初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积——扇形面积 同步训练
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C．πm2 D．2πm2
2．（2019七下·东台期中）如图所示，分别以 边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九下·象山月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B． πm2 C．15πm2 D． πm2
4．（2019九上·龙山期末）设计一个商标图案：先作矩形ABCD，使AB＝2BC，AB＝8，再以点A为圆心、AD的长为半径作半圆，交BA的延长线于F，连FC。图中阴影部分就是商标图案，该商标图案的面积等于（ ）
A．4 ＋8 B．4 ＋16 C．3 ＋8 D．3 ＋16
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.1 圆的基本元素 同步练习）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作 ，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2019八上·昭通期末）为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为 cm2．
7．（2019·中山模拟）如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=4，以O为圆心，AO为半径作半圆，以A为圆心，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为 ．
8．（2019九下·温州竞赛）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和 )．
9．（2019九上·云安期末）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为
．
10．（2019九上·綦江期末）如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB， 上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为 ．
三、综合题
11．（2018九上·桐乡期中）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
长．
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
12．（2018六上·普陀期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．
①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；
②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；
③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；
设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙．
（1）求S甲．（结果保留π）
（2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上： ．
（3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝ ．（结果保留π）
13．（2018九上·清江浦期中）如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅳ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上.
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 ；
（2）位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是 ；
（3）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（4）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求该纸片所扫过图形的面积.
四、中考演练
14．（2019·遂宁）如图， 内接于 ，若 ， 的半径 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·凉山）如图，在 中， ，将△AOC绕点O顺时针旋转 后得到 ，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
16．（2019·荆门）如图，等边三角形 的边长为2，以 为圆心，1为半径作圆分别交 边于 ，再以点 为圆心， 长为半径作圆交 边于 ，连接 ，那么图中阴影部分的面积为 .
17．（2019·扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB’C’D’的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为 .
18．（2019·重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2），
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为直径，根据扇形的半径相等，及勾股定理即可算出AB=BC= m，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
2．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴SA1+SA2+…+SAn=S圆=π×12=π（cm2）.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和为360°可知： 图中阴影部分的面积之和刚好拼成一个圆周角，而小圆的半径都是1，所以图中阴影部分的面积之和是一个以1为半径的圆，根据圆的面积=R2计算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，
所以面积= =9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积= π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+ π= π（m2）．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出示意图，由题意可知：大扇形的圆心角是90度，半径是6小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，然后根据扇形的面积计算公式S=算出大小两扇形的面积，再求出其和即可。
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意可知，AB=2BC，AB=8，
所以BC=4，S阴=S扇形FDA+S矩形ABCD-SΔFBC=+48-=4π+32-24=4π+8.
故答案为：A
【分析】此题主要考查阴影部分的面积，阴影部分的面积等于扇形FDA与矩形ABCD的面积之和减去三角形FBC的面积，将扇形FDA，矩形ABCD，三角形FBC的面积代入等式，即可求解。
5．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=4，AC=2，
∴S1+S3=2π，S2+S4=
，
∵S1﹣S2=
，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=
π
∴S3﹣S4=
π，
故答案为：D．
【分析】 首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
6．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：贴布部分的面积=S扇形BAC-S扇形DAE
= -
= （cm2）．
故答案为 ．
【分析】根据贴布部分的面积=S扇形BAC-S扇形DAE，由扇形的面积计算公式S=即可算出答案。
7．【答案】8
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在 Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=4 ，
∴AB= ，∠BAO=45°，∠BOC=∠AOB=90°，
阴影部分的面积 =S扇形BOC-（S扇形BAD-S△BAO）
=
=8.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的性质可得AB= ，∠BAO=45°，∠BOC=∠AOB=90°，利用阴影部分的面积 =S扇形BOC-（S扇形BAD-S△BAO）代入数据计算即得.
8．【答案】-
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：∵ 正六边形ABCDEF的边长为1，
∴S正六边形ABCDEF=6××1×=，
∴S扇形ABF==，
∴S阴=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF=-.
