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初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·东莞期中）已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．1 B．-3 C．3 D．-2
2．（2019九上·天台月考）设 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
3．（2019九上·潮阳月考）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
4．（2019九上·红安月考）下列一元二次方程两实数根和为－4的是（ ）
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
5．（2019九上·湖北月考）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x-2=0 B．x2-3x+2=0 C．x2-3x-2=0 D．x2+3x+2=0
6．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
7．（2019九上·融安期中）已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+5=0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-5 D．5
8．（2019九上·莲湖期中）已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有一个根是5，则该方程的另一个根是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-5
9．（2019九上·韶关期中）方程2x2+3x-4=0的两根之积为（ ）
A． B． C． D．-2
10．（2019九上·栾城期中）若 ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
11．（2019九上·天台月考）若α，β为方程2x2-5x-1=0的两实数根，则2α2+3αβ+5β的值为 .
12．（2019·苏州模拟）关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为 ．
13．（2019九上·融安期中）已知：m2+2m-4=0，n2+2n-4=0，则 的值为 。
14．（2019九上·灌阳期中）如果关于 的一元二次方程 的两实数根互为倒数，则 的值为
15．（2019九上·平川期中）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为 .
三、解答题
16．（2019九上·红安月考）一元二次方程x2－4x－c＝0的一个根是2＋ ，求另一根及c的值.
17．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。
18．（2018九上·桥东期中）已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程 （a≠0）其中一个实数根为2。
（1）填空：4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“>”，“<”或“=”）；
（2）若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系。
（3）若a=1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1+x2=-1，x1·x2=-2
∴原式=-1-2=-3.
故答案为：B.
【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，然后代入所求代数式计算求值即可。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵∴ =.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出然后将代数式通分后再将分子利用完全平方公式的恒等变形变形后整体代入，按有理数的混合运算法则即可算出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0,
∴m＜1，m≠0,
∴m≤ 且m≠0,
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的情况判断出根的判别式△的取值范围，并据此列出不等式；再利用一元二次方程根与系数的关系写出x1+x2、x1·x2的值，根据题意列出不等式；求出这几个不等式的解集的公共部分即为所求。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、由 x2＋2x－4＝0 ，得 x1+x2=-2， A错误；
B、 x2－4x＋4＝0，得 x1+x2=4， B错误；
C、 x2＋4x＋10＝0，∵△=42-4×10=-24<0，无实数根， C错误；
D、 x2＋4x－5＝0 ，得△=42+4×5=36>0， x1+x2=-4， D正确；
故答案为：D.
【分析】分别利用根与系数之间的关系，求出两根之和，再结合判别式△大于等于0即可判断.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2.
A、两根之和等于-3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以不符合题意；
C、两根之和等于3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
D、两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2 得出两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2，从而即可一一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+5=0的两个根，
∴ x1+x2=-（-4）=4.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q，即可求解。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0的一个根x=5，设另一根为a，
∴x+a=4，即5＋a=4
解得：a=-1
故答案为：A.
【分析】利用根与系数的关系求出m的值，确定出另一根即可.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据韦达定理可知，x1×x2==-2.
故答案为：D。
【分析】根据韦达定理即可得到答案。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，再化简 ，代入即可求解；
11．【答案】12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α为2x2 5x 1＝0的实数根，
∴2α2 5α 1＝0，即2α2＝5α＋1，
∴2α2＋3αβ＋5β＝5α＋1＋3αβ＋5β＝5（α＋β）＋3αβ＋1，
∵α、β为方程2x2 5x 1＝0的两个实数根，
∴α＋β＝，αβ＝ ，
∴2α2＋3αβ＋5β＝5×＋3×（ ）＋1＝12.
故答案为：12.
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2 5α 1＝0，即2α2＝5α＋1，则2α2＋3αβ＋5β可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β＝，αβ＝ ，然后整体代入按有理数的混合运算法则就可算出答案.
12．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：-2+1=,
得m=2,
-2×1=,
得n=-4,
∴nm =(-4)2=16,
故答案为：16.
【分析】由一元二次方程根与系数之间的关系，求得m和n的值，再代入数字到求值式即可得到结果。
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，
∴mn=-4
原式=
=1.
故答案为：1.
【分析】观察已知两方程各项的系数完全相同，可得到m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出mn的值，然后代入计算可求解。
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程3x2-5x+m=0的两根分别为α、β.
根据两根之积公式可得：α β= =1，
又∵方程3x2-5x+m=0的两实数根互为倒数，
∴α β= =1，
解得m=3
故答案为：3.
