初中数学浙教版八年级上册 2.1 图形的轴对称 同步训练
一、轴对称图形
1．（2019七下·郑州期末）下面四个手机 APP 图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·昭通期末）下列图形中，关于直线l对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八上·黔南期末）我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分如图2所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为 ，则电子表的实际时刻是 ．
5．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
二、轴对称的性质
6．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 ．
8．如图所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F．若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N．若AB=10，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
9．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，
（1）结合图形指出对称点．
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样关系？
三、作图-轴对称
10．（2019七下·双阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的正方形网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，顶点都在格点上，其对称轴为直线AC。
（1）在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A‘B’C‘D’。
（3）直接写出四边形A‘B’C‘D’的面积
11．如图：
（1）①作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．
②若△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O．试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角a的关系． 不用证明．
12．（2019八上·椒江期末）请按要求完成下面三道小题．
（1）如图1，∠BAC关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴 尺规作图，保留作图痕迹 ；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，已知线段AB和点C(A与C是对称点)．
求作线段 ，使它与AB成轴对称，标明对称轴b，操作如下：
连接AC； 作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；
作点B关于直线b的对称点D； 连接CD即为所求.
（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，且 （A与C是对称点）.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法或画出对称轴 尺规作图，保留作图痕迹 ；如果不能，请说明理由．
13．（2018八上·慈溪期中）下面两图均是4×4的正方形网格，格点A，格点B和直线l的位置如图所示，点P在直线l上.
（1）请分别在图1和图2中作出点P，使PA+PB最短；
（2）请分别在图3和图4中作出点P，使PA-PB最长.
14．（2018八上·天台期中）如∠MON=30°、OP=6，点A、B分别在OM、ON上；
（1）请在图中画出周长最小的△PAB（保留画图痕迹）；
（2）请求出（1）中△PAB的周长．
四、轴对称的应用
15．（2019八下·南山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．
16．（2019八下·河池期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB= S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 .
17．（2019八上·昭通期末）如图所示：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长为15cm，P1P2＝ ．
18．（2019八上·大渡口期末）在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 .
19．（2019八上·鄂州期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2＋
五、中考演练
20．（2018·无锡）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
22．（2019·江汉）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
Ⅰ.如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
Ⅱ.如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，画出BC边的垂直平分线n．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，符合题意；第二是中心对称图形，不符合题意；第三、四个不是轴对称图形小也不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称和轴对称图形的定义满足条件的只有C．
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形沿着直线l折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是关于直线l对称。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
故答案为：B。
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；沿着对折的这条直线就是轴对称图形的对称轴，由于该图案过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
4．【答案】10：50
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：50
【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称课可得答案．对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数.
5．【答案】书
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形，即可得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
6．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意：A是P与P1的中点；B是P1与P2的中点；
C是P2与P3的中点；
依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称；
故再有一步，可以回到原处P．
所以至少要跳6步回到原处P．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得P与P1关于点A对称，再根据轴对称的性质画图解答.
7．【答案】10°
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，
由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得∠CA′D=∠B+∠A′DB，从而求出∠A′DB.
8．【答案】解：如图所示，
∵AB=10，
∴DE=AB=10，
∴S△DEF= ×10×4=20．
答：△DEF的面积是20．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形，由轴对称的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式进而可得出结论.
9．【答案】（1）解：由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′
（2）解：连接AA′，直线m是线段AA′的垂直平分线；
（3）解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或其延长线的交点在对称轴上．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称图形的性质和△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，可得对称点；
（2）根据“对称轴是两个对称点的连线的垂直平分线”可得答案；
（3）根据轴对称的性质可直接得出结论.
10．【答案】（1）
（2）
（3）12
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）过点B作点B关于对称轴的对称点D，连接AD和CD即可。
（2）将四边形ABCD的四个顶点分别向下平移5个单位长度，进行连线即可得到新的图形。
（3）将四边形的面积看作两个三角形的面积的和，即可得到答案。
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到D点，连接即可。
（2）根据平移的性质进行作图。
（3）将四边形的面积进行拆分，简便计算即可。
11．【答案】（1）解：所画图形如下所示：
（2）解：连接B′O．
∵△ABC和△A'B'C'关于MN对称，
∴∠BOM=∠B'OM．
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于EF对称，
∴∠B′OE=∠B″OE．
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α
即∠BOB″=2α．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找出△ABC各顶点关于直线MN对称的各对应点，然后顺次连接即可；
（2）连接AA′，作AA′的垂直平分线即可求出直线EF；
（3）根据对称找到相等的角得∠BOM=∠B'OM．∠B′OE=∠B″OE ，则∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE可得.
