初中数学浙教版九年级上册3.7 正多边形 基础巩固训练
一、正多边形的内角与外角
1．（2019·三门模拟）正八边形的每-个内角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．135° D．45°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正八边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°
∴正八边形的每一个内角的度数为：180°-45°=135°
故答案为：C
【分析】根据任意多边形的内角和等于360°，求出正八边形的每一个外角的度数，再根据正八边形的一个外角和一个内角和为180°，就可求出结果；或利用正n边形的内角和公式，可得到正n边形的每一个内角的度数为：，代入计算可求解。
2．（2019八下·温州期末）如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBF等于（ ）
A．60° B．72° C．80° D．108°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为是正五边形，则每个外角=.
故答案为： B
【分析】根据正多边形的外角和等于计算即可求得 ∠CBF 的大小。
3．（2019·江北模拟）如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=1080，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）可得关于n的方程，解方程即可求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和等于以及正多边形的每一个外角都相等即可求解。
4．（2019八下·义乌期末）
一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于 ．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：n= .
故答案为：5.
【分析】n边形外角和是360°，则正n边形每个外角等于=, 据此求解即可.
5．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ，这个正多边形是几边形？
【答案】解：首先设外角为x°，则内角为3x°，根据内角与外角是邻补角的关系可得x+3x=180，再解方程可得外角度数，然后再用外角和除以外角度数可得边数．
试题解析：设外角为x°，则内角为3x°，由题意得：
x+3x=180，
解得：x=45，
360°÷45°=8，
答：这个正多边形为八边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角与外角是邻补角可列方程求解。
6．（2017八上·双城月考）—个正多边形每个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数。
【答案】解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
x+x+36＝180，
解得x＝72.
所以：360÷72＝5.
答：这个正多边形为正五边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据题意由每个内角比相邻外角大36°，得到一元一次方程，求出外角的度数，再由多边形的外角和是360°，求出正多边形的边数.
7．（2019·海宁模拟）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH.
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH.
【答案】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝ ＝120°
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH(SAS)
∴OG＝OH.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据正多边形的内角和=(n-2)×180°可求得正六边形的内角和的度数，再根据正多边形的各个内角都相等即可求得∠FAB的度数；
（2）连接OA、OB， 根据正多边形的性质用边角边可证 △AOG≌△BOH，所以OG=OH。
二、正多边形与圆
8．（2019九上·东阳期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ∶2，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ∶2，
∴OB：OA= ：2，
∵∠OBA=90°，
∴cos∠AOB= = ，
∴∠AOB=30°，
∴多边形的边数为： =6（边形）。
故答案为：B。
【分析】设OA是正多形的外接圆的半径，OB是其内切圆的半径，根据切线的性质得出∠OBA=90°，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由cos∠AOB= 得出∠AOB=30°，进而根据正多边形中心角的计算方法即可算出该多边形的边数。
9．（2019九上·云安期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形外接圆的半径等于它的边长。
故答案为：C。
【分析】正六边形中心角的度数是60°，相邻的两条半径和正六边形的边长构成的三角形为正三角形，故正六边形外接圆的半径等于它的边长。
10．（2019九上·潮南期末）边长为2的正方形内接于 ，则 的半径是
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，
在Rt△BOC中， ．
故答案为：C．
【分析】根据正方形与圆的关系，可知△BOC是斜边长为2的等腰直角三角形，据此即可解答。
11．（2019九上·台州期末） 从一个半径为 10 的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D
∵圆内接正六边形
∴∠AOB==60°，OA=OB
∴∠AOB=∠AOB=×60°=30°
在Rt△AOD中，OD==OA×cos∠AOB=OA×cos30°=10×=
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，根据正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，然后解直角三角形求出OD的长。
12．（2019·秀洲模拟）如图，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 是劣弧 上任意一点（与点 不重合），则 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB,OC，
∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ，
∴∠BOC==90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°；
故答案为: B.
【分析】根据正多边形的性质得出正方形ABCD的中心角∠BOC==90°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BPC的度数。
13．（2018九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝ °.
【答案】126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO,
由题意得，∠AOB=36°，
∴∠D=18°，
同理，∠DAC=36°,
在△AED中，∠AED=180°-36°-18°=126°，
故答案为：126.
【分析】作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO,根据正多形的中心角的计算方法得出∠AOB=36°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=18°，同理，∠DAC=36°,根据三角形的内角和即可算出答案。
14．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= ．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
15．（2018九上·宁波期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
【答案】24°
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角为
正六边形每个内角为 ，
∴∠BAC=360°-108°-120°=132°，
∵正五边形和正六边形的边长相等，
∴AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB)= (180°-132°)=24°.
故答案为：24°.
【分析】分别求出正六边形和正五边形的每个内角的度数，依此求出∠BAC的度数.由等边对等角，可得∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB).
