠EBF=2∠ABE，∠ADF=2∠CDF
∴∠ABE=∠CDF
∵∠ABE=∠CDF ∠E=∠F BE=DF
∴△ABE≌△CFD（AAS）
∴AE=CF
∵DE=BF
∴AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、利用已知条件易证四边形ABCD是平行四边形，
由作法可知：CA垂直平分BD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】由作图可知A只能证明四边形ABCD是平行四边形，而B选项的作法可知AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG，只能证明四边形ABCD是平行四边形；C选项中，由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF，利用全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定定理，可证得四边形ABCD是平行四边形；D选项，由作法可知：CA垂直平分BD，易证四边形ABCD是菱形，即可得出答案。
4．（2019九上·揭西期末）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2，则点B的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】因为菱形的对角线互相垂直平分，故A、B的横坐标是C点横坐标的一半为4，A、B关于OC对称即关于y轴对称，故B点纵坐标为-2.
所以B点坐标为（4，-2）
故答案为：B。
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分结合C点坐标可求出A、B的横坐标，A、B关于y轴对称可求B点纵坐标，继而可写出B点的坐标。
5．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习专练）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝ AC＝6cm，OB＝ BD＝8cm，
∴AB＝ ＝10（cm），
故答案为：B．
【分析】由矩形等宽结合平行四边形面积可判断出四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可求出线段AB的长。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， ，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC﹣CF=4﹣2t，
∴t=4﹣2t
∴t=
故答案为：D．
【分析】延长AB至M，使MB=AE，连接FM，根据菱形的四条边相等和等边三角形的性质利用AAS证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=BF，利用菱形的四条边相等得出方程即可求解.
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形AFPE为平行四边形，根据平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可得阴影部分的面积是菱形面积的一半，根据菱形的面积是对角线乘积的一半可得结论.
8．（2018九上·深圳期中）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC、BD，AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，
，
同法可得：
，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质和三角形中位线的性质得出GH=EF，GH∥EF，从而得出四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的性质得出四边形EFGH的角为直角即可得出结论.
9．（2019九上·东源期中）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB=AD，
又∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=2。
故答案为：C.
【分析】根据菱形四边相等，结合∠A=60°可得等边△ADB，再由等边三角形性质即可解答。
10．（2018九上·渠县期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60°，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，OC= AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2，OA= AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD= ，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= ；故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OC= AC，AC⊥BD，从而得出DE=OC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形OCED是矩形，根据菱形的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质菱形的性质得出AD=AB=AC=2，OA= AC=1，根据勾股定理算出CE=OD=，AE=.
二、填空题
11．（2019九上·揭西期末）菱形的周长为12，它的一个内角为60°，则菱形的较短的对角线长为 ．
【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】如图，∠BAD=60°，菱形ABCD，故AB=AC=12÷4=3，所以△ABC是等边三角形，所以BC=3。
故答案为：3。
【分析】根据菱形的性质，四边都相等可求出边长为3，再根据有一个内角为60°可判断△ABC是等边三角形，故对角线长即为边长。
12．（2019九下·温州竞赛）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= °．
【答案】20°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=140°，
∴OB=OD，∠OBE=70°，
又∵ DE⊥BC，
∴OE=OB=OD，∠BED=90°，
∴∠OBE=∠OEB=70°，
∴∠OED=∠BED-∠OEB，
=90°-70°，
=20°.
故答案为：20°.
【分析】根据菱形的性质得OB=OD，∠OBE=70°，由垂直定义和直角三角形性质得OE=OB=OD，根据等腰三角形性质得∠OBE=∠OEB=70°，再由∠OED=∠BED-∠OEB，计算即可得出答案.
13．（2019九下·温州竞赛）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是CD的中点，连接OM并延长至E，使EM=OM，连接DE．CE．若AC=2，则四边形OCED的周长为 ．
【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解：∵矩形ABCD，AC=2，
∴OC=OD=1，
又∵M为CD中点，EM=OM，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形OCED为菱形，
∴C菱形OCED=4×1=4.
故答案为：4.
【分析】根据矩形的性质可得OC=OD=1，再由平行四边形和菱形的判定可得平行四边形OCED是边长为1的菱形，根据周长公式即可求得答案.
14．（2019八上·江川期末）菱形对角线的长分别是6cm和8cm，则周长是 cm，面积是 cm2．
【答案】20；24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，∴菱形的边长为 5（cm），∴菱形的周长＝5×4＝20（cm）；
面积 8×6＝24（cm2）．
故答案为：20，24．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分及勾股定理可求出菱形的边长，进而求出菱形的周长；根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求出.菱形的面积.
15．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（1）同步练习）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=3，BO=4，∵AB==5，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∵S菱形ABCD=，∴AE=
故答案为：
【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可以求得AO与BO的长，再由勾股定理求得AB的长，根据菱形的面积即等于对角线AC与BD乘积的一半又等于BC与BC边上的高AE的乘积，即可求得AE的长。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ AB OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据作图可得AC=BC=OA，根据四条边相等的四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.1 菱形的性质与判定（1） 同步训练）如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
18．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 18.2.2菱形（1）同步练习）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C
∵CE=AF，
∴ΔABF≌ΔCBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的性质四条边相等，可知AB=BC，再由菱形的对角相等，可知∠A=∠C，加上已知条件中给出的CE=AF，由三角形的判定定理SAS可知三角形ABF与三角形CBE全等，由全等三角形的对应角相等，即可证得∠ABF=∠CBE。
19．（2018·遂宁）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
【答案】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出 ， ， 然后根据等式的性质得出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出： 四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论。
20．（2018·郴州）如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
【答案】解：∵在 ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中， ，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得出BO=DO，∠EDB=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，得出OE=OF，就可证得四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证。
21．（2019九上·揭西期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形．
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形
（2）解：如图，
∵四边形EBFC是菱形，
∴∠2＝∠3＝ ∠ECF
∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴∠4＝ ∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，
∴∠4＝∠3.
∵AH⊥CB，
∴∠4＋∠1＋∠2＝90°，
∴∠3＋∠1＋∠2＝90°.
即AC⊥CF.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由AB=AC，AH⊥BC可知BH=HC，又FH=EH，故根据对角线互相垂直平分的四边形可以判定是菱形；
（2）根据等腰三角形“三线合一”可以判定∠CAH=∠BAC；根据菱形EBCF的性质可判定∠BCF=∠ECF， 又∠BAC＝∠ECF 可判断∠CAH=∠BCF。从AH⊥BC可判断∠AHC=90°，故通过计算可判断∠ACF=90°，即得AC⊥CF。
22．（2019九上·松北期末）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点，
（1）如图1，求证：AE=CF；
（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB=60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段。
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中AD=BC，AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
又∵O为BD的中点
∴OD=OB
在△DOE和△BOF中，∠ADB=∠CBD，OD=OB，∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF
∴DE=BF
又∵AD=BC
∴ AD-DE=BC-BF
即AE=CF
（2）∵△DOE≌△BOF（已证）
∴OE=OF OB=OD
∴四边形BEDF是平行四边形
又∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形
∴DE=BE=BF=DF
又∵∠AEB=60° BE=BF
∴△BEF为等边三角形
∴BE=EF
∴EF=DE
综合得：与DE相等的线段有BE，BF，EF，DF。
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证得三角形全等，得线段DE=BF，再用线段的差得出结论；
（2）先判定四边形BEDF的形状为菱形得DE=BE=BF=DF，进而判定△BEF为等边三角形，得BE=EF=DE，从而得出答案。
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