初中数学浙教版七年级上册3.2 实数——实数的分类与比较 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·天台期末）下列各数中最大的是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：2-=<0 ;
∵ 即2<<3, ∴ , , 故1最大。
故答案为：B
【分析】先判断是否大于零，再判断是否大于1，比较要在同一基础上比较，故在比较时，注意变形，使形式统一，能够清楚地看出大小。本题运用的原理是正数开同次方被开方数越大值越大。
2．（2019七下·昭平期中）下列各组数的大小比较正确的是（ ）
A．﹣ ＞﹣ B． ＞
C．5.3＞ D． ＞﹣3.1
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵﹣ ＞﹣ ，
∴选项A符合题意；
∵ ＜ ，
∴选项B不符合题意；
∵5.3＜ ，
∴选项C不符合题意；
∵ ＜﹣3.1，
∴选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个正数比较大小时，绝对值大的数仍大，两个负数比较大小时，绝对值大的数反而小，据此作出判断即可.（两个正二次根式比较大小时，被开方数大的数仍大，两个负二次根式比较大小时，被开方数大的数反而小，有理数与无理数比较大小时可把有理数平方后移入根号内，再比较它们的被开方数.）
3．（2018八上·江阴期中）下列说法错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数； B．无限不循环小数是无理数；
C． 是分数； D． 是无理数
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】A．有理数和无理数统称为实数，故不符合题意；
B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；
C． 是无理数，故符合题意；
D． 是无理数，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】实数：有理数和无理数统称为实数；
无理数：无理数是无限不循环小数。
（1）实数是有理数和无理数的统称；
（2）无理数是指无限不循环小数；
（3）是无理数；
（4）是无理数。
4．（2018七下·浦东期中）下列语句正确是（ ）
A．无限小数是无理数 B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数 D．两个无理数的和还是无理数
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A．无限不循环小数是无理数，故A不符合题意；
B．无理数是无限小数，符合题意；
C．实数分为正实数、负实数和0，故C不符合题意；
D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】（1）无理数是指无限不循环小数；
（2）无限小数分无限循环和无限不循环小数；
（3）实数分为正实数、零、负实数；
（4）当两个无理数互为相反数时，和为0.
5．下列各数： ， ， ，1.414， ，3.12122， ，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个．
【答案】3；5；4；2
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】属于开方开不尽的数，是无理数；是一个分数，属于有理数，是负数；属于开方开得尽的数，是有理数，是负数；1.414是有限小数，是有理数，是正数；中含有π，是无理数，是负数；3.12122是有限小数，是有理数，是正数；是有理数，是负数；3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）属于看似有规律实则没有规律的一种数，是无理数，是正数。
故答案为：3；5；4；2。
【分析】实数分为有理数和无理数，开方开不尽的数，含有π的数，看似有规律实则没有规律的都是无理数，分数和有限小数，开方开得尽的数都是有理数。
6．有六个数：0.142
7，(-0.5)3，3.141 6， ，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求x+y+z的值.
【答案】解：由题意得无理数有2个，所以x=2；
整数有0个，所以y=0；
非负数有4个，所以z=4，
所以x+y+z=2+0+4=6.
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】无理数包括开方开不尽的数，含有π的数和看似有规律实则没有规律的数，而-2π和0.1020020002……属于无理数，所以无理数的个数为2，即x=2，上述的数中没有整数，所以y=0，非负数包括正数和零，即0.142，3.1416，，0.1020020002……这4个非负数，所以z=4，将x、y、z分别代入到代数式中即可求出。
7．（2018七上·嘉兴期中）在数轴上表示下列数（ 要准确画出来），并用“＜”把这些数连接起来．－(－4)，－|－3.5|， ，0，＋(＋2.5)，1
【答案】解：如图，
－|－3.5|<0< <1 <＋(＋2.5)< －(－4)
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【分析】将需化简的数进行化简；带根号的无理数 ，需要在数轴上构造边长为1的正方形，其对角的长度为 ；根据每个数在数轴上的位置，左边的数小于右边的数.
