初中数学浙教版八年级上册1.3 证明 同步训练
一、证明
1．（2019七下·兴化期末）下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019七下·宜兴期中）下列叙述中，正确的有（ ）
①如果 ，那么 ；②满足条件 的n不存在；
③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；
④ΔABC中，若∠A+∠B=2∠C,∠A-∠C=40°，则这个△ABC为钝角三角形.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
4．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
5．某次体育比赛共有n(n≥3)名选手参加，每两名选手都比赛一局.现知无平局出现，而且每名选手都未能击败历有对手.求证：其中必存在3名选手甲、乙和丙，使得甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲.
6．动手操作，探究：
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
（2）探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
（3）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
二、三角形的外角
7．（2019七下·新吴期中）如图，∠ABC＞∠ADC，且∠BAD 的平分线 AE 与∠BCD 的平分线 CE 交于点 E，则∠AEC与∠ADC，∠ABC 之间存在的等量关系是（ ）
A．∠AEC=∠ABC﹣2∠ADC B．∠AEC=
C．∠AEC= ∠ABC﹣∠ADC D．∠AEC=
8．（2019七下·泰兴期中）如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝45°，∠DBC＝105°，则∠C= ．
9．（2018七下·余姚期末）如图，一副三角板的三个内角分别是90，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起(点A，D，B在同一直线上).若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转a度(0
10．（2019七下·东台期中）如图，AF平分∠BAD，CF平分∠BCD的邻补角∠BCE，且AF与CF相交于点F，∠B=40°，∠D=20°，则∠F= °.
11．（2019七下·东台月考）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 .
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 .
12．（2019七下·泰兴期中） 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ，交边AB于点D．
（1）如图1，
①若∠ABC=40°，则∠AOC= ，∠ADO= ；
②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由 。
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠AOC=105°，∠F=32°，则∠AOD= °.
13．（2019七下·巴南月考）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
三、真题演练
14．（2019·天水）一把直尺和一块三角板 (含 、 角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，另一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，且 ，那么 的大小为（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2019·河南）如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2018·辽阳）将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1=36°，则∠2= .
18．（2018·南宁）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
19．（2018·聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β
C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
20．（2018·眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）。
A．45° B．60° C．75° D．85°
21．（2018·青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2是同旁内角，∴不能判断 ，故不符合题意；
B.作∠3如下图，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴
故∠1=∠2，则 ，故符合题意；
C. ∠1=∠2可得 不能得到 ，故不符合题意；
D. ∠1=∠2不能得到 ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、∠1=∠2是同旁内角，即使相等，也判断不出 ，故A不符合题意；
B、首先根据对顶角相等判断出∠1=∠3，再根据等量代换得出∠2=∠3，然后根据同位角相等，二直线平行得出，故B正确，符合题意；
C、根据内错角相等，二直线平行，由 ∠1=∠2可得 ，不能得到 ，故C错误，不符合题意；
D、∠1=∠2是同旁内角，即使相等，也判断不出 ，故D错误，不符合题意。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①∵2x=a，2y=b，∴2x-y=a÷b，①错误；
②满足条件 的n=1，②错误；
③任意一个三角形的三条高所在直线相交于一点，且这点有可能在三角形的内部，在三角形的边上，在三角形的外部，故③错误；
④在△ABC，若∠A+∠B=2∠C，∠A-∠C=40°，∠A=40°+∠C=100°，则这个△ABC为钝角三角形，④正确。
则正确的个数为1个。
故答案为：B。
【分析】①由同底数幂的除法，底数不变指数相减的逆用即可得出2x-y=a÷b，①错误，不符合题意；②由于两底数互为倒数，根据若果两个数互为倒数，且它们的指数互为相反数的话，它们的值是相等的，即可列出方程2n+n-3=0，求解得n=1，②错误；不符合题意；③任意一个三角形的三条高所在直线相交于一点，锐角三角形这点在三角形的内部，直角三角形的在直角顶点处，钝角在三角形的在外部，故③错误，不符合题意；④在△ABC，若∠A+∠B=2∠C，根据根据三角形的内角和得出∠C=60°，又∠A-∠C=40°，故∠A=40°+∠C=100°，从而得出这个△ABC为钝角三角形，④正确，符合题意。
3．【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
4．【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
5．【答案】证明：依题可得：n个选手都比赛了(n-1)局，
假设赢得最多的选手为甲，
∵每个选手都未能击败所有对手，
∴存在选手丙，丙胜甲，
∴在甲胜的选手中一定存在选手乙使得甲胜乙，而乙胜丙，
否则甲胜的选手（除丙外）都败给了丙，则丙胜的次数要大于甲，与假设矛盾，
∴一定有甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲.
