初中数学浙教版九年级下册2.1直线和圆的位置关系(2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·广州模拟）行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
3．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
4．正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
5．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
6．（2019九上·磴口期中）如图，点A,B,D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，若∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为 ．
7．（2019九上·西城期中）阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点P的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
如图，
⑴连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
⑵以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
⑶作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ．
8．（2019九上·临城期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
9．（2018九上·青海期中）已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 .求证： 是 的切线.
10．（2019九上·柳江月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D在⊙O上且AD=CD，∠C=30°。
（1）求证：CD是⊙O的切线，
（2）若⊙O的半径为5，求 的长。
二、提高特训
11．（2019·鄞州模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别 是切线的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
13．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
15．（2019九上·西城期中）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD．
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：因为行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是相切，
故答案为：B．
【分析】圆与直线只有一个交点时，直线与圆相切。
2．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故答案为：D．
【分析】根据经过切点的直径与切线垂直分析即可.
3．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，
设⊙P与直线OC相切于点E，
连结PE，则PE⊥OC，
过P作PD⊥OB于D，
∵OP是⊙P的角平分线，
∴PE=PD，
∵PD是半径
∴⊙P与直线OB相切.
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到AD的距离等于点P到AB的距离，以P为圆心的圆与AB相切，
∴AD与⊙P的位置关系是相切．
故答案为：B．
【分析】正方形对角线平分一组对角，所以正方形对角线可看成正方形的角平分线。根据角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点P到切线AD的距离等于点P到AB的距离，所以以P为圆心的圆与AB相切。
5．【答案】∠ABC=90°
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°
【分析】根据切线的判定定理”经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线“很容易想到需要添加条件AB⊥BC或∠ABC=90°。
6．【答案】相切
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】因为∠A＝25°，所以∠O＝50°，又因为∠OCB＝40°，所以∠COB＝90°，即直线BC与⊙O相切.
【分析】根据圆心角与圆周角的关系，即可得到∠O的度数，根据∠OCB的40°，即可得到∠COB的度数，继而证明即可。
7．【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；
由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．
8．【答案】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，
则∠OEC=90°，
∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠OEC；
又∵O是BC的中点，
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△OBD≌△OCE，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，证明OE=OD．
9．【答案】解：连接OD.
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 连接OD ，根据等边对等角得出 ∠B=∠ODB ， ∠B=∠C，故∠C=∠ODB，根据同位角相等，二直线平行得出OD∥AC，根据二直线平行，内错角相等得出∠ODE=∠DEC=90°，根据垂直于半径的外端点的直线就是圆的切线即可得出结论： DE是⊙O的切线.
10．【答案】（1）证明：(1)连接OD
∵AD=CD ∠C=30°
∴∠A=∠C=30°
∴∠ADC=180°-∠A-∠C=120°
∵OA=OD
∴∠ADO=∠A=30°
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=120°-30°=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙0的切线
（2）解：∵∠A=30°
∴∠BOD=2∠A=60°
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接OD ，根据等边对等角得出 ∠A=∠C=30° ， ∠ADO=∠A=30° ，再根据三角形的内角和得出 ∠ADC= 120°，进而根据角的和差得出 ∠ODC= 90°，即OD⊥CD，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线即可得出结论： CD是⊙0的切线 ；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOD=60°，进而根据弧长计算公式即可算出答案.
11．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等边对等角得出∠OCB=∠B，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B+∠DFB=90°，由对顶角相等及等量代换得∠B+∠EFC=90°，又∠ECF=∠EFC，故∠OCB+∠ECF=90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线.
12．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：（甲）如图1，
∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，
∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM= OA= OB，
∴∠BOP=∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故答案为：B．
【分析】将甲、乙的作法分别作为已知条件，然后从已知条件出发，判断角或线段的关系，从而推理出与切线的性质相矛盾的结论，继而判断出甲、乙两人的作法都是错误的。
13．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵菱形ABCD
∴BD平分∠ABC
∴OE=OF
同理可证点O到菱形各边的距离都相等
∴以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是相切，
故答案为：C
【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。
14．【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
15．【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，
∴AD=CD；
（2）如图，
∵AD=CM，AD=CD，
∴CD=CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵ ，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G相切．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定
【解析】【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到 ，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G相切．
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.1直线和圆的位置关系(2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·广州模拟）行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：因为行驶在水平路面上的汽车，若把路面看成直线，则此时转动的车轮与地面的位置关系是相切，
故答案为：B．
【分析】圆与直线只有一个交点时，直线与圆相切。
2．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故答案为：D．
【分析】根据经过切点的直径与切线垂直分析即可.