二、中考演练
8．（2019·扬州）下列个数中，小于-2的数是（ ）
A．- B．- C．- D．-1
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵∣ .- ∣= ，∣ - ∣=，∣ - ∣=，∣-1∣=1，
又∵5＞4＞3＞2＞1
∴＞＞＞＞1，
∴-＜-2＜-＜-＜-1，
∴ 小于-2的数是 -。
故答案为：A。
【分析】首先根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出各个数的绝对值，再根据被开方数越大，其算术平方根就越大，比较出各个绝对值的大小，最后根据几个负数比大小，绝对值大的反而小即可得出答案。
9．（2019·泰安）在实数 ， ， ， 中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解： ；
因此根据题意可得-3是最小的
故答案为：B.
【分析】根据实数的大小关系进行比较。
10．（2019·陕西）已知实数 ，0.16， ， ， ， ，其中为无理数的是 .
【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数，0.16是有理数， 是无理数， 是无理数， =5是有理数， 是无理数，
所有无理数是 ， ， ，
故答案为： ， ， 。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有：①开方开不尽的数；②的倍数的数；③象0.10100100010001……（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，从而即可一一判断得出答案。
11．（2018七上·嘉兴期中）下列说法中，不正确的个数有（ ）．
①所有的正数都是整数. ② 一定是正数. ③无限小数一定是无理数.
④ 没有平方根. ⑤不是正数的数一定是负数. ⑥带根号的一定是无理数.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】平方根；实数的概念与分类；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①如 是正数，但不是整数，故①说法错误.
②当a=0时， ，不是正数，故②说法错误.
③无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故③说法错误.
④ 的结果是正数，有平方根，故④说法错误.
⑤0既不是正数，也不是负数，故⑤说法错误.
⑥带根号且开不尽的数一定是无理数，故⑥说法错误.
故不正确的说法有6个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查有理数和无理数的相关定义，熟记以下几点：（1）实数包括有理数和无理数；（2）有理数包括正数（正整数和正分数）、0和负数（负整数、负分数）；（3）无理数：无限不循环小数；（4）小数分为：有限小数和无限小数（无限不循环小数，无限循环小数）；（5）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数.
三、综合提升
12．（2019·黔南模拟）下列说法：
① ；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2是 的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】①∵ ，∴ 是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵ ＝4，故-2是 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确；
故正确的是②③④⑥共4个；
故答案为：C。
【分析】根据算术平方根的非负性可知，选项①都错误；数轴上的点与实数成一一对应关系，选项②正确；由算术平方根的意义知，=4,4的平方根是2和-2，故③正确；实数分为有理数和无理数，所以任何实数不是有理数就是无理数，故④正确；π与-π都是无理数，但π与-π的和是0,0是有理数，故⑤不正确； 无理数都是无限小数，故⑥正确.选C.
13．（2019·北京模拟）若实数 a，b 满足|a|＞|b|，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】由|a|＞|b|，得a与原点的距离比b与原点的距离远， 只有选项D符合，
故答案为：D．
【分析】 |a|＞|b| ，即ab不用考虑符号，实数a到原点的距离比实数b到原点的距离大即可。
14．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．|a|<1<|b l B．1<-a
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵a＜-1
∴|a|＞1
故答案为：A
【分析】观察数轴可知a＜-1，因此可判断出|a|和1的大小关系，即可作出判断。
15．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac>bc B．ab>cb C．a+c>b+c D．a+b>c+b
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A．ac＜bc，错误，不符合题意；
B、ab＞cb，正确，符合题意；
C、a+c＜b+c，错误，不符合题意；
D、a+b＜c+b，错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据a、b、c 在数轴上的位置确定它们与0的大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可.
