初中数学浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算 强化提升训练
一、单选题
1．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2019九上·鄞州期末）比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是
．
5．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
6．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
三、解答题
7．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
8．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
9．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= = =0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选A．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
4．【答案】tan46°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，
∴sin80°＜tan46°，
∴ 其中值较大的是tan46°.
故答案为：tan46°.
【分析】根据sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，从而可得出答案.
5．【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
6．【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
7．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
8．【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
9．【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
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一、单选题
1．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
2．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
3．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= = =0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选A．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
二、填空题
4．（2019九上·鄞州期末）比较sin80°与tan46°的大小，其中值较大的是
．
【答案】tan46°
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，
∴sin80°＜tan46°，
∴ 其中值较大的是tan46°.
故答案为：tan46°.
【分析】根据sin80°＜sin90°=1，tan46°＞tan45°=1，从而可得出答案.
5．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
6．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
三、解答题
7．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
8．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
9．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
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