12．【答案】（1）解：如图，作∠BAC的平分线所在直线a(答案不唯一)
（2）解：如图，
（3）解：尺规作图先做一对对应点的垂直平分线得到角（如图），再做角的对称轴即可
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠BAC的角平分线所在的直线a即可。
（2）连接AC，作线段AC的垂直平分线b，再作出点B关于直线b的对称点D，然后连接CD即可解答。
（3）利用轴对称的性质，先做一对对应点的垂直平分线得到角（如图），再做角的对称轴即可。
13．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）图1中，利用两点之间线段最短，可得出点P的位置；在图2中作点B关于直线l的对称点B，连接AB，交直线l于点P即可。
（2）在图3中，找出点B关于直线l的对称点B，连接AB并延长与直线l交于点P；在图4中，连接AB并延长与直线l交于点P即可。
14．【答案】（1）解：画出点P分别关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2，交OM于点A。交ON于点B。
∴AP=AP1，BP=BP2
∴△ABP的周长为：AP+AB+BP=AP1+BA+BP2=P1P2
根据两点之间线段最短，
∴△PAB的最短周长为线段P1P2的长
（2）解：连接OP1、OP2
由轴对称的性质可知：OP=OP1=OP2=8， ∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，
∵∠MON=30°，
∴∠P1OP2=2∠MON=60°，
∴△P1OP2是等边三角形，
∴△P1OP2=OP=6，
∴△PAB的周长=6.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，画出点P分别关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2，利用两点之间线段最短，可知△PAB的最短周长为线段P1P2的长，因此线段与OM，ON的交点即为所确定的点A、B。
（2）连接OP1、OP2，由轴对称的性质得：OP=OP1=OP2∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，就可证得∠P1OP2=60°，证得△P′OP″是等边三角形，即可得到结论。
15．【答案】1+
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 由
将△ABC沿直线AD翻折点C落在AB边上的点E处可知C、E关于直线AD对称，点P是直线AD上的动点，故当P点运动到D处即BC与AD相交处△PEB的周长的最小。
设BE=x，
∵∠C=90°，∠ABC=60° ，
∴∠AED=90°，∠BED=90°，
∴BD=2x，
∴BE2+DE2=BD2，即x2+12=（2x）2。
解得：x=
，
∴BE=
，BD=
，
∴△PEB的周长=
=1+。
故答案为：1+
。
【分析】由折叠性质可知C、E关于直线AD对称，则直线AD上点到C、E的距离相等，故PE+BE=PC+PB，根据两点之间线段最短，PC+PB的最小值即为BC，即P点在BC与AD交点处。确定了P点位置后，根据直角三角形的性质可分别求出△PEB的各边长，计算即可。
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h.
∵S△PAB= S矩形ABCD，
∴ AB h= AB AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE= ，
即PA+PB的最小值为4 .
故答案为：4 .
【分析】设△ABP中AB边上的高是h.由S△PAB= S矩形ABCD，可求出h=2，即动点P在与AB平行且到AB的距离是2的直线l上，如图，根据两点之间线段最短，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE，即点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值 .
17．【答案】15cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是15 cm，
∴P1P2=15（cm） ．
故答案为：15 cm．
【分析】根据轴对称的性质得出PM=P1M，PN=P2N，根据三角形的周长计算方法及线段的和差、等量代换，由PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2即可算出答案。
18．【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如下图，设点N关于BD的对称点为N′，连接MN′，则MN′=MN，
∴CM+MN=CM+MN′，
∵BD平分∠ABC，
∴点N′在BA上，
∴当C、M、N′在同一直线上，且CN′⊥AB时，CM+MN最短，
过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长是CM+MN的最小值，
∴∠CEB=90°，
又∵∠ABC=30°，
∴CE= BC=4，
∴CM+MN的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】设点N关于BD的对称点为N′，连接MN′，则MN′=MN，由对称的性质可得CM+MN=CM+MN′，由角平分线的性质可得点N′在BA上，根据两点之间线段最短可得：当C、M、N′在同一直线上，且CN′⊥AB时，CM+MN最短，于是过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长是CM+MN的最小值，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CE= BC求解。
19．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，
∴∠ABC=∠A'=60°，A'B'=BC=A'C'，
∴A'C'∥BC，
∴四边形A'BCC'为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4.
故答案为：A.
【分析】 连接CC′，由已知条件可得四边形A′BCC′ 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，点C关于 BC′ 的对称点为的A′ ，连接 A′A，交BC′于点D，由作图可知，点B与点D重合，此时， AD＋CD有最小值 ，由正△ABC的边长为2即可求出答案.