【分析】由题意“两实数根互为倒数”得，则方程的两根之积就为1.利用根与系数的关系列方程，解方程即可求出m的结果.
15．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程两根为 , , 根据根与系数的关系得 + =2a-a ,又由题意可知 + =0,所以2a-a =0,解得a=0或a=2.当a=2时, 方程化为x +1=0,显然不成立.故a=2舍去.故a=0.
故答案：0.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及两个实数根互为相反数计算可得答案.
16．【答案】解：由题意得：x1+x2=4,则 (2＋ )+x2=4,解得x2=2-,∵x1x2=c,则c=(2＋ )(2- ),c=1.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用两根之和等于求出另一根，再利用两根之积等于求出c即可.
17．【答案】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据三角形的面积可得一元二次方程的两个根的乘积为6，而3×2=6，3+2=5，从而得到符合条件的一元二次方程。
18．【答案】（1）=；>；<
（2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为： 或
（3）解：把 代入方程 (a≠0)得： ，则 ， 得： ， ∵当 时，2与 之间的和为7的整数是3、4， ∴ ， 得： ，即 ； ∵当 时， 与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、-1、-2、-3， ∴ ， 得 ，则 ； 故答案为： 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1)把 代入方程 (a≠0)得：
，
∵ 、 、 均为非零实数，且 ，
∴若 ，则 ， ，则 不能成立，
同理， ，则 ，则 不能成立，
∴ ， ；
【分析】(1)根据方程根的概念，把 代入方程 (a≠0)得 ，然后根据有理数的加法法则，由 、 、 均为非零实数，且 ，即可判断出 ， ；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系 ，然后分 ， 与 ， 两种情况分别代入即可得出ua，c的关系；
（3） 把 代入方程 (a≠0)得： ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， 得： ，然后分 当 时 ，与 当 时， 两种情况，根据 在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7 即可求出m的取值范围，然后再整体代入即可分别得出关于b的不等式，求解即可得出b的取值范围。
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初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·东莞期中）已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（ ）
A．1 B．-3 C．3 D．-2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1+x2=-1，x1·x2=-2
∴原式=-1-2=-3.
故答案为：B.
【分析】先利用一元二次方程的根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，然后代入所求代数式计算求值即可。
2．（2019九上·天台月考）设 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵∴ =.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出然后将代数式通分后再将分子利用完全平方公式的恒等变形变形后整体代入，按有理数的混合运算法则即可算出答案.
3．（2019九上·潮阳月考）关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0,
∴m＜1，m≠0,
∴m≤ 且m≠0,
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根的情况判断出根的判别式△的取值范围，并据此列出不等式；再利用一元二次方程根与系数的关系写出x1+x2、x1·x2的值，根据题意列出不等式；求出这几个不等式的解集的公共部分即为所求。
4．（2019九上·红安月考）下列一元二次方程两实数根和为－4的是（ ）
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、由 x2＋2x－4＝0 ，得 x1+x2=-2， A错误；
B、 x2－4x＋4＝0，得 x1+x2=4， B错误；
C、 x2＋4x＋10＝0，∵△=42-4×10=-24<0，无实数根， C错误；
D、 x2＋4x－5＝0 ，得△=42+4×5=36>0， x1+x2=-4， D正确；
故答案为：D.
【分析】分别利用根与系数之间的关系，求出两根之和，再结合判别式△大于等于0即可判断.
5．（2019九上·湖北月考）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）
A．x2+3x-2=0 B．x2-3x+2=0 C．x2-3x-2=0 D．x2+3x+2=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2.
A、两根之和等于-3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以不符合题意；
C、两根之和等于3，两根之积等于-2，所以此选项不正确；
D、两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2 得出两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2，从而即可一一判断得出答案.
6．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
7．（2019九上·融安期中）已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+5=0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-5 D．5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+5=0的两个根，
∴ x1+x2=-（-4）=4.
故答案为：B.
【分析】一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q，即可求解。
8．（2019九上·莲湖期中）已知关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有一个根是5，则该方程的另一个根是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+k=0的一个根x=5，设另一根为a，
∴x+a=4，即5＋a=4
解得：a=-1
故答案为：A.
【分析】利用根与系数的关系求出m的值，确定出另一根即可.
9．（2019九上·韶关期中）方程2x2+3x-4=0的两根之积为（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据韦达定理可知，x1×x2==-2.
