初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定：AAS和角平分线 同步训练
一、角平分线
1．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3．
故答案为：3．
【分析】如图，过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PC=3.
2．（2019七下·天台期末）完成下面的证明：
如图，∠C=50°，E是BA延长线上的一点，过点A作 //BC﹒若AD平分∠CAE，求∠B的度数．
解：∵ //BC，∠C=50°（ 已知 ），
∴∠2= = °（ ）.
又∵AD平分∠CAE（ 已知 ），
∴ =∠2=50°（ ）.
又∵ //BC（已知），
∴∠B= = °（ ）.
【答案】∠C；50；两直线平行，内错角相等；∠1；角平分线的意义；∠1；50；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质分别回答，两直线平行内错角相等得 ∠2= ∠C，两直线平行同位角相等得
∠B=∠1，另外由角平分线的定义得∠1=∠2 .
3．（2019八下·太原期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．19 B．13 C．10 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，
故答案为:A．
【分析】根据垂直平分线的性质，可得出三角形的周长。
4．（2019八下·宁化期中）如图，在△BC中，已知AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD，若∠BAC=60°，则∠ABC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在AB上取AC′=AC，
∵AD是角平分线，
∴△ACD≌△AC′D，
又AB=AC+CD，得AB=AC′+C′D，故BC′=C′D，
∴∠C=∠AC'D=2∠B，
又∠B+∠C=180°-∠A=120°，
故∠B=40°．
选B．
【分析】利用角平分线构造的三角形，利用补角的性质，可得出∠B的度数。
5．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= ×20×3=30，
故答案为：30．
【分析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3即可算出答案。
6．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等 ，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故 P为线段AB的垂直平分线 上的点； 按照设计要求，发射塔P到两条高速公路m和n的距离也必须相等 ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等故点P必须在 ∠MON的平分线 或 ∠QON的平分线 上，综上所述： P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置 。
7．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
二、AAS
8．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
9．（2019七下·盐田期末）如图，AB⊥BC，OB=OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB.由此判定△AOB≌△DOC的依据是（ ）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴∠A=∠D
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（AAS）
故答案为：B。
【分析】根据题意，采用多种方法分别证明三角形全等即可。
10．（2019七下·盐田期末）如图，∠1=∠2，AB=AD，点E在边BC上，∠C=∠AED，AB与DE交于点O.
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）当∠1=40°时，求∠BED的度数.
【答案】（1） ∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE
∴∠DAE=∠BAC
∵∠C=∠AED，AB=AD
∴三角形ABC≌三角形ADE。
（2） ∵∠1=∠2=40°，根据（1）可得，AC=AE
∴∠C=∠AEC=70°
∵∠AEB为三角形AEC的外角
∴∠AEB=∠2+∠C=40°+70°=110°
∵∠AED=∠C=70°
∴∠BED=40°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，由两个三角形的两个角及其一个角的对边相等，即可证明两个三角形全等。
（2）根据（1）中三角形全等的性质以及三角形的外角和定理即可求出∠BED的度数。
11．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；② ；③ ；④ .其中能使 的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件中的∠1=∠2，同时加上公共部分的∠EAB，可证得∠CAB=∠DAE，题中已知AC=AD，因此若添加边，只能添加AB=AE；若添加角，可以添加其它两组角中的任意一组均可。
12．（2019七下·苏州期末）如图， 、 、 三点在同一条直线上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：
,
（2）解：
，
=
= = =
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再结合已知可证∠B=∠CDE，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证∠ACB=∠DCE，同时可求出∠E的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠BCD的度数。
13．（2019八下·宁化期中）已知:如图,AC、BD相交于点E，AB=DC，∠B=∠C.
求证:
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠BDA=∠CAD.
【答案】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA.
即∠BDA=∠CAD
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AAS判定定理，可得出三角形全等。
（2）根据全等三角形的性质，可得出结论。
14．（2019八下·兰州期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠ADC=90°.
∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠FAE，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故答案为：B.
【分析】 由题意得∠BEA=∠ADC=90°.根据等角的余角相等可求出∠FBD=∠FAE， 利用AAS可判断
△BDF≌△ADC，由全等三角形的对应边相等可得BD=AD，进而可求出∠ABC的大小.
