初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 基础巩固训练
一、单选题
1．（2019·河北模拟）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2018九上·硚口月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2018九上·东台期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2.4 B．2 C．5 D．6
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
5．（2018·台湾）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174 B．176 C．178 D．180
6．（2018·武昌模拟）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．1.下列说法中，不正确的是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
8．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
9．（2017·武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2019·嘉定模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 ．
11．（2019九上·龙湖期末）设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC= .
12．（2019九上·江北期末）如图是一块直角三角形木料， ， ， ，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为 .
13．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
14．（2018九上·扬州月考）一块 余料，已知 ， ， ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
三、解答题
15．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
16．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
17．小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．
（1）请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；
（2）求所得直角三角形内切圆的半径长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①若O是△ABC的外心，则有∠BOC=2∠A=100°，故①正确；
②若O是△ABC的内心，则∠BOC=90°+∠A=115°，故②正确；
③若BC=6，AB+AC=10，当AB=AC=5时，△ABC的面积的最大，其最大值是12，故③正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是，故④错误.
故答案为：C.
【分析】根据每个选项中的已知条件分别计算出应得结果，然后作出判断。
2．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= .
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根据直角三角形的内切圆半径=可求解（其中a=BC ,b=AC ,c=AB ）。
3．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F．
其中AC=8，BC=6，连接OD、OF、OE，则OD⊥BC，OF⊥AC，OD=OF．
∵∠C=90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）．
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=36+64=100，∴AB=10．
由切线的性质定理的：AF=AE，BD=BE，∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，∴R=2，它的内切圆半径为2．
故答案为：B．
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的斜边的长；再根据直角三角形的内切圆的半径=（a、b是直角边）即可求得半径的值。
4．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
5．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI= ∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI= ∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174
故答案为：A．
【分析】根据题意可作辅助线，连接CI（或BI），三角形的内心是指三角形三个内角的平分线的交点，由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，再根据三角形内心的意义可求得∠ACI、∠DCI、∠CAI的度数，由三角形内角和定理即可求得∠AIC和∠DIC的度数，则∠AID=∠AIC+∠DIC。
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边是 ，则有：
又∵
∴
将 代入 得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故答案为：B．
【分析】设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式及，得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点，因此A不符合题意；
B、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，因此B不符合题意；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此C符合题意；
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，因此D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用三角形内心（三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等）的定义对各选项逐一判断。
8．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图.
∵CD为等腰△ABC的底边AB上的高，
∴∠ADC=90°
∴∠BAC+∠ACD=90°
又∵I为△ACD的内切圆圆心，
∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°，
∴∠AIC=135°；
又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；
∴△AIB≌△AIC(SAS)，
∴∠AIB=∠AIC=135°.
故答案为：C.
【分析】本题求的是∠AIB的度数，而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手：CD是AB边上的高，可证得∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；再由I是△ACD的内心，可求出∠IAC+∠ICA=45°，由此可求得∠AIC的度数；再根据∠AIB和∠AIC的关系，可求出结果。
9．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4 ，
∵ BC AD= （AB+BC+AC） r，
×5×4 = ×20×r，
∴r= ，
故答案为：C
【分析】面积法求内切圆半径：先利用勾股定理列出方程求BC边上的高，进而求出三角形面积，三角形的面积还可以等于三个以O为顶点，各边为边的小三角形的面积和，从而建立以r 为未知数的简单的方程，求出r.
10．【答案】3＜r＜6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为：3＜r＜6；
【分析】根据题意，可以求得直角三角形三边的长度，根据题意，写出r得到范围即可。
11．【答案】114°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，O为△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A）=66°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-66°=114°。
故答案为：114°。
【分析】因为内心是三角形内角平分线的交点，故∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A），再根据三角形的内角和定理即可求得。
12．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= = =5，
∴圆形木料的最大半径= =1。
故答案为：1。
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，根据题意所裁的圆形应该是三角形ABC的内切圆，根据三角形的内切圆的半径等于即可算出答案。
13．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
14．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2.
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°.
设△ABC的内切圆的半径为rcm，
则AB×AC=(AB+AC+BC)r，
即×5×12=(5+12+13)r，
解得：r=2，
∴圆的最大面积是22π=4π(cm2).
故答案为：4π.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可证得△ABC为直角三角形，要使余料裁剪成一个圆形材料，且圆的面积要最大，因此△ABC的内切圆的的面积才最大，利用同一个三角形的面积相等，可建立关于r的方程AB×AC=(AB+AC+BC)r，代入计算，可求出r的值。
15．【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
16．【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
17．【答案】（1）解：依照题意画出图形，如下图所示：
4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）解：设直角三角形内切圆的半径长x．
① 当4倍单位长度为直角边时，有（2﹣x）+（4﹣x）= ，
解得：x=3﹣ ；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2﹣x）+（ ﹣x）=4，
解得：x= ﹣1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3﹣ 或 ﹣1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 基础巩固训练
一、单选题
1．（2019·河北模拟）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①若O是△ABC的外心，则有∠BOC=2∠A=100°，故①正确；
②若O是△ABC的内心，则∠BOC=90°+∠A=115°，故②正确；
③若BC=6，AB+AC=10，当AB=AC=5时，△ABC的面积的最大，其最大值是12，故③正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是，故④错误.
故答案为：C.
【分析】根据每个选项中的已知条件分别计算出应得结果，然后作出判断。
2．（2018九上·硚口月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= .
