初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形 强化提升训练
一、综合提升
1．（2017·唐河模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．（2019九上·三门期末）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点.如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．65°或115°
3．（2019九上·綦江期末）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
4．（2018九上·柯桥月考）如图，AB为⊙O的直径，C为 上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y=90 B．2x+y=90 C．2x+y=180 D．x=y
5．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
6．（2018九下·绍兴模拟）已知点A，B，C在⊙O上（点C不与A，B重合）， ， 则 = °.
7．（2018·姜堰模拟）如图，在⊙O上依次取点A、B、C、D、E，测得∠A+∠C=220°，F为⊙O上异于E、D的一动点，则∠EFD= ．
8．（2019九上·吴兴期末）⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为 ，M是圆上一点，∠BMO=150°.则圆心C的坐标为 ．
9．（2019九上·弥勒期末）如图，已知 为四边形 的外接圆， 为圆心，若 BCD=120 ，AB=AD=2cm，则 的半径长为 cm.
10．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
11．（2018·秀洲模拟）我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形。如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AD=AC，∠ABC=∠ABD，则△ABC和△ABD是友好三角形。
（1）如图1，已知AD=AC，请写出图中的友好三角形；
（2）如图2，在△ABC和△ABD中，AD=AC，∠BDA=∠BCA，且∠BDA>90°，求证：△ABC≌△ABD；
（3）如图3，△ABC内接于圆，∠ABC=30°，∠BAC=45°，BC=4。D是圆上一点，若△ABD和△ABC是友好三角形，且BD
12．（2018九上·宁波期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是 ．
（3）在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．
二、中考演练
13．（2019·德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2019·台湾）如图表示A、B、C、D四点在O上的位置，其中 =180°，且 = ， = .若阿超在 上取一点P，在 上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确？（ ）
A．Q点在 上，且
B．Q点在 上，且
C．Q点在 上，且
D．Q点在 上，且
15．（2019·十堰）如图，四边形 内接于⊙ ， 交 的延长线于点 ，若 平分 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．（2019·天水）如图，四边形 是菱形， 经过点 、 、 ，与 相交于点 ，连接 、 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】如图1，
∠ACB＝ ∠AOB＝65°；
如图2，
∠ADB＝ ∠AOB＝65°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝115°.
综上∠ACB的度数为65°或115°。
故答案为：D。
【分析】此题需要分点C在优弧AB还是劣弧AB上两种情况来讨论：如图1，当点C在优弧AB上的时候，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB的度数；如图2，当点C在劣弧AB上的时候，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ADB的度数，进而根据圆的内接四边形的对角互补算出∠ACB的度数，综上所述即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】(1)∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴结论①正确；
( 2 )∵弧BC=弧BD，
∴∠4=∠2，
∵∠1=∠2=∠BAC，
∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，
∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，
∴∠3=2∠4，
∴结论②正确；
( 3 )∵四边形ACEB为圆的内接四边形，
∴∠5+∠BAC=180°，
∵∠BAC=∠1，∠3=2∠1，
∴∠3=2∠BAC，
∠5+ ∠3=180°，
∴结论③错误，
总上所述，结论①②正确，
故答案为：D.
【分析】①由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠CAB，由等边对等角可得∠1=∠CAB，所以∠1=∠2；
②由垂径定理可得弧BC=弧BD，所以∠CAB=∠4，由（1）可得∠1=∠CAB，所以∠1=∠4；根据三角形小的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠CAB+∠1=2∠4；
③由圆内接四边形的对角互补可得∠5+∠CAB=180°，而由圆周角定理可得∠3=2∠CAB，所以∠5+∠3=180°.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AD∥OC
∴∠BOC=∠DAB=x°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠DAB+∠ACB+∠ACD=180°
∴x+90°+y=180°
x+y=90°
故答案为：A
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可求出∠ACB的度数，再根据圆内接四边形的性质，可得出∠DAB+∠ACB+∠ACD=180°，就可求出x+y的值。
5．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴ ，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧BD，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AED=∠AOB；根据等边对等角得出∠D=∠BCD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°，根据平角的定义得出∠ECA+60°+∠BCD=180°，故∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形，然后利用AAS判断出△EAC≌△OAB，根据全等三角形的对应边相等得出AE=OA=1．
6．【答案】40或140
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当点C1所示时．∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AC1B= ∠AOB= ×80°=40°；
当点C2所示时．∵∠AC1B=40°，∴∠AC2B=180°﹣40°=140°．
故答案为：40°或140°．
【分析】此题分两种情况 ：①当点C在优弧上的时根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案；，②点C在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补得出答案。
7．【答案】40°或140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接AD，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAC+∠C=180°，因∠BAE+∠C=220°，可求得∠EAD=40°，分两种情况：①当点F在优弧EBD上（如图1），
根据同弧所对的圆周角相等可得∠EFD=∠EAD=40°；②当点F在劣弧ED上（如图2），
结合①的方法，根据圆内接四边形对角互补可得∠EFD=140°.故答案为：40°或140°.