三、中考演练
15．（2018·宜宾）如图，已知 ，求证： .
【答案】解：证明：∵∠1=∠2，∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，
∴∠ACB=∠ACD，
又∵∠B=∠C，AC=AC，
∴△ABC △ADC（AAS）
∴CB=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】要证明CB=CD，就要证明△ABC △ADC，根据全等三角形判定定理“AAS”寻找条件即可.
16．（2018·陕西）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在 ABH和 DCG中， ，∴ ABH≌ DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出 ABH≌ DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。
17．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
18．（2018·黔西南）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故答案为：B．
【分析】根据两边及夹角对应相等的两个三角形全等可以判断出乙和△ABC全等，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等判断出丙和△ABC全等。
19．（2018·临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义及同角的余角相等，证明∠EBC=∠DCA．就可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的性质，可得出BE=DC=1，CE=AD=3．然后求出DE的长。
20．（2019·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M、N在对角线AC上，且AM=CN、E、F分别是AD，BC的中点
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG的长。
【答案】（1） 由题意知，∠MAB=∠NCD
在△ABM和△CDN中，AB=CD，∠MAB=∠NCD，AM=CN
∴△ABM≌△CDN（SAS）
（2） 连接EF,交AC于点O
∵AE=CF,EOA=FOC,EAO=FCO，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴EO=FO,AO=CO，O为中点
∠EGF=90°，OG=
∴AG=OA=OG=1或AG=OA+OG=4
∴AG=1或4
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理（SAS）可判断。
（2）根据全等三角形判定定理（AAS）和全等三角形的性质，得出结论。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定：AAS和角平分线 同步训练
一、角平分线
1．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 ．
2．（2019七下·天台期末）完成下面的证明：
如图，∠C=50°，E是BA延长线上的一点，过点A作 //BC﹒若AD平分∠CAE，求∠B的度数．
解：∵ //BC，∠C=50°（ 已知 ），
∴∠2= = °（ ）.
又∵AD平分∠CAE（ 已知 ），
∴ =∠2=50°（ ）.
又∵ //BC（已知），
∴∠B= = °（ ）.
3．（2019八下·太原期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．19 B．13 C．10 D．16
4．（2019八下·宁化期中）如图，在△BC中，已知AD是∠BAC的平分线，且AB=AC+CD，若∠BAC=60°，则∠ABC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
6．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
7．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
二、AAS
8．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019七下·盐田期末）如图，AB⊥BC，OB=OC，CD⊥BC，点A，O，D在一条直线上，通过测量CD的长可知小河的宽AB.由此判定△AOB≌△DOC的依据是（ ）
A．SAS或SSA B．ASA或AAS C．SAS或ASA D．SSS或AAS
10．（2019七下·盐田期末）如图，∠1=∠2，AB=AD，点E在边BC上，∠C=∠AED，AB与DE交于点O.
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）当∠1=40°时，求∠BED的度数.
11．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；② ；③ ；④ .其中能使 的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2019七下·苏州期末）如图， 、 、 三点在同一条直线上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
13．（2019八下·宁化期中）已知:如图,AC、BD相交于点E，AB=DC，∠B=∠C.
求证:
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠BDA=∠CAD.
14．（2019八下·兰州期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
三、中考演练
15．（2018·宜宾）如图，已知 ，求证： .
16．（2018·陕西）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
17．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
18．（2018·黔西南）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
19．（2018·临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．
20．（2019·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，M、N在对角线AC上，且AM=CN、E、F分别是AD，BC的中点
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF=90°，求AG的长。
答案解析部分
1．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD=PC，
∵PC=3，
∴PD=3．
故答案为：3．
【分析】如图，过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PC=3.
2．【答案】∠C；50；两直线平行，内错角相等；∠1；角平分线的意义；∠1；50；两直线平行，同位角相等
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质分别回答，两直线平行内错角相等得 ∠2= ∠C，两直线平行同位角相等得
∠B=∠1，另外由角平分线的定义得∠1=∠2 .