故答案为：D。
【分析】根据韦达定理即可得到答案。
10．（2019九上·栾城期中）若 ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，再化简 ，代入即可求解；
二、填空题
11．（2019九上·天台月考）若α，β为方程2x2-5x-1=0的两实数根，则2α2+3αβ+5β的值为 .
【答案】12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α为2x2 5x 1＝0的实数根，
∴2α2 5α 1＝0，即2α2＝5α＋1，
∴2α2＋3αβ＋5β＝5α＋1＋3αβ＋5β＝5（α＋β）＋3αβ＋1，
∵α、β为方程2x2 5x 1＝0的两个实数根，
∴α＋β＝，αβ＝ ，
∴2α2＋3αβ＋5β＝5×＋3×（ ）＋1＝12.
故答案为：12.
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2 5α 1＝0，即2α2＝5α＋1，则2α2＋3αβ＋5β可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β＝，αβ＝ ，然后整体代入按有理数的混合运算法则就可算出答案.
12．（2019·苏州模拟）关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为 ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：-2+1=,
得m=2,
-2×1=,
得n=-4,
∴nm =(-4)2=16,
故答案为：16.
【分析】由一元二次方程根与系数之间的关系，求得m和n的值，再代入数字到求值式即可得到结果。
13．（2019九上·融安期中）已知：m2+2m-4=0，n2+2n-4=0，则 的值为 。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，
∴mn=-4
原式=
=1.
故答案为：1.
【分析】观察已知两方程各项的系数完全相同，可得到m，n是关于x的一元二次方程x2+2m-4=0的两个根，利用一元二次方程根与系数，可求出mn的值，然后代入计算可求解。
14．（2019九上·灌阳期中）如果关于 的一元二次方程 的两实数根互为倒数，则 的值为
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程3x2-5x+m=0的两根分别为α、β.
根据两根之积公式可得：α β= =1，
又∵方程3x2-5x+m=0的两实数根互为倒数，
∴α β= =1，
解得m=3
故答案为：3.
【分析】由题意“两实数根互为倒数”得，则方程的两根之积就为1.利用根与系数的关系列方程，解方程即可求出m的结果.
15．（2019九上·平川期中）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为 .
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程两根为 , , 根据根与系数的关系得 + =2a-a ,又由题意可知 + =0,所以2a-a =0,解得a=0或a=2.当a=2时, 方程化为x +1=0,显然不成立.故a=2舍去.故a=0.
故答案：0.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及两个实数根互为相反数计算可得答案.
三、解答题
16．（2019九上·红安月考）一元二次方程x2－4x－c＝0的一个根是2＋ ，求另一根及c的值.
【答案】解：由题意得：x1+x2=4,则 (2＋ )+x2=4,解得x2=2-,∵x1x2=c,则c=(2＋ )(2- ),c=1.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用两根之和等于求出另一根，再利用两根之积等于求出c即可.
17．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。
【答案】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据三角形的面积可得一元二次方程的两个根的乘积为6，而3×2=6，3+2=5，从而得到符合条件的一元二次方程。
18．（2018九上·桥东期中）已知：a、b、c均为非零实数，且a>b>c，关于x的一元二次方程 （a≠0）其中一个实数根为2。
（1）填空：4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“>”，“<”或“=”）；
（2）若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根，满足一个根为另一个根的2倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系。
（3）若a=1时，设方程的另一根为m（m≠2），在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7，求b的取值范围.
【答案】（1）=；>；<
（2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 故答案为： 或
（3）解：把 代入方程 (a≠0)得： ，则 ， 得： ， ∵当 时，2与 之间的和为7的整数是3、4， ∴ ， 得： ，即 ； ∵当 时， 与2之间的绝对值和为7的整数是1、0、-1、-2、-3， ∴ ， 得 ，则 ； 故答案为： 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：(1)把 代入方程 (a≠0)得：
，
∵ 、 、 均为非零实数，且 ，
∴若 ，则 ， ，则 不能成立，
同理， ，则 ，则 不能成立，
∴ ， ；
【分析】(1)根据方程根的概念，把 代入方程 (a≠0)得 ，然后根据有理数的加法法则，由 、 、 均为非零实数，且 ，即可判断出 ， ；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系 ，然后分 ， 与 ， 两种情况分别代入即可得出ua，c的关系；
（3） 把 代入方程 (a≠0)得： ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， 得： ，然后分 当 时 ，与 当 时， 两种情况，根据 在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是7 即可求出m的取值范围，然后再整体代入即可分别得出关于b的不等式，求解即可得出b的取值范围。
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