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根据直角三角形的内切圆半径=可求解（其中a=BC ,b=AC ,c=AB ）。
3．（2018九上·东台期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2.4 B．2 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F．
其中AC=8，BC=6，连接OD、OF、OE，则OD⊥BC，OF⊥AC，OD=OF．
∵∠C=90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）．
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=36+64=100，∴AB=10．
由切线的性质定理的：AF=AE，BD=BE，∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，∴R=2，它的内切圆半径为2．
故答案为：B．
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的斜边的长；再根据直角三角形的内切圆的半径=（a、b是直角边）即可求得半径的值。
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
5．（2018·台湾）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174 B．176 C．178 D．180
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI= ∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI= ∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174
故答案为：A．
【分析】根据题意可作辅助线，连接CI（或BI），三角形的内心是指三角形三个内角的平分线的交点，由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，再根据三角形内心的意义可求得∠ACI、∠DCI、∠CAI的度数，由三角形内角和定理即可求得∠AIC和∠DIC的度数，则∠AID=∠AIC+∠DIC。
6．（2018·武昌模拟）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边是 ，则有：
又∵
∴
将 代入 得：
又∵内切圆的面积是
∴它们的比是
故答案为：B．
【分析】设直角三角形的两条直角边是 a ， b ，根据直角三角形的面积公式及，得出三角形的面积，根据圆的面积公式得出圆的面积，从而得出答案。
7．1.下列说法中，不正确的是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的内心是三角形的三条内角平分线的交点，因此A不符合题意；
B、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，因此B不符合题意；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此C符合题意；
D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，因此D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用三角形内心（三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等）的定义对各选项逐一判断。
8．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图.
∵CD为等腰△ABC的底边AB上的高，
∴∠ADC=90°
∴∠BAC+∠ACD=90°
又∵I为△ACD的内切圆圆心，
∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°，
∴∠AIC=135°；
又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；
∴△AIB≌△AIC(SAS)，
∴∠AIB=∠AIC=135°.
故答案为：C.
【分析】本题求的是∠AIB的度数，而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手：CD是AB边上的高，可证得∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；再由I是△ACD的内心，可求出∠IAC+∠ICA=45°，由此可求得∠AIC的度数；再根据∠AIB和∠AIC的关系，可求出结果。
9．（2017·武汉）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4 ，
∵ BC AD= （AB+BC+AC） r，
×5×4 = ×20×r，
∴r= ，
故答案为：C
【分析】面积法求内切圆半径：先利用勾股定理列出方程求BC边上的高，进而求出三角形面积，三角形的面积还可以等于三个以O为顶点，各边为边的小三角形的面积和，从而建立以r 为未知数的简单的方程，求出r.
二、填空题
10．（2019·嘉定模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 ．
【答案】3＜r＜6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为：3＜r＜6；
【分析】根据题意，可以求得直角三角形三边的长度，根据题意，写出r得到范围即可。
11．（2019九上·龙湖期末）设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC= .
【答案】114°
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，O为△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A）=66°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-66°=114°。
故答案为：114°。
【分析】因为内心是三角形内角平分线的交点，故∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（180°-∠A），再根据三角形的内角和定理即可求得。
12．（2019九上·江北期末）如图是一块直角三角形木料， ， ， ，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为 .
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= = =5，
∴圆形木料的最大半径= =1。
故答案为：1。
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，根据题意所裁的圆形应该是三角形ABC的内切圆，根据三角形的内切圆的半径等于即可算出答案。
13．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
14．（2018九上·扬州月考）一块 余料，已知 ， ， ，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵AB=5cm，BC=13cm，AC=12cm，
∴BC2=AB2+AC2.
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°.
设△ABC的内切圆的半径为rcm，
则AB×AC=(AB+AC+BC)r，
即×5×12=(5+12+13)r，
解得：r=2，
∴圆的最大面积是22π=4π(cm2).
故答案为：4π.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可证得△ABC为直角三角形，要使余料裁剪成一个圆形材料，且圆的面积要最大，因此△ABC的内切圆的的面积才最大，利用同一个三角形的面积相等，可建立关于r的方程AB×AC=(AB+AC+BC)r，代入计算，可求出r的值。
三、解答题
15．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
16．（2018九上·辽宁期末）某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积最大，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【答案】（1）解：用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）解：∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD= ，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2 ，
∴内切圆半径为2 m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）作图要使花坛面积最大，作出三角形的内切圆即可，三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，作出两角的平分线的交点即为圆心，再过圆心作OD垂直于边BC，以O为圆心，OD的长为半径作图即可；（2）是等边三角形，BO是的平分线，则∠OBD=30°，根据特殊角的三角函数值可求出圆形花坛的半径，进而求出花坛的面积。
17．小明所在数学兴趣小组，计划用尺规作图作直角三角形，且这个直角三角形的一条边为2倍的单位长度，另一条边为4倍的单位长度．
（1）请你帮忙小明作出所有满足条件的直角三角形（全等的图形记为1个）；
（2）求所得直角三角形内切圆的半径长．
【答案】（1）解：依照题意画出图形，如下图所示：
4倍单位长度为直角边；4倍单位长度为斜边．
（2）解：设直角三角形内切圆的半径长x．
① 当4倍单位长度为直角边时，有（2﹣x）+（4﹣x）= ，
解得：x=3﹣ ；
②当4倍单位长度为斜边时，有（2﹣x）+（ ﹣x）=4，
解得：x= ﹣1．
故所得直角三角形内切圆的半径长为3﹣ 或 ﹣1．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的方法画出图形（分为4倍单位长度为直角边和4倍单位长度为斜边两种情况）；（2）设直角三角形内切圆的半径长x．分两种情况根据内切圆的性质以及勾股定理得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
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