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，
故答案为:A．
【分析】根据垂直平分线的性质，可得出三角形的周长。
4．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在AB上取AC′=AC，
∵AD是角平分线，
∴△ACD≌△AC′D，
又AB=AC+CD，得AB=AC′+C′D，故BC′=C′D，
∴∠C=∠AC'D=2∠B，
又∠B+∠C=180°-∠A=120°，
故∠B=40°．
选B．
【分析】利用角平分线构造的三角形，利用补角的性质，可得出∠B的度数。
5．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= ×20×3=30，
故答案为：30．
【分析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出OE=OF=OD=3，然后根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3即可算出答案。
6．【答案】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等 ，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故 P为线段AB的垂直平分线 上的点； 按照设计要求，发射塔P到两条高速公路m和n的距离也必须相等 ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等故点P必须在 ∠MON的平分线 或 ∠QON的平分线 上，综上所述： P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置 。
7．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∵∠ABO=∠COD=90°，OB=OC，∠AOB=∠COD
∴∠A=∠D
∴三角形ABO≌三角形DCO
∴△AOB≌△DOC（AAS）
故答案为：B。
【分析】根据题意，采用多种方法分别证明三角形全等即可。
10．【答案】（1） ∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE
∴∠DAE=∠BAC
∵∠C=∠AED，AB=AD
∴三角形ABC≌三角形ADE。
（2） ∵∠1=∠2=40°，根据（1）可得，AC=AE
∴∠C=∠AEC=70°
∵∠AEB为三角形AEC的外角
∴∠AEB=∠2+∠C=40°+70°=110°
∵∠AED=∠C=70°
∴∠BED=40°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，由两个三角形的两个角及其一个角的对边相等，即可证明两个三角形全等。
（2）根据（1）中三角形全等的性质以及三角形的外角和定理即可求出∠BED的度数。
11．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件中的∠1=∠2，同时加上公共部分的∠EAB，可证得∠CAB=∠DAE，题中已知AC=AD，因此若添加边，只能添加AB=AE；若添加角，可以添加其它两组角中的任意一组均可。
12．【答案】（1）证明：
,
（2）解：
，
=
= = =
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再结合已知可证∠B=∠CDE，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应角相等，可证∠ACB=∠DCE，同时可求出∠E的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠BCD的度数。
13．【答案】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA.
即∠BDA=∠CAD
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据AAS判定定理，可得出三角形全等。
（2）根据全等三角形的性质，可得出结论。
14．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠ADC=90°.
∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠FAE，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故答案为：B.
【分析】 由题意得∠BEA=∠ADC=90°.根据等角的余角相等可求出∠FBD=∠FAE， 利用AAS可判断
△BDF≌△ADC，由全等三角形的对应边相等可得BD=AD，进而可求出∠ABC的大小.
15．【答案】解：证明：∵∠1=∠2，∠ACB+∠1=180°，∠ACD+∠2=180°，
∴∠ACB=∠ACD，
又∵∠B=∠C，AC=AC，
∴△ABC △ADC（AAS）
∴CB=CD.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】要证明CB=CD，就要证明△ABC △ADC，根据全等三角形判定定理“AAS”寻找条件即可.
16．【答案】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，在 ABH和 DCG中， ，∴ ABH≌ DCG(AAS)，∴AH＝DG，∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠A＝∠D，∠AHB＝∠DGC，然后由AAS判断出 ABH≌ DCG，根据全等三角形对应边相等得出AH＝DG，再根据等式的性质，即可得出答案。
17．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
18．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故答案为：B．
【分析】根据两边及夹角对应相等的两个三角形全等可以判断出乙和△ABC全等，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等判断出丙和△ABC全等。
19．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义及同角的余角相等，证明∠EBC=∠DCA．就可证得△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的性质，可得出BE=DC=1，CE=AD=3．然后求出DE的长。
20．【答案】（1） 由题意知，∠MAB=∠NCD
在△ABM和△CDN中，AB=CD，∠MAB=∠NCD，AM=CN
∴△ABM≌△CDN（SAS）
（2） 连接EF,交AC于点O
∵AE=CF,EOA=FOC,EAO=FCO，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴EO=FO,AO=CO，O为中点
∠EGF=90°，OG=
∴AG=OA=OG=1或AG=OA+OG=4
∴AG=1或4
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理（SAS）可判断。
（2）根据全等三角形判定定理（AAS）和全等三角形的性质，得出结论。
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