【分析】连接AD，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAC+∠C=180°，因∠BAE+∠C=220°，可求得∠EAD=40°，分两种情况：①当点F在优弧EBD上（如图1），根据同弧所对的圆周角相等可得出答案；②当点F在劣弧ED上（如图2），结合①的方法，根据圆内接四边形对角互补可得答案。
8．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】作CE⊥OA，连接OC
∵⊙C经过坐标原点，
∴∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径．
∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝150°，
根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵点A的坐标为（0， ），∴OA＝ ，
∴AB＝ ，
⊙C的半径 ；
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC＝OC＝6，即
，
则 ＝6，
解得，y＝ ，x＝－3或x＝3（舍去），
故圆心C的坐标为： ．
【分析】作CE⊥OA，连接OC，由直角所对的弦是直径可得AB是⊙C的直径．根据圆内接四边形的对角互补可求得∠OAB=30度，解直角三角形OAB可求得AB和OB的长，根据有一个角是直角的等腰三角形是等边三角形可得三角形OBC是等边三角形，用面积法可求得点C的纵坐标，点C的横坐标的绝对值=OB，由图知，点C在第二象限可求解。
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= ．
故答案为 ．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，根据圆内接四边形的对角互补可得∠BAD=60°．再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形．由垂径定理可得DE= AD=1。∠ODE= ∠ADB=30°，在△ODE中即可求出 的半径长 .
10．【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
11．【答案】（1）解 ：如图，AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD
所以图中的友好三角形有：△ABC和△ABD。
（2）如图6，连结CD，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD，即∠BDC=∠BCD
∴BD=CD
∵AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS）
（3）①如图7，当AB=AB，AD=BC时，时，∠ADB=∠ACB，
△ABD和△ABC是友好三角形。∴AD =4
②如图8，当AB=AB，DB=AC时，∠DAB=∠ABC
△ABD和△ABC是友好三角形.
过C作CE⊥AB于点E
∵∠ABC=30°，BC=4，∴CE=2，BE=
∵∠CAE=45°，∴AE=2，AC=
∴AB=
∵∠ABC=30°，∠BAC=45°，
∴∠D=∠ABC+∠BAC=75°
∴∠ABD=180°-30°-75°=75°，
即∠ABD=∠D
∴AD=AB=
③如图9，当AB=AB，BD=BC时，∠BAD=∠BAC，
△ABD和△ABC是友好三角形
过D作DF⊥BA于点F
∵BD=BC=4
∴∠BAD=∠BAC=45°，∠DAC=90°
∴∠DBC=90°，∠DBA=60°，
∴BF=2，DF= ，AF=
∴AD= AF=
综上所述：AD的长度为4或 或
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据友好三角形的定义即可得出答案。
（2）连结CD，根据等边对等角得出∠ADC=∠ACD，根据等量减等量，差相等得出∠BDC=∠BCD，根据等角对等边得出BD=CD，然后利用SSS判断出△ABC≌△ABD；
（3）①如图7，当AB=AB，AD=BC时，时，∠ADB=∠ACB，根据友好三角形的定义得出△ABD和△ABC是友好三角形，从而得出AD的长；②如图8，当AB=AB，DB=AC时，∠DAB=∠ABC ，△ABD和△ABC是友好三角形.过C作CE⊥AB于点E，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CE=2，根据勾股定理得出BE的长，根据等腰直角三角形的性质得出AE=2，根据勾股定理得出AC的长，根据线段的和差得出AB的长，根据三角形的内角和及圆内接四边形的性质得出∠ABD=∠D，根据等角对等边得出答案；③如图9，当AB=AB，BD=BC时，∠BAD=∠BAC，△ABD和△ABC是友好三角形，过D作DF⊥BA于点F，根据等边对等角得出∠BAD=∠BAC=45°，∠DAC=90°，根据圆内接四边形的对角互补，及角的和差得出∠DBC=90°，∠DBA=60°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系及勾股定理，以及线段的和差得出DF，BF，AF的长，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出答案。
12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆美四边形，
∴ ，∠A+∠C=180°
∴∠A=60°.