3．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图，
设⊙P与直线OC相切于点E，
连结PE，则PE⊥OC，
过P作PD⊥OB于D，
∵OP是⊙P的角平分线，
∴PE=PD，
∵PD是半径
∴⊙P与直线OB相切.
故答案为：B
【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。
4．正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到AD的距离等于点P到AB的距离，以P为圆心的圆与AB相切，
∴AD与⊙P的位置关系是相切．
故答案为：B．
【分析】正方形对角线平分一组对角，所以正方形对角线可看成正方形的角平分线。根据角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点P到切线AD的距离等于点P到AB的距离，所以以P为圆心的圆与AB相切。
5．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
【答案】∠ABC=90°
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°
【分析】根据切线的判定定理”经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线“很容易想到需要添加条件AB⊥BC或∠ABC=90°。
6．（2019九上·磴口期中）如图，点A,B,D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，若∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为 ．
【答案】相切
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】因为∠A＝25°，所以∠O＝50°，又因为∠OCB＝40°，所以∠COB＝90°，即直线BC与⊙O相切.
【分析】根据圆心角与圆周角的关系，即可得到∠O的度数，根据∠OCB的40°，即可得到∠COB的度数，继而证明即可。
7．（2019九上·西城期中）阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点P的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
如图，
⑴连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
⑵以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
⑶作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ．
【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线
【知识点】圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；
由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．
8．（2019九上·临城期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
【答案】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，
则∠OEC=90°，
∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠OEC；
又∵O是BC的中点，
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△OBD≌△OCE，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，证明OE=OD．
9．（2018九上·青海期中）已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 .求证： 是 的切线.
【答案】解：连接OD.
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 连接OD ，根据等边对等角得出 ∠B=∠ODB ， ∠B=∠C，故∠C=∠ODB，根据同位角相等，二直线平行得出OD∥AC，根据二直线平行，内错角相等得出∠ODE=∠DEC=90°，根据垂直于半径的外端点的直线就是圆的切线即可得出结论： DE是⊙O的切线.
10．（2019九上·柳江月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D在⊙O上且AD=CD，∠C=30°。
（1）求证：CD是⊙O的切线，
（2）若⊙O的半径为5，求 的长。
【答案】（1）证明：(1)连接OD
∵AD=CD ∠C=30°
∴∠A=∠C=30°
∴∠ADC=180°-∠A-∠C=120°
∵OA=OD
∴∠ADO=∠A=30°
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=120°-30°=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙0的切线
（2）解：∵∠A=30°
∴∠BOD=2∠A=60°
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接OD ，根据等边对等角得出 ∠A=∠C=30° ， ∠ADO=∠A=30° ，再根据三角形的内角和得出 ∠ADC= 120°，进而根据角的和差得出 ∠ODC= 90°，即OD⊥CD，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线即可得出结论： CD是⊙0的切线 ；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOD=60°，进而根据弧长计算公式即可算出答案.
二、提高特训
11．（2019·鄞州模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)， 于点D，交BC于点F，下列条件中能判别 是切线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，
∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，
∴∠OCB+∠ECF=90°，
∴CE是⊙O的切线.
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据等边对等角得出∠OCB=∠B，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B+∠DFB=90°，由对顶角相等及等量代换得∠B+∠EFC=90°，又∠ECF=∠EFC，故∠OCB+∠ECF=90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线.
12．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：（甲）如图1，
∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，
∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM= OA= OB，
∴∠BOP=∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故答案为：B．
【分析】将甲、乙的作法分别作为已知条件，然后从已知条件出发，判断角或线段的关系，从而推理出与切线的性质相矛盾的结论，继而判断出甲、乙两人的作法都是错误的。
13．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：如图
过点O作OE⊥AB，OF⊥BC
∵菱形ABCD
∴BD平分∠ABC
∴OE=OF
同理可证点O到菱形各边的距离都相等
∴以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形其它三边的位置关系是相切，
故答案为：C
【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。
14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
15．（2019九上·西城期中）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD．
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，
∴AD=CD；
（2）如图，
∵AD=CM，AD=CD，
∴CD=CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵ ，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G相切．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定
【解析】【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到 ，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；（2）如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G相切．
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