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据题意可知n个选手都比赛了(n-1)局，假设赢得最多的选手为甲，由于每个选手都未能击败所有对手，故存在选手丙胜甲，分析即可得证.
6．【答案】（1）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD，
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD），
=180°﹣ （180°﹣∠A），
=90°+ ∠A；
（2）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD），
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B），
= （∠A+∠B）
（3）∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠EDC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠EDC+∠ACD），
=180°﹣ （720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠ADC+∠BCD，同理探究二解答即可；
（3）根据六边形的内角和公式和角平分线的定义表示出∠EDC+∠BCD，同理探究二解答即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】如图，
延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB= ∠BCD,∠EAD=∠EAB= ∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB ∠ECB=∠B+∠BAE ∠BCD=∠B+∠BAE (∠B+∠BAD+∠D)= (∠B ∠D)，
即∠AEC= .
故答案为：B.
【分析】延长BC交AD于点F，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠BFD=∠B+∠BAD，∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，根据角平分线的定义得出∠ECD=∠ECB= ∠BCD,∠EAD=∠EAB= ∠BAD，再根据三角形外角定理得出∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，然后根据等式的性质及等量代换即可得出结论 ∠AEC= 。
8．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠DBC是△ABF的一个外角，
∠F＝45°，∠DBC＝105° ，
∴∠A=∠DBC - ∠F=60°，
∵CE⊥AF，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠C=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得∠A=∠DBC - ∠F=60°，利用直角三角形两锐角互余可得∠C=90°-∠A,即求出∠C的度数.
9．【答案】45°，75°，165°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当DE∥AB即D1E1∥AB时
∵△DBE和△D1BE1是等腰直角三角形，
∴∠E1=∠DBE1=45°，
∴ 旋转角a=45°；
当DE∥CB即D2E2∥CB时，如图
∴∠E2=∠E2BC=45°
∵∠ABC=30°
∴∠DBE2=∠ABC+∠E2BC=30°+45°=75°
∴旋转角a=75°；
当DE∥CB即D3E3∥CB时，延长AB交D3E3于点F，如图
∴∠A=∠BFE3=60°
∵∠BFE3=∠D3+∠D3BF
∴∠D3BF=60°-45°=15°
∴∠DBD3=180°-∠D3BF=180°-15°=165°
∴旋转角a=165°；
故答案为： 45°，75°，165°
【分析】抓住已知条件，要使边DE与△ABC的某一边平行时，因此分三种情况讨论：D1E1∥AB时，利用平行线的性质，可得出旋转角a的度数；当D2E2∥CB时，利用平行线的性质，可求出∠E2BC（旋转角a）的度数；再根据∠DBE2=∠ABC+∠E2BC，代入计算可求出∠DBE2（旋转角a）的度数；当D3E3∥CB时，利用平行线的性质，可求出∠BFE3的度数，再根据三角形外角的性质，可得到D3BF的度数，然后利用邻补角的定义即可求出∠DBD3（旋转角a）的度数；综上所述，可得出旋转角a的度数。
10．【答案】120
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
在△ABH和△CDH中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴∠BCD-∠BAD=∠B-∠D=40°-20°=20°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD= ∠BAD，
∵CF平分∠BCE，
∴∠BCF= ∠BCE= (180°-∠BCD)=90°- ∠BCD，
∠AHC=∠BCD+∠D=∠BCD+20°，
在△AFG和△HCG中，∠FAD+∠F=∠BCF+∠AHC，
∴∠F=∠BCF+∠AHC-∠FAD
=90°- ∠BCD +∠BCD+20°- ∠BAD
=110°+ ∠BCD- ∠BAD
=110°+ ×20°
=120°.
故答案为：120.