16．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
17．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.7 正多边形 基础巩固训练
一、正多边形的内角与外角
1．（2019·三门模拟）正八边形的每-个内角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．135° D．45°
2．（2019八下·温州期末）如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBF等于（ ）
A．60° B．72° C．80° D．108°
3．（2019·江北模拟）如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
4．（2019八下·义乌期末）
一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于 ．
5．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ，这个正多边形是几边形？
6．（2017八上·双城月考）—个正多边形每个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数。
7．（2019·海宁模拟）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH.
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH.
二、正多边形与圆
8．（2019九上·东阳期末）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ∶2，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
9．（2019九上·云安期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
10．（2019九上·潮南期末）边长为2的正方形内接于 ，则 的半径是
A．1 B．2 C． D．
11．（2019九上·台州期末） 从一个半径为 10 的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是（ ）
A．5 B．10 C．5 D．10
12．（2019·秀洲模拟）如图，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 是劣弧 上任意一点（与点 不重合），则 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
13．（2018九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线AC与BD交于点E，则∠AED＝ °.
14．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= ．
15．（2018九上·宁波期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
16．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
17．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正八边形的每一个外角的度数为：360°÷8=45°
∴正八边形的每一个内角的度数为：180°-45°=135°
故答案为：C
【分析】根据任意多边形的内角和等于360°，求出正八边形的每一个外角的度数，再根据正八边形的一个外角和一个内角和为180°，就可求出结果；或利用正n边形的内角和公式，可得到正n边形的每一个内角的度数为：，代入计算可求解。
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为是正五边形，则每个外角=.
故答案为： B
【分析】根据正多边形的外角和等于计算即可求得 ∠CBF 的大小。
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=1080，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）可得关于n的方程，解方程即可求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和等于以及正多边形的每一个外角都相等即可求解。
4．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：n= .
故答案为：5.
【分析】n边形外角和是360°，则正n边形每个外角等于=, 据此求解即可.
5．【答案】解：首先设外角为x°，则内角为3x°，根据内角与外角是邻补角的关系可得x+3x=180，再解方程可得外角度数，然后再用外角和除以外角度数可得边数．
试题解析：设外角为x°，则内角为3x°，由题意得：
x+3x=180，
解得：x=45，
360°÷45°=8，
答：这个正多边形为八边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角与外角是邻补角可列方程求解。
6．【答案】解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
x+x+36＝180，
解得x＝72.
所以：360÷72＝5.
答：这个正多边形为正五边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据题意由每个内角比相邻外角大36°，得到一元一次方程，求出外角的度数，再由多边形的外角和是360°，求出正多边形的边数.
7．【答案】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝ ＝120°
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH(SAS)
∴OG＝OH.
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据正多边形的内角和=(n-2)×180°可求得正六边形的内角和的度数，再根据正多边形的各个内角都相等即可求得∠FAB的度数；
（2）连接OA、OB， 根据正多边形的性质用边角边可证 △AOG≌△BOH，所以OG=OH。
8．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ∶2，
∴OB：OA= ：2，
∵∠OBA=90°，
∴cos∠AOB= = ，
∴∠AOB=30°，
∴多边形的边数为： =6（边形）。
故答案为：B。
【分析】设OA是正多形的外接圆的半径，OB是其内切圆的半径，根据切线的性质得出∠OBA=90°，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由cos∠AOB= 得出∠AOB=30°，进而根据正多边形中心角的计算方法即可算出该多边形的边数。
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形外接圆的半径等于它的边长。
故答案为：C。
【分析】正六边形中心角的度数是60°，相邻的两条半径和正六边形的边长构成的三角形为正三角形，故正六边形外接圆的半径等于它的边长。
10．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，则OC=OB，BC=2，∠BOC=90°，
在Rt△BOC中， ．
故答案为：C．
【分析】根据正方形与圆的关系，可知△BOC是斜边长为2的等腰直角三角形，据此即可解答。
11．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D
∵圆内接正六边形
∴∠AOB==60°，OA=OB
∴∠AOB=∠AOB=×60°=30°
在Rt△AOD中，OD==OA×cos∠AOB=OA×cos30°=10×=
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，根据正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，然后解直角三角形求出OD的长。
12．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB,OC，
∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ，
∴∠BOC==90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°；
故答案为: B.
【分析】根据正多边形的性质得出正方形ABCD的中心角∠BOC==90°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BPC的度数。
13．【答案】126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO,
由题意得，∠AOB=36°，
∴∠D=18°，
同理，∠DAC=36°,
在△AED中，∠AED=180°-36°-18°=126°，
故答案为：126.
【分析】作该多边形的外接圆，连接AD 、AO、BO,根据正多形的中心角的计算方法得出∠AOB=36°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠D=18°，同理，∠DAC=36°,根据三角形的内角和即可算出答案。
14．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。
15．【答案】24°
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角为
正六边形每个内角为 ，
∴∠BAC=360°-108°-120°=132°，
∵正五边形和正六边形的边长相等，
∴AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB)= (180°-132°)=24°.
故答案为：24°.
【分析】分别求出正六边形和正五边形的每个内角的度数，依此求出∠BAC的度数.由等边对等角，可得∠BCA=∠ABC= (180°-∠CAB).
16．【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
17．【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
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