（2）解：连结OB，OD，作OE⊥BD于点E，∴∠BOD=2∠A=120°，∵OB=OD，∴∠BOE= ∠BOD=60°，∴∠OBE=30°，∴OE= OB= ∴ BE = OE = ，∴ BD =2BE = ；10
（3）解：延长BC，AD交于点E
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE=60°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE和Rt△ABE中
CE=2CD，BE= AB=BC+CE
∴BC+2CD= AB.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】（2）②如图，
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD= ，
∴AB=AD，
∴△ABD是等边三角形.
∴当点AC是直径时，BC+CD的值最大.
∵AC是直径，
∴BC=CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC= ，
∴BC= ，
∴BC+CD=2BC=10.
【分析】（1）由圆美四边形的定义，可知四边形ABCD是圆内接四边形，则对角互补；且美角是对角的一半，依此可求得美角∠A的度数；（2）①由（1）得∠A的度数，则可知弦BD所对的圆心角度数；连结OB，OD，作OE⊥BD于点E构造直角三角形，即可求得BE和BD；
②结合CA平分∠BCD，∠BCD=120°， ∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，则要使BC+CD的值最大，AC要过圆心，即AC为直径，求出此时BC+CD的值即可；（3）由（1）得∠A的度数为60°，在直角三角形中60°角可以得到边之间的数量关系，则延长BC，AD交于点E构造直角三角形；易求得∠BAD=∠DCE=60°，则在Rt△CDE和Rt△ABE中，可得相应边的数量关系.
13．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】
由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到A、B、C、D四点都在以点O为圆心，OC为半径的圆上，然后根据圆内接四边形的性质求解即可。
14．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，OB，OC，
∵ =180°，且 = ， = ，
∴∠BOC=∠DOC=45°，
在圆周上取一点E连接AE，CE，
∴∠E= AOC=67.5°，
∴∠ABC=122.5°＜130°，
取 的中点F，连接OF，
则∠AOF=67.5°，
∴∠ABF=123.25°＜130°，
∴Q点在 上，且 ＜ ，
故答案为：B
【分析】连接AD，OB，OC，根据弧的度数就等于其所对的圆心角的度数得出∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E=AOC=67.5°，根据圆内接四边形的对角互补求得∠ABC=122.5°＜130°，取 的中点F，连接OF，根据弧的度数就等于其所对的圆心角的度数得到∠ABF=123.25°＜130°，于是得到结论。
15．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
。
故答案为：D。
【分析】连接 ，如图，根据角平分线的定义得出，由圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出根据同弧所对的圆周角相等得出∠2=∠3，故∠3=∠ADC，根据等角对等边得出AC=AD=5，在Rt△AEC中，根据勾股定理算出AE的长。
16．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】根据菱形的邻角互补，每条对角线平分一组对角得出，根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由就可算出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形 强化提升训练
一、综合提升
1．（2017·唐河模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 = ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ = ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
2．（2019九上·三门期末）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点.如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．115° C．130° D．65°或115°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】如图1，
∠ACB＝ ∠AOB＝65°；
如图2，
∠ADB＝ ∠AOB＝65°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝115°.