16．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
【答案】－a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
1 / 1初中数学浙教版七年级上册3.2 实数——实数的分类与比较 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·天台期末）下列各数中最大的是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2019七下·昭平期中）下列各组数的大小比较正确的是（ ）
A．﹣ ＞﹣ B． ＞
C．5.3＞ D． ＞﹣3.1
3．（2018八上·江阴期中）下列说法错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数； B．无限不循环小数是无理数；
C． 是分数； D． 是无理数
4．（2018七下·浦东期中）下列语句正确是（ ）
A．无限小数是无理数 B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数 D．两个无理数的和还是无理数
5．下列各数： ， ， ，1.414， ，3.12122， ，3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有 个，有理数有 个，负数有 个，整数有 个．
6．有六个数：0.142
7，(-0.5)3，3.141 6， ，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求x+y+z的值.
7．（2018七上·嘉兴期中）在数轴上表示下列数（ 要准确画出来），并用“＜”把这些数连接起来．－(－4)，－|－3.5|， ，0，＋(＋2.5)，1
二、中考演练
8．（2019·扬州）下列个数中，小于-2的数是（ ）
A．- B．- C．- D．-1
9．（2019·泰安）在实数 ， ， ， 中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·陕西）已知实数 ，0.16， ， ， ， ，其中为无理数的是 .
11．（2018七上·嘉兴期中）下列说法中，不正确的个数有（ ）．
①所有的正数都是整数. ② 一定是正数. ③无限小数一定是无理数.
④ 没有平方根. ⑤不是正数的数一定是负数. ⑥带根号的一定是无理数.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
三、综合提升
12．（2019·黔南模拟）下列说法：
① ；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2是 的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2019·北京模拟）若实数 a，b 满足|a|＞|b|，则与实数 a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．|a|<1<|b l B．1<-a15．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac>bc B．ab>cb C．a+c>b+c D．a+b>c+b
16．（2019七下·巴南月考）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则 = .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：2-=<0 ;
∵ 即2<<3, ∴ , , 故1最大。
故答案为：B
【分析】先判断是否大于零，再判断是否大于1，比较要在同一基础上比较，故在比较时，注意变形，使形式统一，能够清楚地看出大小。本题运用的原理是正数开同次方被开方数越大值越大。
2．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵﹣ ＞﹣ ，
∴选项A符合题意；
∵ ＜ ，
∴选项B不符合题意；
∵5.3＜ ，
∴选项C不符合题意；
∵ ＜﹣3.1，
∴选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个正数比较大小时，绝对值大的数仍大，两个负数比较大小时，绝对值大的数反而小，据此作出判断即可.（两个正二次根式比较大小时，被开方数大的数仍大，两个负二次根式比较大小时，被开方数大的数反而小，有理数与无理数比较大小时可把有理数平方后移入根号内，再比较它们的被开方数.）
3．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】A．有理数和无理数统称为实数，故不符合题意；
B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；
C． 是无理数，故符合题意；
D． 是无理数，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】实数：有理数和无理数统称为实数；
无理数：无理数是无限不循环小数。
（1）实数是有理数和无理数的统称；
（2）无理数是指无限不循环小数；
（3）是无理数；
（4）是无理数。
4．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A．无限不循环小数是无理数，故A不符合题意；
B．无理数是无限小数，符合题意；
C．实数分为正实数、负实数和0，故C不符合题意；
D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】（1）无理数是指无限不循环小数；
（2）无限小数分无限循环和无限不循环小数；
（3）实数分为正实数、零、负实数；
（4）当两个无理数互为相反数时，和为0.
5．【答案】3；5；4；2
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】属于开方开不尽的数，是无理数；是一个分数，属于有理数，是负数；属于开方开得尽的数，是有理数，是负数；1.414是有限小数，是有理数，是正数；中含有π，是无理数，是负数；3.12122是有限小数，是有理数，是正数；是有理数，是负数；3.161661666…（每两个1之间依次多1个6）属于看似有规律实则没有规律的一种数，是无理数，是正数。
故答案为：3；5；4；2。
【分析】实数分为有理数和无理数，开方开不尽的数，含有π的数，看似有规律实则没有规律的都是无理数，分数和有限小数，开方开得尽的数都是有理数。
6．【答案】解：由题意得无理数有2个，所以x=2；
整数有0个，所以y=0；
非负数有4个，所以z=4，
所以x+y+z=2+0+4=6.
