初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 强化提升训练
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．若两个相似矩形的相似比为 ，较小矩形面积为 ，较大矩形一边为 ，则其相邻的一边是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017九上·东莞月考）如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2．
5．如图，四边形ABCD和A1B1C1D1相似，已知 ，AB=10，A1B1=16，CD=18，则 = °，C1D1= ，它们的相似比为 ．
6．如图，正方形 的边长是 ，除 和 四点外，图形的其他顶点均为所在的一条线段的中点，则从正方形 中挖掉阴影部分后，所剩下部分面积等于 ．
7．（2018九上·金山期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是 ．
三、解答题
8．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
9．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
10．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
11．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
∴ = ．
设AD=x，AB=y，则AE= x．
∴ = ，
故y2= x2，即x2=2y2，
则x= y，
则 = = ．
故答案为：C
【分析】设AD=x，AB=y，利用设AD=x，AB=y，可表示出AE，再根据相似多边形的性质，可得出对应边成比例，就可求得结果。
2．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵两个相似矩形的相似比为2：1，
∴两个相似矩形的面积比为4：1，
而较小矩形面积为3cm2，
∴较大矩形的面积=4×3=12cm2，
又∵较大矩形一边为2，
∴较大矩形另一边=12÷2=6(cm).
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比即可求出大矩形的面积，再根据矩形的面积计算方法即可算出矩形的另一边的宽。
3．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】GC= ，BC=0.5，设AB=CD=x，CE=y，则DE=x y，
∵矩形ABCD∽矩形EHGC，
∴ ，即 （1），
∵矩形ABCD∽矩形ADEF，
∴ ，即 （2），
由（1）（2）解得：
故答案为：C.
【分析】利用已知可得出矩形ABCD∽矩形EHGC，矩形ABCD∽矩形ADEF，再利用相似多边形的性质，得出对应边成比例，建立关于x、y的方程组，就可求出x的值。
4．【答案】40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40
【分析】根据已知多边形的一组对应边长，可求出两多边形的相似比，再利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合两多边形的面积和为130cm2，就可求出较小的多边形的面积。
5．【答案】80；28.8；
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，
∴∠C=∠C1，∠D=∠D1， ，
∴∠C=75°，
∴∠D=360°-120°-85°-75°=80°，
∴∠D1=80°；
∵AB＝10，A1B1＝16，CD＝18，
∴ ， ，
∴C1D1=28.8，它们的相似比为5：8 .
故答案为：80；28.8；
【分析】利用相似多边形的性质，可证得∠C=∠C1，∠D=∠D1， AB：A1B1=CD：C1D1 ，代入计算，可求出结果。
6．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，且相似比为4：1，则面积比为16：1，
∵SABCD=a2，
∴S阴影=
∴所求的剩下的部分的面积是
故答案为：
【分析】根据所有的正方形都是相似的得出正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，又根据中位线定义得出其相似比为4：1，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出阴影部分的面积，从而算出答案。
7．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】如图所示：
由题意易得四边形ABFE是正方形，
设AB=1，CF=x，则有BC=x+1，CD=1，
∵四边形CDEF和矩形ABCD相似，
∴CD：BC=FC：CD，
即1：（x+1）=x：1，
∴x= 或x= （舍去），
∴ = ，
故答案为： .
【分析】由题意四边形ABFE是正方形，设AB=x，AD=y，由四边形CDEF和矩形ABCD相似，可得x2+xy-y2=0，推出四边形CDEF和矩形ABCD面积比=DE：AD=（y-x）：y，由此即可解决问题。
8．【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
9．【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
10．【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
11．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形 强化提升训练
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB， 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
∴ = ．
设AD=x，AB=y，则AE= x．
∴ = ，
故y2= x2，即x2=2y2，
则x= y，
则 = = ．
故答案为：C
【分析】设AD=x，AB=y，利用设AD=x，AB=y，可表示出AE，再根据相似多边形的性质，可得出对应边成比例，就可求得结果。
2．若两个相似矩形的相似比为 ，较小矩形面积为 ，较大矩形一边为 ，则其相邻的一边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵两个相似矩形的相似比为2：1，
∴两个相似矩形的面积比为4：1，
而较小矩形面积为3cm2，
∴较大矩形的面积=4×3=12cm2，
又∵较大矩形一边为2，
∴较大矩形另一边=12÷2=6(cm).
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比即可求出大矩形的面积，再根据矩形的面积计算方法即可算出矩形的另一边的宽。
3．（2017九上·东莞月考）如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】GC= ，BC=0.5，设AB=CD=x，CE=y，则DE=x y，
∵矩形ABCD∽矩形EHGC，
∴ ，即 （1），
∵矩形ABCD∽矩形ADEF，
∴ ，即 （2），
由（1）（2）解得：
故答案为：C.
【分析】利用已知可得出矩形ABCD∽矩形EHGC，矩形ABCD∽矩形ADEF，再利用相似多边形的性质，得出对应边成比例，建立关于x、y的方程组，就可求出x的值。
二、填空题
4．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是 cm2．
【答案】40
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5=2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x=130，
解得：x=10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40
【分析】根据已知多边形的一组对应边长，可求出两多边形的相似比，再利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合两多边形的面积和为130cm2，就可求出较小的多边形的面积。
5．如图，四边形ABCD和A1B1C1D1相似，已知 ，AB=10，A1B1=16，CD=18，则 = °，C1D1= ，它们的相似比为 ．
【答案】80；28.8；
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，
∴∠C=∠C1，∠D=∠D1， ，
∴∠C=75°，
∴∠D=360°-120°-85°-75°=80°，
∴∠D1=80°；
∵AB＝10，A1B1＝16，CD＝18，
∴ ， ，
∴C1D1=28.8，它们的相似比为5：8 .
故答案为：80；28.8；
【分析】利用相似多边形的性质，可证得∠C=∠C1，∠D=∠D1， AB：A1B1=CD：C1D1 ，代入计算，可求出结果。
6．如图，正方形 的边长是 ，除 和 四点外，图形的其他顶点均为所在的一条线段的中点，则从正方形 中挖掉阴影部分后，所剩下部分面积等于 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，且相似比为4：1，则面积比为16：1，
∵SABCD=a2，
∴S阴影=
∴所求的剩下的部分的面积是
故答案为：
【分析】根据所有的正方形都是相似的得出正方形ABCD与阴影部分是相似正方形，又根据中位线定义得出其相似比为4：1，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出阴影部分的面积，从而算出答案。
7．（2018九上·金山期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】如图所示：
由题意易得四边形ABFE是正方形，
设AB=1，CF=x，则有BC=x+1，CD=1，
∵四边形CDEF和矩形ABCD相似，
∴CD：BC=FC：CD，
即1：（x+1）=x：1，
∴x= 或x= （舍去），
∴ = ，
故答案为： .
【分析】由题意四边形ABFE是正方形，设AB=x，AD=y，由四边形CDEF和矩形ABCD相似，可得x2+xy-y2=0，推出四边形CDEF和矩形ABCD面积比=DE：AD=（y-x）：y，由此即可解决问题。
三、解答题
8．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
9．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
10．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
11．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
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