综上∠ACB的度数为65°或115°。
故答案为：D。
【分析】此题需要分点C在优弧AB还是劣弧AB上两种情况来讨论：如图1，当点C在优弧AB上的时候，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB的度数；如图2，当点C在劣弧AB上的时候，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ADB的度数，进而根据圆的内接四边形的对角互补算出∠ACB的度数，综上所述即可得出答案。
3．（2019九上·綦江期末）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】(1)∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠1=∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴结论①正确；
( 2 )∵弧BC=弧BD，
∴∠4=∠2，
∵∠1=∠2=∠BAC，
∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，
∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，
∴∠3=2∠4，
∴结论②正确；
( 3 )∵四边形ACEB为圆的内接四边形，
∴∠5+∠BAC=180°，
∵∠BAC=∠1，∠3=2∠1，
∴∠3=2∠BAC，
∠5+ ∠3=180°，
∴结论③错误，
总上所述，结论①②正确，
故答案为：D.
【分析】①由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠CAB，由等边对等角可得∠1=∠CAB，所以∠1=∠2；
②由垂径定理可得弧BC=弧BD，所以∠CAB=∠4，由（1）可得∠1=∠CAB，所以∠1=∠4；根据三角形小的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠CAB+∠1=2∠4；
③由圆内接四边形的对角互补可得∠5+∠CAB=180°，而由圆周角定理可得∠3=2∠CAB，所以∠5+∠3=180°.
4．（2018九上·柯桥月考）如图，AB为⊙O的直径，C为 上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y=90 B．2x+y=90 C．2x+y=180 D．x=y
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AD∥OC
∴∠BOC=∠DAB=x°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠DAB+∠ACB+∠ACD=180°
∴x+90°+y=180°
x+y=90°
故答案为：A
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可求出∠ACB的度数，再根据圆内接四边形的性质，可得出∠DAB+∠ACB+∠ACD=180°，就可求出x+y的值。
5．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；
∵AB=BD，
∴ ，
∴∠AED=∠AOB；
∵BC=AB=BD，
∴∠D=∠BCD；
∵四边形EABD内接于⊙O，
∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；
又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，
∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；
在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB；
∴AE=OA=1．
故答案为：B．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧BD，根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠AED=∠AOB；根据等边对等角得出∠D=∠BCD，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°，根据平角的定义得出∠ECA+60°+∠BCD=180°，故∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形，然后利用AAS判断出△EAC≌△OAB，根据全等三角形的对应边相等得出AE=OA=1．
6．（2018九下·绍兴模拟）已知点A，B，C在⊙O上（点C不与A，B重合）， ， 则 = °.
【答案】40或140
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当点C1所示时．∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AC1B= ∠AOB= ×80°=40°；
当点C2所示时．∵∠AC1B=40°，∴∠AC2B=180°﹣40°=140°．
故答案为：40°或140°．
【分析】此题分两种情况 ：①当点C在优弧上的时根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案；，②点C在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补得出答案。
7．（2018·姜堰模拟）如图，在⊙O上依次取点A、B、C、D、E，测得∠A+∠C=220°，F为⊙O上异于E、D的一动点，则∠EFD= ．
【答案】40°或140°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接AD，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAC+∠C=180°，因∠BAE+∠C=220°，可求得∠EAD=40°，分两种情况：①当点F在优弧EBD上（如图1），
根据同弧所对的圆周角相等可得∠EFD=∠EAD=40°；②当点F在劣弧ED上（如图2），
结合①的方法，根据圆内接四边形对角互补可得∠EFD=140°.故答案为：40°或140°.