【分析】在△ABH和△CDH中，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，将等式变形得∠BCD-∠BAD=∠B-∠D；由角平分线的性质可得∠FAD=∠BAD，∠BCF=∠BCE，由角的构成可得∠BCF=∠BCE(180°-∠BCD)=90°-∠BCD；在△AFG和△HCG中，由对顶角相等可得∠FGA=∠HGC，所以根据三角形内角和定理可得∠FAD+∠F=∠BCF+∠AHC，而由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠AHC=∠BCD+∠D；所以∠F=∠BCF+∠AHC-∠FAD，把∠BCF、∠AHC、∠FAD代入整理计算即可求解。
11．【答案】（1）75°
（2）75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°；
（ 2 ）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°.
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠ABF=15°，根据∠FBC=90°，求出∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°；
（2）根据三角形的内角等于180°可得∠C=30°，根据两直线平行内错角相等得∠CAE=∠C=30°，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解.
12．【答案】（1）110°；110°；相等，理由设∠ABC=α，∴∠BAC+∠BCA=180°-α，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=90°-α，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+α，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=α，∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠BDO=90°-α，∴∠ADO=180°-∠BOD=90°+α，∴∠AOC=∠ADO
（2）43
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）①∵∠ABC=40°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，
∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA= (∠BAC+∠BCA)=70° ，
∴∠AOC=180°-70°=110°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC=20°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠BDO=70°，
∴∠ADO=110°，
故答案为：110°，110°。
（2）∵三个内角的平分线交于点O ，
∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°-∠ABC），
∵∠OBA=∠OBC= ∠ABC，
∴∠AOC=90°+∠OBA，
∵∠ADO=∠DOB+∠ABO=90°+∠OBA，
∴∠ADO=∠AOC=105°，
在△BFC中，∠F=∠EBF-∠BCF= ∠ABE- ∠ACB= （∠BAC+∠BCA）- ∠ACB= ∠BAC，
∴∠DAO=∠F=32°，
在△ADO中，∠AOD=180°-∠DAO=∠ADO=43°.
故答案为：43.
【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA= (∠BAC+∠BCA)=70°，根据三角形内角和即可得到结论；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论。
（2）利用角平分线的定义可得∠OAC= ∠BAC ∠OCA= ∠BCA，∠OBA=∠OBC= ∠ABC，利用三角形的外角与内角的关系，可得∠ADO=∠AOC，根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得∠F=∠EBF-∠BCF，结合角平分线定义可得∠F== ∠BAC，从而求出∠DAO=∠F=32°，利用三角形内角和定理可求出∠AOD的度数.
13．【答案】（1）解：如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD .
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF. 根据垂直于同一直线的两直线互相平行，可得PF∥GH.
（3）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理可得∠4=90°-∠3=90°-2∠2. 然后根据邻补角的定义角平分线的定义可得出∠QPK= ∠EPK=45°+∠2，利用角的和差关系可得∠HPQ=∠QPK-∠2=45°， 从而得出结论.
14．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由算出∠FDE的度数，根据二直线平行同位角相等得出 的大小 。
15．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得，∠2=45°，∠4=90°-30°=60°，
∴∠3=∠2=45°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°。
故答案为：C
【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。
16．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
。
故答案为：B。
【分析】根据二直线平行，同位角相等得出，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，从而即可算出答案。
17．【答案】126°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+36°=126°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=126°．
故答案为：126°．
【分析】根据三角形的外角定理求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出 ∠2 的度数。
18．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD=50°，
故答案为：C．
【分析】△ABC的外角∠ACD等于不相邻两个内角的和，即∠ACD=∠A+∠B=100°，又由CE平分∠ACD，可得∠ECD= ∠ACD。
19．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，如图，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A．
【分析】由折叠得：∠A=∠A'，如图，根据三角形的外角定理得出∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，故∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β。
20．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=45°，∠D=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.