故答案为：-.
【分析】先分别求出扇形ABF和正六边形ABCDEF的面积，再由S阴=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF计算即可得出答案.
9．【答案】4-π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接AD，由△ABD∽△CAD得：AD
2=BD·CD，
即22=BD·（4-BD），解得：BD=2，
∴CD=2，AB=
，AC=
，
S阴影=S△ABC-S扇形=
=4-π。
故答案为： 4-π。
【分析】由△ABD∽△CAD易得AD，继而求出AB、AC的长度，再利用阴影部分面积等于三角形面积减去扇形面积，通过公式计算即可。
10．【答案】 -1
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OD，
则OD=OA= ，
根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．
∴S阴影=SACDF=AC CD=（OA-OC）CD= -1．
故答案为： -1．
【分析】连接OD，由题意可得OD=OA，由阴影部分图形的构成可得阴影部分的面积=扇形OAB的面积+矩形AFDC的面积-直角三角形OED的面积-扇形OAD的面积=长方形AFDC的面积。
11．【答案】（1）解：AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）解：连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积= ，阴影部分面积=
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可知AD⊥BC，由已知条件可知D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.
（2）在Rt△ODH中，根据正弦的定义可求得DH长，由三角形面积公式可得△OBD的面积，再由扇形的面积公式可求得扇形OBD的面积，从而可求得阴影部分的面积.
12．【答案】（1）解：S甲＝ ＝
（2）S甲＝2 S乙
（3）S丙＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）S乙=4 =4 ，
∴S甲＝2 S乙，
故答案为：S甲＝2 S乙（3）S丙＝16 .
【分析】（1）S甲＝两个扇形的面积减去一个正方形的面积；（2）将乙中阴影部分的面积转化为4个拱形的面积进行求解即可；（3）利用（2）的方法，将图中阴影部分转化为若干拱形的面积求解即可.
13．【答案】（1）2
（2）相切
（3）
（4）解：点N所经过路径长为 =2π， S半圆= =2π，S扇形= =4π， 故半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2；
（ 2 ）∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2，位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
（ 3 ）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，
∵ 的长为
=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；
【分析】（1）根据圆的半径等于直径的一半可求解；
（2）根据直线和圆的位置关系可知，当⊙P与直线有一个交点时，直线与圆相切；
（3）由题意可知，位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，于是根据弧长公式l=
即可求解；
（4）由题意可知 该纸片所扫过图形的面积 =半圆的面积+扇形的面积。
14．【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理，可得∠BOC=2∠A=90°，由阴影部分的面积=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形的面积和三角形的面积公式计算即可.
15．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质，可得阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，.
，
故
故答案为：
【分析】先根据图形的构成用常见几何体把图形分割、组合，得出阴影部分面积的关系式。分别求出各常用几何体的面积，代入关系式即可求解。
17．【答案】32π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB'C'D'的位置 ，
∴∠BAB'=45°，四边形ABCD≌四边形AB'C'D'，
∴四边形ABCD的面积=四AB'C'D'的面积，
∵阴影部分面积=扇形BB'A的面积+四边形ABCD的面积-四AB'C'D'的面积
∴阴影部分面积=扇形BB'A的面积=
故答案为： 32π 。
【分析】根据旋转的性质可知：∠BAB'=45°，四边形ABCD≌四边形AB'C'D'，根据全等四边形的面积相等得出：四边形ABCD的面积=四AB'C'D'的面积，所以阴影部分面积=扇形BB'A的面积+四边形ABCD的面积-四AB'C'D'的面积=扇形BB'A的面积，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
18．【答案】2 ﹣ π
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝ AB＝1，
由勾股定理得，OB＝ ＝ ，
∴AC＝2，BD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AO＝ AB＝1，根据勾股定理算出OB的长，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半及扇形的面积计算公式S=，由阴影部分的面积=菱形的面积-两个扇形的面积即可算出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积——扇形面积 同步训练
一、单选题
1．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题 A）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C．πm2 D．2πm2
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2=22，
∴AB=BC= m，
∴阴影部分的面积是 = （m2），
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为直径，根据扇形的半径相等，及勾股定理即可算出AB=BC= m，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
2．（2019七下·东台期中）如图所示，分别以 边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴SA1+SA2+…+SAn=S圆=π×12=π（cm2）.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的外角和为360°可知： 图中阴影部分的面积之和刚好拼成一个圆周角，而小圆的半径都是1，所以图中阴影部分的面积之和是一个以1为半径的圆，根据圆的面积=R2计算即可求解。