【分析】连接AD，根据圆内接四边形对角互补可得∠BAC+∠C=180°，因∠BAE+∠C=220°，可求得∠EAD=40°，分两种情况：①当点F在优弧EBD上（如图1），根据同弧所对的圆周角相等可得出答案；②当点F在劣弧ED上（如图2），结合①的方法，根据圆内接四边形对角互补可得答案。
8．（2019九上·吴兴期末）⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为 ，M是圆上一点，∠BMO=150°.则圆心C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】作CE⊥OA，连接OC
∵⊙C经过坐标原点，
∴∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径．
∵四边形AOMB是圆内接四边形，∠BMO＝150°，
根据圆内接四边形的对角互补得到∠OAB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵点A的坐标为（0， ），∴OA＝ ，
∴AB＝ ，
⊙C的半径 ；
∵C在第二象限，
∴C点横坐标小于0，
设C点坐标为（x，y），
由半径AC＝OC＝6，即
，
则 ＝6，
解得，y＝ ，x＝－3或x＝3（舍去），
故圆心C的坐标为： ．
【分析】作CE⊥OA，连接OC，由直角所对的弦是直径可得AB是⊙C的直径．根据圆内接四边形的对角互补可求得∠OAB=30度，解直角三角形OAB可求得AB和OB的长，根据有一个角是直角的等腰三角形是等边三角形可得三角形OBC是等边三角形，用面积法可求得点C的纵坐标，点C的横坐标的绝对值=OB，由图知，点C在第二象限可求解。
9．（2019九上·弥勒期末）如图，已知 为四边形 的外接圆， 为圆心，若 BCD=120 ，AB=AD=2cm，则 的半径长为 cm.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= ．
故答案为 ．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，根据圆内接四边形的对角互补可得∠BAD=60°．再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形．由垂径定理可得DE= AD=1。∠ODE= ∠ADB=30°，在△ODE中即可求出 的半径长 .
10．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
11．（2018·秀洲模拟）我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形。如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AD=AC，∠ABC=∠ABD，则△ABC和△ABD是友好三角形。
（1）如图1，已知AD=AC，请写出图中的友好三角形；
（2）如图2，在△ABC和△ABD中，AD=AC，∠BDA=∠BCA，且∠BDA>90°，求证：△ABC≌△ABD；
（3）如图3，△ABC内接于圆，∠ABC=30°，∠BAC=45°，BC=4。D是圆上一点，若△ABD和△ABC是友好三角形，且BD【答案】（1）解 ：如图，AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD
所以图中的友好三角形有：△ABC和△ABD。
（2）如图6，连结CD，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD，即∠BDC=∠BCD
∴BD=CD
∵AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS）
（3）①如图7，当AB=AB，AD=BC时，时，∠ADB=∠ACB，
△ABD和△ABC是友好三角形。∴AD =4
②如图8，当AB=AB，DB=AC时，∠DAB=∠ABC
△ABD和△ABC是友好三角形.
过C作CE⊥AB于点E
∵∠ABC=30°，BC=4，∴CE=2，BE=
∵∠CAE=45°，∴AE=2，AC=
∴AB=
∵∠ABC=30°，∠BAC=45°，
∴∠D=∠ABC+∠BAC=75°
∴∠ABD=180°-30°-75°=75°，
即∠ABD=∠D
∴AD=AB=
③如图9，当AB=AB，BD=BC时，∠BAD=∠BAC，
△ABD和△ABC是友好三角形
过D作DF⊥BA于点F
∵BD=BC=4
∴∠BAD=∠BAC=45°，∠DAC=90°
∴∠DBC=90°，∠DBA=60°，
∴BF=2，DF= ，AF=
∴AD= AF=
综上所述：AD的长度为4或 或
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据友好三角形的定义即可得出答案。
（2）连结CD，根据等边对等角得出∠ADC=∠ACD，根据等量减等量，差相等得出∠BDC=∠BCD，根据等角对等边得出BD=CD，然后利用SSS判断出△ABC≌△ABD；
（3）①如图7，当AB=AB，AD=BC时，时，∠ADB=∠ACB，根据友好三角形的定义得出△ABD和△ABC是友好三角形，从而得出AD的长；②如图8，当AB=AB，DB=AC时，∠DAB=∠ABC ，△ABD和△ABC是友好三角形.过C作CE⊥AB于点E，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CE=2，根据勾股定理得出BE的长，根据等腰直角三角形的性质得出AE=2，根据勾股定理得出AC的长，根据线段的和差得出AB的长，根据三角形的内角和及圆内接四边形的性质得出∠ABD=∠D，根据等角对等边得出答案；③如图9，当AB=AB，BD=BC时，∠BAD=∠BAC，△ABD和△ABC是友好三角形，过D作DF⊥BA于点F，根据等边对等角得出∠BAD=∠BAC=45°，∠DAC=90°，根据圆内接四边形的对角互补，及角的和差得出∠DBC=90°，∠DBA=60°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系及勾股定理，以及线段的和差得出DF，BF，AF的长，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出答案。
12．（2018九上·宁波期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，求美角∠A的度数．
（2）在(1)的条件下，若⊙O的半径为5．
①求BD的长．
②如图2，在四边形ABCD中，若CA平分∠BCD，则BC+CD的最大值是 ．
（3）在(1)的条件下，如图3，若AC是⊙O的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆美四边形，
∴ ，∠A+∠C=180°
∴∠A=60°.