21．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
， ，
， ，
∴
=
= ，
故答案为：C
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ 1= ∠ D+∠ DOA ， ∠ 2= ∠ E+∠ EPB，再根据对顶角相等，可推出∠1+∠2=∠ D+∠ E +180 ° ∠ C，再代入计算，可求出答案。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册1.3 证明 同步训练
一、证明
1．（2019七下·兴化期末）下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2是同旁内角，∴不能判断 ，故不符合题意；
B.作∠3如下图，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴
故∠1=∠2，则 ，故符合题意；
C. ∠1=∠2可得 不能得到 ，故不符合题意；
D. ∠1=∠2不能得到 ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、∠1=∠2是同旁内角，即使相等，也判断不出 ，故A不符合题意；
B、首先根据对顶角相等判断出∠1=∠3，再根据等量代换得出∠2=∠3，然后根据同位角相等，二直线平行得出，故B正确，符合题意；
C、根据内错角相等，二直线平行，由 ∠1=∠2可得 ，不能得到 ，故C错误，不符合题意；
D、∠1=∠2是同旁内角，即使相等，也判断不出 ，故D错误，不符合题意。
2．（2019七下·宜兴期中）下列叙述中，正确的有（ ）
①如果 ，那么 ；②满足条件 的n不存在；
③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；
④ΔABC中，若∠A+∠B=2∠C,∠A-∠C=40°，则这个△ABC为钝角三角形.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①∵2x=a，2y=b，∴2x-y=a÷b，①错误；
②满足条件 的n=1，②错误；
③任意一个三角形的三条高所在直线相交于一点，且这点有可能在三角形的内部，在三角形的边上，在三角形的外部，故③错误；
④在△ABC，若∠A+∠B=2∠C，∠A-∠C=40°，∠A=40°+∠C=100°，则这个△ABC为钝角三角形，④正确。
则正确的个数为1个。
故答案为：B。
【分析】①由同底数幂的除法，底数不变指数相减的逆用即可得出2x-y=a÷b，①错误，不符合题意；②由于两底数互为倒数，根据若果两个数互为倒数，且它们的指数互为相反数的话，它们的值是相等的，即可列出方程2n+n-3=0，求解得n=1，②错误；不符合题意；③任意一个三角形的三条高所在直线相交于一点，锐角三角形这点在三角形的内部，直角三角形的在直角顶点处，钝角在三角形的在外部，故③错误，不符合题意；④在△ABC，若∠A+∠B=2∠C，根据根据三角形的内角和得出∠C=60°，又∠A-∠C=40°，故∠A=40°+∠C=100°，从而得出这个△ABC为钝角三角形，④正确，符合题意。
3．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
4．在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．
【答案】证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
所以PB＞PC．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】在△AMB和△AMC中，由AM是中线，可得出AB＞AC，根据再两边对应相等的两个三角形中，第三边大的对应的角也大，可证得∠AMC＜90°， 再过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上，就可得出 BH＞BM=MC＞HC，继而可证得结论。
5．某次体育比赛共有n(n≥3)名选手参加，每两名选手都比赛一局.现知无平局出现，而且每名选手都未能击败历有对手.求证：其中必存在3名选手甲、乙和丙，使得甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲.
【答案】证明：依题可得：n个选手都比赛了(n-1)局，
假设赢得最多的选手为甲，
∵每个选手都未能击败所有对手，
∴存在选手丙，丙胜甲，
∴在甲胜的选手中一定存在选手乙使得甲胜乙，而乙胜丙，
否则甲胜的选手（除丙外）都败给了丙，则丙胜的次数要大于甲，与假设矛盾，
∴一定有甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲.
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据题意可知n个选手都比赛了(n-1)局，假设赢得最多的选手为甲，由于每个选手都未能击败所有对手，故存在选手丙胜甲，分析即可得证.
6．动手操作，探究：
（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
（2）探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
（3）探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【答案】（1）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠ACD，
=180°﹣ （∠ADC+∠ACD），
=180°﹣ （180°﹣∠A），
=90°+ ∠A；
（2）解：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠ADC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠ADC+∠BCD），
=180°﹣ （360°﹣∠A﹣∠B），
= （∠A+∠B）
（3）∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣ ∠EDC﹣ ∠BCD，
=180°﹣ （∠EDC+∠ACD），
=180°﹣ （720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P= （∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理和角平分线的定义表示出∠ADC+∠BCD，同理探究二解答即可；
（3）根据六边形的内角和公式和角平分线的定义表示出∠EDC+∠BCD，同理探究二解答即可.