3．（2019九下·象山月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B． πm2 C．15πm2 D． πm2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，
所以面积= =9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积= π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+ π= π（m2）．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出示意图，由题意可知：大扇形的圆心角是90度，半径是6小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，然后根据扇形的面积计算公式S=算出大小两扇形的面积，再求出其和即可。
4．（2019九上·龙山期末）设计一个商标图案：先作矩形ABCD，使AB＝2BC，AB＝8，再以点A为圆心、AD的长为半径作半圆，交BA的延长线于F，连FC。图中阴影部分就是商标图案，该商标图案的面积等于（ ）
A．4 ＋8 B．4 ＋16 C．3 ＋8 D．3 ＋16
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意可知，AB=2BC，AB=8，
所以BC=4，S阴=S扇形FDA+S矩形ABCD-SΔFBC=+48-=4π+32-24=4π+8.
故答案为：A
【分析】此题主要考查阴影部分的面积，阴影部分的面积等于扇形FDA与矩形ABCD的面积之和减去三角形FBC的面积，将扇形FDA，矩形ABCD，三角形FBC的面积代入等式，即可求解。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.1 圆的基本元素 同步练习）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作 ，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2= ，则S3﹣S4的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=4，AC=2，
∴S1+S3=2π，S2+S4=
，
∵S1﹣S2=
，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=
π
∴S3﹣S4=
π，
故答案为：D．
【分析】 首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
二、填空题
6．（2019八上·昭通期末）为庆祝祖国华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为 cm2．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：贴布部分的面积=S扇形BAC-S扇形DAE
= -
= （cm2）．
故答案为 ．
【分析】根据贴布部分的面积=S扇形BAC-S扇形DAE，由扇形的面积计算公式S=即可算出答案。
7．（2019·中山模拟）如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=4，以O为圆心，AO为半径作半圆，以A为圆心，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在 Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=4 ，
∴AB= ，∠BAO=45°，∠BOC=∠AOB=90°，
阴影部分的面积 =S扇形BOC-（S扇形BAD-S△BAO）
=
=8.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的性质可得AB= ，∠BAO=45°，∠BOC=∠AOB=90°，利用阴影部分的面积 =S扇形BOC-（S扇形BAD-S△BAO）代入数据计算即得.
8．（2019九下·温州竞赛）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和 )．
【答案】-
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：∵ 正六边形ABCDEF的边长为1，
∴S正六边形ABCDEF=6××1×=，
∴S扇形ABF==，
∴S阴=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF=-.
故答案为：-.
【分析】先分别求出扇形ABF和正六边形ABCDEF的面积，再由S阴=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF计算即可得出答案.
9．（2019九上·云安期末）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】4-π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接AD，由△ABD∽△CAD得：AD
2=BD·CD，
即22=BD·（4-BD），解得：BD=2，
∴CD=2，AB=
，AC=
，
S阴影=S△ABC-S扇形=
=4-π。
故答案为： 4-π。
【分析】由△ABD∽△CAD易得AD，继而求出AB、AC的长度，再利用阴影部分面积等于三角形面积减去扇形面积，通过公式计算即可。
10．（2019九上·綦江期末）如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB， 上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 -1
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OD，
则OD=OA= ，
根据题意可知，阴影部分的面积=长方形ACDF的面积．
∴S阴影=SACDF=AC CD=（OA-OC）CD= -1．
故答案为： -1．
【分析】连接OD，由题意可得OD=OA，由阴影部分图形的构成可得阴影部分的面积=扇形OAB的面积+矩形AFDC的面积-直角三角形OED的面积-扇形OAD的面积=长方形AFDC的面积。
三、综合题
11．（2018九上·桐乡期中）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
长．
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）解：连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积= ，阴影部分面积=
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可知AD⊥BC，由已知条件可知D为BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.