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】无理数包括开方开不尽的数，含有π的数和看似有规律实则没有规律的数，而-2π和0.1020020002……属于无理数，所以无理数的个数为2，即x=2，上述的数中没有整数，所以y=0，非负数包括正数和零，即0.142，3.1416，，0.1020020002……这4个非负数，所以z=4，将x、y、z分别代入到代数式中即可求出。
7．【答案】解：如图，
－|－3.5|<0< <1 <＋(＋2.5)< －(－4)
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【分析】将需化简的数进行化简；带根号的无理数 ，需要在数轴上构造边长为1的正方形，其对角的长度为 ；根据每个数在数轴上的位置，左边的数小于右边的数.
8．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵∣ .- ∣= ，∣ - ∣=，∣ - ∣=，∣-1∣=1，
又∵5＞4＞3＞2＞1
∴＞＞＞＞1，
∴-＜-2＜-＜-＜-1，
∴ 小于-2的数是 -。
故答案为：A。
【分析】首先根据一个负数的绝对值等于它的相反数，求出各个数的绝对值，再根据被开方数越大，其算术平方根就越大，比较出各个绝对值的大小，最后根据几个负数比大小，绝对值大的反而小即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解： ；
因此根据题意可得-3是最小的
故答案为：B.
【分析】根据实数的大小关系进行比较。
10．【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数，0.16是有理数， 是无理数， 是无理数， =5是有理数， 是无理数，
所有无理数是 ， ， ，
故答案为： ， ， 。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有：①开方开不尽的数；②的倍数的数；③象0.10100100010001……（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，从而即可一一判断得出答案。
11．【答案】D
【知识点】平方根；实数的概念与分类；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①如 是正数，但不是整数，故①说法错误.
②当a=0时， ，不是正数，故②说法错误.
③无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故③说法错误.
④ 的结果是正数，有平方根，故④说法错误.
⑤0既不是正数，也不是负数，故⑤说法错误.
⑥带根号且开不尽的数一定是无理数，故⑥说法错误.
故不正确的说法有6个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查有理数和无理数的相关定义，熟记以下几点：（1）实数包括有理数和无理数；（2）有理数包括正数（正整数和正分数）、0和负数（负整数、负分数）；（3）无理数：无限不循环小数；（4）小数分为：有限小数和无限小数（无限不循环小数，无限循环小数）；（5）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数.
12．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】①∵ ，∴ 是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵ ＝4，故-2是 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确；
故正确的是②③④⑥共4个；
故答案为：C。
【分析】根据算术平方根的非负性可知，选项①都错误；数轴上的点与实数成一一对应关系，选项②正确；由算术平方根的意义知，=4,4的平方根是2和-2，故③正确；实数分为有理数和无理数，所以任何实数不是有理数就是无理数，故④正确；π与-π都是无理数，但π与-π的和是0,0是有理数，故⑤不正确； 无理数都是无限小数，故⑥正确.选C.
13．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】由|a|＞|b|，得a与原点的距离比b与原点的距离远， 只有选项D符合，
故答案为：D．
【分析】 |a|＞|b| ，即ab不用考虑符号，实数a到原点的距离比实数b到原点的距离大即可。
14．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵a＜-1
∴|a|＞1
故答案为：A
【分析】观察数轴可知a＜-1，因此可判断出|a|和1的大小关系，即可作出判断。
15．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A．ac＜bc，错误，不符合题意；
B、ab＞cb，正确，符合题意；
C、a+c＜b+c，错误，不符合题意；
D、a+b＜c+b，错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据a、b、c 在数轴上的位置确定它们与0的大小关系，再根据不等式的性质进行判断即可.
16．【答案】－a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得：a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，则原式=|b|﹣|a﹣b|=﹣b﹣a+b=﹣a.
故答案为：﹣a.
【分析】根据点在数轴上的位置，可得a＞0，b＜0，即a﹣b＞0，然后利二次根式的性质及绝对值的性质进行化简并计算即可.
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