二、三角形的外角
7．（2019七下·新吴期中）如图，∠ABC＞∠ADC，且∠BAD 的平分线 AE 与∠BCD 的平分线 CE 交于点 E，则∠AEC与∠ADC，∠ABC 之间存在的等量关系是（ ）
A．∠AEC=∠ABC﹣2∠ADC B．∠AEC=
C．∠AEC= ∠ABC﹣∠ADC D．∠AEC=
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】如图，
延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB= ∠BCD,∠EAD=∠EAB= ∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB ∠ECB=∠B+∠BAE ∠BCD=∠B+∠BAE (∠B+∠BAD+∠D)= (∠B ∠D)，
即∠AEC= .
故答案为：B.
【分析】延长BC交AD于点F，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠BFD=∠B+∠BAD，∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，根据角平分线的定义得出∠ECD=∠ECB= ∠BCD,∠EAD=∠EAB= ∠BAD，再根据三角形外角定理得出∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，然后根据等式的性质及等量代换即可得出结论 ∠AEC= 。
8．（2019七下·泰兴期中）如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝45°，∠DBC＝105°，则∠C= ．
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠DBC是△ABF的一个外角，
∠F＝45°，∠DBC＝105° ，
∴∠A=∠DBC - ∠F=60°，
∵CE⊥AF，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠C=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得∠A=∠DBC - ∠F=60°，利用直角三角形两锐角互余可得∠C=90°-∠A,即求出∠C的度数.
9．（2018七下·余姚期末）如图，一副三角板的三个内角分别是90，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起(点A，D，B在同一直线上).若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转a度(0【答案】45°，75°，165°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，当DE∥AB即D1E1∥AB时
∵△DBE和△D1BE1是等腰直角三角形，
∴∠E1=∠DBE1=45°，
∴ 旋转角a=45°；
当DE∥CB即D2E2∥CB时，如图
∴∠E2=∠E2BC=45°
∵∠ABC=30°
∴∠DBE2=∠ABC+∠E2BC=30°+45°=75°
∴旋转角a=75°；
当DE∥CB即D3E3∥CB时，延长AB交D3E3于点F，如图
∴∠A=∠BFE3=60°
∵∠BFE3=∠D3+∠D3BF
∴∠D3BF=60°-45°=15°
∴∠DBD3=180°-∠D3BF=180°-15°=165°
∴旋转角a=165°；
故答案为： 45°，75°，165°
【分析】抓住已知条件，要使边DE与△ABC的某一边平行时，因此分三种情况讨论：D1E1∥AB时，利用平行线的性质，可得出旋转角a的度数；当D2E2∥CB时，利用平行线的性质，可求出∠E2BC（旋转角a）的度数；再根据∠DBE2=∠ABC+∠E2BC，代入计算可求出∠DBE2（旋转角a）的度数；当D3E3∥CB时，利用平行线的性质，可求出∠BFE3的度数，再根据三角形外角的性质，可得到D3BF的度数，然后利用邻补角的定义即可求出∠DBD3（旋转角a）的度数；综上所述，可得出旋转角a的度数。
10．（2019七下·东台期中）如图，AF平分∠BAD，CF平分∠BCD的邻补角∠BCE，且AF与CF相交于点F，∠B=40°，∠D=20°，则∠F= °.
【答案】120
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
在△ABH和△CDH中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴∠BCD-∠BAD=∠B-∠D=40°-20°=20°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD= ∠BAD，
∵CF平分∠BCE，
∴∠BCF= ∠BCE= (180°-∠BCD)=90°- ∠BCD，
∠AHC=∠BCD+∠D=∠BCD+20°，
在△AFG和△HCG中，∠FAD+∠F=∠BCF+∠AHC，
∴∠F=∠BCF+∠AHC-∠FAD
=90°- ∠BCD +∠BCD+20°- ∠BAD
=110°+ ∠BCD- ∠BAD
=110°+ ×20°
=120°.
故答案为：120.
【分析】在△ABH和△CDH中，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，将等式变形得∠BCD-∠BAD=∠B-∠D；由角平分线的性质可得∠FAD=∠BAD，∠BCF=∠BCE，由角的构成可得∠BCF=∠BCE(180°-∠BCD)=90°-∠BCD；在△AFG和△HCG中，由对顶角相等可得∠FGA=∠HGC，所以根据三角形内角和定理可得∠FAD+∠F=∠BCF+∠AHC，而由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得：∠AHC=∠BCD+∠D；所以∠F=∠BCF+∠AHC-∠FAD，把∠BCF、∠AHC、∠FAD代入整理计算即可求解。
11．（2019七下·东台月考）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 .
