初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·盐田期中）三角形的重心是三条（ ）
A．中线的交点 B．角平分线的交点
C．高线的交点 D．垂线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】三角形的重心为三条中线的交点
故答案为：A
【分析】根据三角形重心的定义可选出答案。
2．如图，已知点D是△ABC的重心，若AE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点D是△ABC的重心，
∴BE为AC边的中线，
∴AC=2AE=8．
故答案为：B
【分析】根据三角形重心的性质可求解。
3．（2019·天台模拟）过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为（ ）
A．4 B．4.5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心
∴AD为中线，AG=2GD，
∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2：3
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴
∴GE=4
故答案为：A
【分析】 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2：3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。
4．（2018九上·浦东期中）如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则 = ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AG交BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE=EC， ,
∵GD∥BC，
,又BE=EC，
.
【分析】重心：三角形三边中点与对角连线的交点。根据其性质，重心到顶点与到边的距离为2:1，故。根据平行线的性质，判定△AGD∽△AEC。对应边成比例，分析即可求出 。
5．（2018·灌南模拟）已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是 ．
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=8，即GD=4，
故点G与边BC中点之间的距离是4．
故答案为4．
【分析】如图，D是BC边的中点，根据三角形重心的性质得出AG=2GD=8，即GD=4，
6．（2018九上·崇明期末）已知 是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AB= ，
∴AD= ，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG= AD= ．
故答案为 .
【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．
7．（2017九上·郑州期中）如图所示，已知点G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是 ．
【答案】9cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵G为直角△ABC的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∴S△AGD= S△ABD= S△ABC= S△ABC，
而S△ABC= AB×BC=54，
∴S△AGD=9cm2
故答案为：9cm2
【分析】根据已知G为直角△ABC的重心，可证BG=2GD，AD=DC，再证明S△AGD= S△ABC，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，就可得到△AGD的面积。
8．（2018九上·长兴月考）如图，已知点G为△ABc的重心，过点G作DE∥BC。交AB于点D，交AC于点E，若BC=15，则线段DE的长为 ．
【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点F
∵点G是△ABC的重心
∴
∵DE∥BC
∴
∴
解之：DE=10
故答案为：10
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点F，利用三角形重心的定义，可证得，再根据平行线分线段成比例，证明，就可求出DE的长。
9．（2018九上·泰州期中）如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：
设BC的中线是AD，BC的高是AE，
由重心性质可知：
AD：GD=3：1，
∵GH⊥BC，
∴△ADE∽△GDH，
∴AD：GD=AE：GH=3：1，
∴AE=3GH=3×3=9，
故答案为9．
【分析】设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，由垂直于同一条直线的两条直线平行可判定△ADE∽△GDH，再根据相似三角形的性质即可求出AE的长。
二、强化提升
10．（2019九下·温州竞赛）如图，△ABC中，G为重心，DF∥BC，则 = .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点G是重心
∴，点D为AC的中点
∴AC=2AD
∵DF∥BC
∴
设FG为x，则EG=2x，AG=2EG=2×2x=4x
∴AE=AG+EG=4x+2x=6x
∴
故答案为：
【分析】根据重心的定义，可知，点D为AC的中点，利用平行线分线段成比例定理，可证，设FG为x，则EG=2x，AG=4x，AE=6x，然后求出FG与AE的比值。
11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为
【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
12．如图，G为△ABC的重心，若EF过点G，且EF∥BC，交AB，AC于E，F，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接AG并延长，交BC于点P.
∵G为△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴AG：AP=2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC=AG：AP=2：3.
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：
【分析】连接AG并延长，交BC于点P。由重心和比例的性质可求得AG：AP=2：3，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AGF∽△APC，△AEF∽△ABC，于是可得比例式求解。
13．（2018九上·东台月考）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC= .
【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：延长AG交BC于点D
.∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12.
故答案为：12.
【分析】本题主要考查的是三角形的重心.延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解。
14．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则 = ．
【答案】1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，
则有 = ， = ，
两式相加 ，
又平行四边形BCKG中，PM= （BG+CK），而由P为重心得AP=2PM，
故 ．
故答案为：1．
【分析】分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，就可得出，，将两比例式相加，再由PM= （BG+CK）及AP=2PM，就可求出结果。
15．（2018·余姚模拟）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n ，则 + = ．
【答案】1
【知识点】梯形中位线定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，
∴BE＋CF＝2MD，
∵BE∥AD，CF∥AD，∴ ， .
∵M是△ABC的重心，∴AM＝2DE.
∴ ＝1.
故答案为1.
【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案。
16．（2019·乐山）在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 .