（2）在Rt△ODH中，根据正弦的定义可求得DH长，由三角形面积公式可得△OBD的面积，再由扇形的面积公式可求得扇形OBD的面积，从而可求得阴影部分的面积.
12．（2018六上·普陀期末）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形．
①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分；
②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分；
③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分；
设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙．
（1）求S甲．（结果保留π）
（2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上： ．
（3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝ ．（结果保留π）
【答案】（1）解：S甲＝ ＝
（2）S甲＝2 S乙
（3）S丙＝
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）S乙=4 =4 ，
∴S甲＝2 S乙，
故答案为：S甲＝2 S乙（3）S丙＝16 .
【分析】（1）S甲＝两个扇形的面积减去一个正方形的面积；（2）将乙中阴影部分的面积转化为4个拱形的面积进行求解即可；（3）利用（2）的方法，将图中阴影部分转化为若干拱形的面积求解即可.
13．（2018九上·清江浦期中）如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅳ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上.
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 ；
（2）位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是 ；
（3）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（4）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求该纸片所扫过图形的面积.
【答案】（1）2
（2）相切
（3）
（4）解：点N所经过路径长为 =2π， S半圆= =2π，S扇形= =4π， 故半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2；
（ 2 ）∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2，位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
（ 3 ）位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，
∵ 的长为
=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；
【分析】（1）根据圆的半径等于直径的一半可求解；
（2）根据直线和圆的位置关系可知，当⊙P与直线有一个交点时，直线与圆相切；
（3）由题意可知，位置Ⅰ中
的长与数轴上线段ON相等，于是根据弧长公式l=
即可求解；
（4）由题意可知 该纸片所扫过图形的面积 =半圆的面积+扇形的面积。
四、中考演练
14．（2019·遂宁）如图， 内接于 ，若 ， 的半径 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理，可得∠BOC=2∠A=90°，由阴影部分的面积=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形的面积和三角形的面积公式计算即可.
15．（2019·凉山）如图，在 中， ，将△AOC绕点O顺时针旋转 后得到 ，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质，可得阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可.
16．（2019·荆门）如图，等边三角形 的边长为2，以 为圆心，1为半径作圆分别交 边于 ，再以点 为圆心， 长为半径作圆交 边于 ，连接 ，那么图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，.
，
故
故答案为：
【分析】先根据图形的构成用常见几何体把图形分割、组合，得出阴影部分面积的关系式。分别求出各常用几何体的面积，代入关系式即可求解。
17．（2019·扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB’C’D’的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】32π
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB'C'D'的位置 ，
∴∠BAB'=45°，四边形ABCD≌四边形AB'C'D'，
∴四边形ABCD的面积=四AB'C'D'的面积，
∵阴影部分面积=扇形BB'A的面积+四边形ABCD的面积-四AB'C'D'的面积
∴阴影部分面积=扇形BB'A的面积=
故答案为： 32π 。
【分析】根据旋转的性质可知：∠BAB'=45°，四边形ABCD≌四边形AB'C'D'，根据全等四边形的面积相等得出：四边形ABCD的面积=四AB'C'D'的面积，所以阴影部分面积=扇形BB'A的面积+四边形ABCD的面积-四AB'C'D'的面积=扇形BB'A的面积，最后根据扇形的面积计算公式即可算出答案。
18．（2019·重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
【答案】2 ﹣ π
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝ AB＝1，
由勾股定理得，OB＝ ＝ ，
∴AC＝2，BD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AO＝ AB＝1，根据勾股定理算出OB的长，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半及扇形的面积计算公式S=，由阴影部分的面积=菱形的面积-两个扇形的面积即可算出答案。
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