20．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故答案为：D．
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据定义，即可一一判断。
21．【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
22．【答案】 解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，等角对等边判断出BC=DC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上判断出点A，C都在线段BD的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线得出AC应该就是线段BD的垂直平分线，故作直线AC，AC就是四边形ABCD的对称轴m；
（2）延长BA，CD相交于一点，连接AC，BD相交于一点，过这两交点的直线n就是BC边的垂直平分线。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册 2.1 图形的轴对称 同步训练
一、轴对称图形
1．（2019七下·郑州期末）下面四个手机 APP 图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，符合题意；第二是中心对称图形，不符合题意；第三、四个不是轴对称图形小也不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
2．（2019八上·昭通期末）下列图形中，关于直线l对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称和轴对称图形的定义满足条件的只有C．
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形沿着直线l折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是关于直线l对称。
3．（2019八上·黔南期末）我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分如图2所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
故答案为：B。
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；沿着对折的这条直线就是轴对称图形的对称轴，由于该图案过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
4．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数为 ，则电子表的实际时刻是 ．
【答案】10：50
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：电子表的实际时刻是10：50，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：50
【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称课可得答案．对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数.
5．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
【答案】书
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形，即可得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
二、轴对称的性质
6．如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意：A是P与P1的中点；B是P1与P2的中点；
C是P2与P3的中点；
依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称；
故再有一步，可以回到原处P．
所以至少要跳6步回到原处P．
故答案为：C．
【分析】根据题意可得P与P1关于点A对称，再根据轴对称的性质画图解答.
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为 ．
【答案】10°
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，
由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得∠CA′D=∠B+∠A′DB，从而求出∠A′DB.
8．如图所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F．若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N．若AB=10，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
【答案】解：如图所示，
∵AB=10，
∴DE=AB=10，
∴S△DEF= ×10×4=20．
答：△DEF的面积是20．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形，由轴对称的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式进而可得出结论.
9．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，
（1）结合图形指出对称点．
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样关系？
【答案】（1）解：由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′
（2）解：连接AA′，直线m是线段AA′的垂直平分线；
（3）解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或其延长线的交点在对称轴上．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称图形的性质和△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，可得对称点；
（2）根据“对称轴是两个对称点的连线的垂直平分线”可得答案；
（3）根据轴对称的性质可直接得出结论.
三、作图-轴对称
10．（2019七下·双阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的正方形网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，顶点都在格点上，其对称轴为直线AC。
（1）在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A‘B’C‘D’。
（3）直接写出四边形A‘B’C‘D’的面积
【答案】（1）
（2）
（3）12
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）过点B作点B关于对称轴的对称点D，连接AD和CD即可。
（2）将四边形ABCD的四个顶点分别向下平移5个单位长度，进行连线即可得到新的图形。
（3）将四边形的面积看作两个三角形的面积的和，即可得到答案。
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到D点，连接即可。
（2）根据平移的性质进行作图。
（3）将四边形的面积进行拆分，简便计算即可。
11．如图：
（1）①作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．
②若△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O．试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角a的关系． 不用证明．
【答案】（1）解：所画图形如下所示：
（2）解：连接B′O．
∵△ABC和△A'B'C'关于MN对称，
∴∠BOM=∠B'OM．
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于EF对称，
∴∠B′OE=∠B″OE．
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α
即∠BOB″=2α．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找出△ABC各顶点关于直线MN对称的各对应点，然后顺次连接即可；
（2）连接AA′，作AA′的垂直平分线即可求出直线EF；
（3）根据对称找到相等的角得∠BOM=∠B'OM．∠B′OE=∠B″OE ，则∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE可得.
12．（2019八上·椒江期末）请按要求完成下面三道小题．
（1）如图1，∠BAC关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴 尺规作图，保留作图痕迹 ；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，已知线段AB和点C(A与C是对称点)．
求作线段 ，使它与AB成轴对称，标明对称轴b，操作如下：
连接AC； 作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；
作点B关于直线b的对称点D； 连接CD即为所求.
（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，且 （A与C是对称点）.你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法或画出对称轴 尺规作图，保留作图痕迹 ；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，作∠BAC的平分线所在直线a(答案不唯一)
（2）解：如图，
（3）解：尺规作图先做一对对应点的垂直平分线得到角（如图），再做角的对称轴即可
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠BAC的角平分线所在的直线a即可。
（2）连接AC，作线段AC的垂直平分线b，再作出点B关于直线b的对称点D，然后连接CD即可解答。
（3）利用轴对称的性质，先做一对对应点的垂直平分线得到角（如图），再做角的对称轴即可。
13．（2018八上·慈溪期中）下面两图均是4×4的正方形网格，格点A，格点B和直线l的位置如图所示，点P在直线l上.