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明： 是△ 重心
，
又 ∥ ，
， ，
则
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
又
而 是 的中点，即
又
结论成立
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ，
点 在 的延长线上时， ，
，则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。
（2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。
（3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ，结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·盐田期中）三角形的重心是三条（ ）
A．中线的交点 B．角平分线的交点
C．高线的交点 D．垂线的交点
2．如图，已知点D是△ABC的重心，若AE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．（2019·天台模拟）过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为（ ）
A．4 B．4.5 C．6 D．8
4．（2018九上·浦东期中）如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则 = ．
5．（2018·灌南模拟）已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是 ．
6．（2018九上·崇明期末）已知 是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为 ．
7．（2017九上·郑州期中）如图所示，已知点G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是 ．
8．（2018九上·长兴月考）如图，已知点G为△ABc的重心，过点G作DE∥BC。交AB于点D，交AC于点E，若BC=15，则线段DE的长为 ．
9．（2018九上·泰州期中）如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为 ．
二、强化提升
10．（2019九下·温州竞赛）如图，△ABC中，G为重心，DF∥BC，则 = .
11．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为
12．如图，G为△ABC的重心，若EF过点G，且EF∥BC，交AB，AC于E，F，则 ＝ ．
13．（2018九上·东台月考）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC= .
14．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则 = ．
15．（2018·余姚模拟）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n ，则 + = ．
16．（2019·乐山）在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 .
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】三角形的重心为三条中线的交点
故答案为：A
【分析】根据三角形重心的定义可选出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点D是△ABC的重心，
∴BE为AC边的中线，
∴AC=2AE=8．
故答案为：B
【分析】根据三角形重心的性质可求解。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心
∴AD为中线，AG=2GD，
∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2：3
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴
∴GE=4
故答案为：A
【分析】 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2：3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。
4．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AG交BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE=EC， ,
∵GD∥BC，
,又BE=EC，
.
【分析】重心：三角形三边中点与对角连线的交点。根据其性质，重心到顶点与到边的距离为2:1，故。根据平行线的性质，判定△AGD∽△AEC。对应边成比例，分析即可求出 。
5．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=8，即GD=4，
故点G与边BC中点之间的距离是4．
故答案为4．
【分析】如图，D是BC边的中点，根据三角形重心的性质得出AG=2GD=8，即GD=4，
6．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AB= ，
∴AD= ，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG= AD= ．
故答案为 .
【分析】延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．
7．【答案】9cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵G为直角△ABC的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∴S△AGD= S△ABD= S△ABC= S△ABC，
而S△ABC= AB×BC=54，
∴S△AGD=9cm2
故答案为：9cm2
【分析】根据已知G为直角△ABC的重心，可证BG=2GD，AD=DC，再证明S△AGD= S△ABC，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，就可得到△AGD的面积。
8．【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点F
∵点G是△ABC的重心
∴
∵DE∥BC
∴
∴
解之：DE=10
故答案为：10
【分析】连接AG，并延长AG交BC于点F，利用三角形重心的定义，可证得，再根据平行线分线段成比例，证明，就可求出DE的长。
9．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：
设BC的中线是AD，BC的高是AE，
由重心性质可知：
AD：GD=3：1，
∵GH⊥BC，
∴△ADE∽△GDH，
∴AD：GD=AE：GH=3：1，
∴AE=3GH=3×3=9，
故答案为9．
【分析】设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，由垂直于同一条直线的两条直线平行可判定△ADE∽△GDH，再根据相似三角形的性质即可求出AE的长。
10．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点G是重心
∴，点D为AC的中点
∴AC=2AD
∵DF∥BC
∴
设FG为x，则EG=2x，AG=2EG=2×2x=4x
∴AE=AG+EG=4x+2x=6x
∴
故答案为：
【分析】根据重心的定义，可知，点D为AC的中点，利用平行线分线段成比例定理，可证，设FG为x，则EG=2x，AG=4x，AE=6x，然后求出FG与AE的比值。
11．【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
12．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接AG并延长，交BC于点P.
∵G为△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴AG：AP=2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC=AG：AP=2：3.
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：
【分析】连接AG并延长，交BC于点P。由重心和比例的性质可求得AG：AP=2：3，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AGF∽△APC，△AEF∽△ABC，于是可得比例式求解。
13．【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：延长AG交BC于点D
.∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12.
故答案为：12.
【分析】本题主要考查的是三角形的重心.延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解。
14．【答案】1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，
则有 = ， = ，
两式相加 ，
又平行四边形BCKG中，PM= （BG+CK），而由P为重心得AP=2PM，
故 ．
故答案为：1．
【分析】分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，就可得出，，将两比例式相加，再由PM= （BG+CK）及AP=2PM，就可求出结果。
15．【答案】1
【知识点】梯形中位线定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，
∴BE＋CF＝2MD，
∵BE∥AD，CF∥AD，∴ ， .
∵M是△ABC的重心，∴AM＝2DE.
∴ ＝1.
故答案为1.
【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案。
16．【答案】（1）证明： 是△ 重心
，
又 ∥ ，
， ，
则
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
又
而 是 的中点，即
又
结论成立
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ，
点 在 的延长线上时， ，
，则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。
（2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。
（3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ，结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。
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