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 .
【答案】（1）75°
（2）75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°；
（ 2 ）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°.
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠ABF=15°，根据∠FBC=90°，求出∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°；
（2）根据三角形的内角等于180°可得∠C=30°，根据两直线平行内错角相等得∠CAE=∠C=30°，然后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解.
12．（2019七下·泰兴期中） 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ，交边AB于点D．
（1）如图1，
①若∠ABC=40°，则∠AOC= ，∠ADO= ；
②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由 。
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠AOC=105°，∠F=32°，则∠AOD= °.
【答案】（1）110°；110°；相等，理由设∠ABC=α，∴∠BAC+∠BCA=180°-α，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=90°-α，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+α，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=α，∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠BDO=90°-α，∴∠ADO=180°-∠BOD=90°+α，∴∠AOC=∠ADO
（2）43
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）①∵∠ABC=40°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，
∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA= (∠BAC+∠BCA)=70° ，
∴∠AOC=180°-70°=110°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC=20°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠BDO=70°，
∴∠ADO=110°，
故答案为：110°，110°。
（2）∵三个内角的平分线交于点O ，
∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°-∠ABC），
∵∠OBA=∠OBC= ∠ABC，
∴∠AOC=90°+∠OBA，
∵∠ADO=∠DOB+∠ABO=90°+∠OBA，
∴∠ADO=∠AOC=105°，
在△BFC中，∠F=∠EBF-∠BCF= ∠ABE- ∠ACB= （∠BAC+∠BCA）- ∠ACB= ∠BAC，
∴∠DAO=∠F=32°，
在△ADO中，∠AOD=180°-∠DAO=∠ADO=43°.
故答案为：43.
【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠BAC+∠BCA=180°-40°=140°，根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA= (∠BAC+∠BCA)=70°，根据三角形内角和即可得到结论；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论。
（2）利用角平分线的定义可得∠OAC= ∠BAC ∠OCA= ∠BCA，∠OBA=∠OBC= ∠ABC，利用三角形的外角与内角的关系，可得∠ADO=∠AOC，根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得∠F=∠EBF-∠BCF，结合角平分线定义可得∠F== ∠BAC，从而求出∠DAO=∠F=32°，利用三角形内角和定理可求出∠AOD的度数.
13．（2019七下·巴南月考）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
【答案】（1）解：如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD .
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF. 根据垂直于同一直线的两直线互相平行，可得PF∥GH.
（3）利用三角形外角的性质及三角形内角和定理可得∠4=90°-∠3=90°-2∠2. 然后根据邻补角的定义角平分线的定义可得出∠QPK= ∠EPK=45°+∠2，利用角的和差关系可得∠HPQ=∠QPK-∠2=45°， 从而得出结论.
三、真题演练
14．（2019·天水）一把直尺和一块三角板 (含 、 角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，另一边与三角板的两直角边分别交于点 和点 ，且 ，那么 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由算出∠FDE的度数，根据二直线平行同位角相等得出 的大小 。
15．（2019·荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意得，∠2=45°，∠4=90°-30°=60°，
∴∠3=∠2=45°，
由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°。
故答案为：C
【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。
16．（2019·河南）如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
。
故答案为：B。
【分析】根据二直线平行，同位角相等得出，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，从而即可算出答案。
17．（2018·辽阳）将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1=36°，则∠2= .
【答案】126°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+36°=126°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=126°．
故答案为：126°．
【分析】根据三角形的外角定理求出∠3的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出 ∠2 的度数。
18．（2018·南宁）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD=50°，
故答案为：C．
【分析】△ABC的外角∠ACD等于不相邻两个内角的和，即∠ACD=∠A+∠B=100°，又由CE平分∠ACD，可得∠ECD= ∠ACD。
19．（2018·聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β
C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，如图，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A．
【分析】由折叠得：∠A=∠A'，如图，根据三角形的外角定理得出∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，故∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β。
20．（2018·眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）。
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=45°，∠D=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.
21．（2018·青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
， ，
， ，
∴
=
= ，
故答案为：C
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠ 1= ∠ D+∠ DOA ， ∠ 2= ∠ E+∠ EPB，再根据对顶角相等，可推出∠1+∠2=∠ D+∠ E +180 ° ∠ C，再代入计算，可求出答案。
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