（2）解：连结OB，OD，作OE⊥BD于点E，∴∠BOD=2∠A=120°，∵OB=OD，∴∠BOE= ∠BOD=60°，∴∠OBE=30°，∴OE= OB= ∴ BE = OE = ，∴ BD =2BE = ；10
（3）解：延长BC，AD交于点E
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE=60°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°=∠CDE，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE和Rt△ABE中
CE=2CD，BE= AB=BC+CE
∴BC+2CD= AB.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】（2）②如图，
∵∠BAD=60°，
∴∠BCD=120°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD= ，
∴AB=AD，
∴△ABD是等边三角形.
∴当点AC是直径时，BC+CD的值最大.
∵AC是直径，
∴BC=CD，∠ABC=90°，
∴∠BAC= ，
∴BC= ，
∴BC+CD=2BC=10.
【分析】（1）由圆美四边形的定义，可知四边形ABCD是圆内接四边形，则对角互补；且美角是对角的一半，依此可求得美角∠A的度数；（2）①由（1）得∠A的度数，则可知弦BD所对的圆心角度数；连结OB，OD，作OE⊥BD于点E构造直角三角形，即可求得BE和BD；
②结合CA平分∠BCD，∠BCD=120°， ∠BAD=60°，可证△ABD是等边三角形，则要使BC+CD的值最大，AC要过圆心，即AC为直径，求出此时BC+CD的值即可；（3）由（1）得∠A的度数为60°，在直角三角形中60°角可以得到边之间的数量关系，则延长BC，AD交于点E构造直角三角形；易求得∠BAD=∠DCE=60°，则在Rt△CDE和Rt△ABE中，可得相应边的数量关系.
二、中考演练
13．（2019·德州）如图，点 为线段 的中点，点 ， ， 到点 的距离相等，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】
由题意得到 ，作出圆 ，如图所示，
四边形 为圆 的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据题意得到A、B、C、D四点都在以点O为圆心，OC为半径的圆上，然后根据圆内接四边形的性质求解即可。
14．（2019·台湾）如图表示A、B、C、D四点在O上的位置，其中 =180°，且 = ， = .若阿超在 上取一点P，在 上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确？（ ）
A．Q点在 上，且
B．Q点在 上，且
C．Q点在 上，且
D．Q点在 上，且
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，OB，OC，
∵ =180°，且 = ， = ，
∴∠BOC=∠DOC=45°，
在圆周上取一点E连接AE，CE，
∴∠E= AOC=67.5°，
∴∠ABC=122.5°＜130°，
取 的中点F，连接OF，
则∠AOF=67.5°，
∴∠ABF=123.25°＜130°，
∴Q点在 上，且 ＜ ，
故答案为：B
【分析】连接AD，OB，OC，根据弧的度数就等于其所对的圆心角的度数得出∠BOC=∠DOC=45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E=AOC=67.5°，根据圆内接四边形的对角互补求得∠ABC=122.5°＜130°，取 的中点F，连接OF，根据弧的度数就等于其所对的圆心角的度数得到∠ABF=123.25°＜130°，于是得到结论。
15．（2019·十堰）如图，四边形 内接于⊙ ， 交 的延长线于点 ，若 平分 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
。
故答案为：D。
【分析】连接 ，如图，根据角平分线的定义得出，由圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出根据同弧所对的圆周角相等得出∠2=∠3，故∠3=∠ADC，根据等角对等边得出AC=AD=5，在Rt△AEC中，根据勾股定理算出AE的长。
16．（2019·天水）如图，四边形 是菱形， 经过点 、 、 ，与 相交于点 ，连接 、 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；菱形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】根据菱形的邻角互补，每条对角线平分一组对角得出，根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由就可算出答案。
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