（1）请分别在图1和图2中作出点P，使PA+PB最短；
（2）请分别在图3和图4中作出点P，使PA-PB最长.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）图1中，利用两点之间线段最短，可得出点P的位置；在图2中作点B关于直线l的对称点B，连接AB，交直线l于点P即可。
（2）在图3中，找出点B关于直线l的对称点B，连接AB并延长与直线l交于点P；在图4中，连接AB并延长与直线l交于点P即可。
14．（2018八上·天台期中）如∠MON=30°、OP=6，点A、B分别在OM、ON上；
（1）请在图中画出周长最小的△PAB（保留画图痕迹）；
（2）请求出（1）中△PAB的周长．
【答案】（1）解：画出点P分别关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2，交OM于点A。交ON于点B。
∴AP=AP1，BP=BP2
∴△ABP的周长为：AP+AB+BP=AP1+BA+BP2=P1P2
根据两点之间线段最短，
∴△PAB的最短周长为线段P1P2的长
（2）解：连接OP1、OP2
由轴对称的性质可知：OP=OP1=OP2=8， ∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，
∵∠MON=30°，
∴∠P1OP2=2∠MON=60°，
∴△P1OP2是等边三角形，
∴△P1OP2=OP=6，
∴△PAB的周长=6.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，画出点P分别关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2，利用两点之间线段最短，可知△PAB的最短周长为线段P1P2的长，因此线段与OM，ON的交点即为所确定的点A、B。
（2）连接OP1、OP2，由轴对称的性质得：OP=OP1=OP2∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，就可证得∠P1OP2=60°，证得△P′OP″是等边三角形，即可得到结论。
四、轴对称的应用
15．（2019八下·南山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．
【答案】1+
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 由
将△ABC沿直线AD翻折点C落在AB边上的点E处可知C、E关于直线AD对称，点P是直线AD上的动点，故当P点运动到D处即BC与AD相交处△PEB的周长的最小。
设BE=x，
∵∠C=90°，∠ABC=60° ，
∴∠AED=90°，∠BED=90°，
∴BD=2x，
∴BE2+DE2=BD2，即x2+12=（2x）2。
解得：x=
，
∴BE=
，BD=
，
∴△PEB的周长=
=1+。
故答案为：1+
。
【分析】由折叠性质可知C、E关于直线AD对称，则直线AD上点到C、E的距离相等，故PE+BE=PC+PB，根据两点之间线段最短，PC+PB的最小值即为BC，即P点在BC与AD交点处。确定了P点位置后，根据直角三角形的性质可分别求出△PEB的各边长，计算即可。
16．（2019八下·河池期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB= S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h.
∵S△PAB= S矩形ABCD，
∴ AB h= AB AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE= ，
即PA+PB的最小值为4 .
故答案为：4 .
【分析】设△ABP中AB边上的高是h.由S△PAB= S矩形ABCD，可求出h=2，即动点P在与AB平行且到AB的距离是2的直线l上，如图，根据两点之间线段最短，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE，即点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值 .
17．（2019八上·昭通期末）如图所示：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长为15cm，P1P2＝ ．
【答案】15cm
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是15 cm，
∴P1P2=15（cm） ．
故答案为：15 cm．
【分析】根据轴对称的性质得出PM=P1M，PN=P2N，根据三角形的周长计算方法及线段的和差、等量代换，由PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2即可算出答案。
18．（2019八上·大渡口期末）在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 .
【答案】4
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如下图，设点N关于BD的对称点为N′，连接MN′，则MN′=MN，
∴CM+MN=CM+MN′，
∵BD平分∠ABC，
∴点N′在BA上，
∴当C、M、N′在同一直线上，且CN′⊥AB时，CM+MN最短，
过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长是CM+MN的最小值，
∴∠CEB=90°，
又∵∠ABC=30°，
∴CE= BC=4，
∴CM+MN的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】设点N关于BD的对称点为N′，连接MN′，则MN′=MN，由对称的性质可得CM+MN=CM+MN′，由角平分线的性质可得点N′在BA上，根据两点之间线段最短可得：当C、M、N′在同一直线上，且CN′⊥AB时，CM+MN最短，于是过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长是CM+MN的最小值，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CE= BC求解。
19．（2019八上·鄂州期末）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2＋
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，
∴∠ABC=∠A'=60°，A'B'=BC=A'C'，
∴A'C'∥BC，
∴四边形A'BCC'为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4.
故答案为：A.
【分析】 连接CC′，由已知条件可得四边形A′BCC′ 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，点C关于 BC′ 的对称点为的A′ ，连接 A′A，交BC′于点D，由作图可知，点B与点D重合，此时， AD＋CD有最小值 ，由正△ABC的边长为2即可求出答案.
五、中考演练
20．（2018·无锡）下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图所示：直线l即为各图形的对称轴．
，
故答案为：D．
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据定义，即可一一判断。
21．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
22．（2019·江汉）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
Ⅰ.如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
Ⅱ.如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】 解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，等角对等边判断出BC=DC，根据到线段两个端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上判断出点A，C都在线段BD的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线得出AC应该就是线段BD的垂直平分线，故作直线AC，AC就是四边形ABCD的对称轴m；
（2）延长BA，CD相交于一点，连接AC，BD相交于一点，过这两交点的直线n就是BC边的垂直平分线。
1 / 1
