初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角 强化提升训练
一、综合提升
1．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
2．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
3．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝（ ）
A．110° B．80° C．40° D．70°
4．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018九上·苏州月考）如图， ， ， 是 的三等分点， 分别交 ， 于点 ， ，则下列结论正确的个数有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在半径为5cm的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 .
7．（2019·汽开区模拟）如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D.若 ，则∠P的大小为 度.
8．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .
9．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
10．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
11．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
12．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
13．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
14．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
二、中考演练
15．（2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2019·伊春）如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度数为 ．
17．（2019·赤峰）如图， 为 的直径， 是半圆 的三等分点，过点 作 延长线的垂线 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
18．（2019·怀化）如图， 是 上的5等分点，连接 ，得到一个五角星图形和五边形 ．
（1）计算 的度数；
（2）连接 ，证明： ；
（3）求证： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= =8，
故答案为：B．
【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，根据同角的补角相等可得∠BOE=∠COD，于是由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得BE=CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，所以在直角三角形ABE中，用勾股定理可求解。
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中， ，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A不符合题意；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴ ，故B不符合题意；
连结AD，
∵ ，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D不符合题意；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴ 不一定等于 ，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，（1）由题意用边角边可证△OAE≌△OBF，所以OE=OF；
（2）由（1）可得∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AC=弧BD；
（3）结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD
，但∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，所以AC=BD不一定等于CD；
（4）连结AD，结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，∠BAD=∠ADC，由平行线的判定可得CD∥AB。
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧，
∴∠DOE=40°．
∵OD=OE，
∴∠ODE= =70°．
∵弦DE∥AB，
∴∠AOC=∠ODE=70°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°．
故答案为：A．
【分析】连接OE，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可求得∠DOE的度数，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠ODE=，再根据平行线的性质可得∠AOC=∠ODE，用平角的性质即可求得∠BOC的度数。
4．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AC、BD，
∵ ， 是 的三等分点，
∴ ，
∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵ ，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，
∴AE=BF=CD.
由此可得，①②③正确.
故答案为：C.
【分析】连结AC、BD，根据已知C、D是弧AB上的三等分点，可证得AC=CD=DB，求出∠AOC的度数，再求出∠OCA=∠AEC=75°，利用等角对等边，可证得AE=AC，然后证明BF=BD，即可证得正确结论的个数。
6．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB
∵AB⊥CD
∴四边形OEPF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心距相等）
∴四边形OEPF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴OP= OE（正方形对角线等于 倍的边长）
∵OE⊥AB
∴BE= AB=4（垂径定理）
根据勾股定理：OB=5，BE=4
则OE=3
∴OP=3
故答案为：3
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，由有3个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形；根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，由邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，由垂径定理可得BE=AB，在直角三角形OBE中，用勾股定理可求解OE的长，根据正方形的性质可得三角形OPE是等腰直角三角形，用勾股定理即可求得OP的长。
7．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接OC、OD，
∵ ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为：60.
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.由同圆半径相等可得△AOC和△BOD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠A=60°，∠B=60°，由三角形内角和定理可求出∠P的度数.
8．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是 的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B= ，即AP+BP的值最小= .
故答案为： .
【分析】根据轴对称的性质可知，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的最小值即为A′B的长，由已知条件和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也相等易证三角形OA′B是等腰直角三角形，于是用勾股定理可求得A′B的长。
9．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
10．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD=2CM=4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2
【分析】连接OC，由垂径定理可得CD=2CM，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOC=∠BOC，OC是公共边，用角角边可证直角三角形CMO直角三角形CNO，于是可得CM=CN=CD即可求解。
11．【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
12．【答案】证明：连接AC、BD，
∵C、D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB，
∵∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠EAO+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA，
∴AE=AC，
同理可得：BF=BD，
∴AE=BF=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC、BD，根据圆心角，弦，弧的关系可得AC=CD=DB，结合已知条件得∠AOC度数，由等腰三角形性质得∠OCA度数，由三角形外角性质得∠AEC度数，根据等角对等边得AE=AC；同理可得：BF=BD，再由等量代换即可得证.
13．【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
14．【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
15．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故答案为：A．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断①；两点之间线段最短，据此判断②；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断③；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断④；
16．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】根据圆心角、圆周角与弧长对应关系，可解得∠AOB的度数。
17．【答案】（1）证明：∵点 为半圆 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的切线
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积 ．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据圆的圆心角与弧之间的关系，即可得到∠BOC=∠A，根据直线平行的判定定理得到OC∥AD，即可证明CE为圆的切线。
（2）连接OD以及OC，根据弧长相等得到∠COD的度数，由两直线平行的性质即可得到三角形ACD的面积等于三角形COD的面积，求出答案即可。
18．【答案】（1）解：∵ 是 上的5等分点，
∴ 的度数
∴
∵
∴
（2）解：连接
∵ 是 上的5等分点，
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
（3）证明：连接
∵
∴ ，且
∴
∴
∴ ，且
∴
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据点为圆的五等分点，即可得到弧CD的长度，得到答案即可。
（2）连接AE，根据五等分点即可得到∠CAE的度数以及∠AEB的度数，得到AE=ME。
（3）根据题意，即可根据五等分点证明对应边成比例，得到答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角 强化提升训练
一、综合提升
1．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．5
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴AB= =8，
故答案为：B．
【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，根据同角的补角相等可得∠BOE=∠COD，于是由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得BE=CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，所以在直角三角形ABE中，用勾股定理可求解。
2．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE与△OBF中， ，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE=OF，故A不符合题意；
∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，
∴ ，故B不符合题意；
连结AD，
∵ ，
∴∠BAD=∠ADC，
∴CD∥AB，故D不符合题意；
∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，
∴ 不一定等于 ，
∴AC=BD不一定等于CD，
故C选项不正确，
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，（1）由题意用边角边可证△OAE≌△OBF，所以OE=OF；
（2）由（1）可得∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AC=弧BD；
（3）结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD
，但∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，所以AC=BD不一定等于CD；
（4）连结AD，结合（2）的结论弧AC=弧BD，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得AC=BD，∠BAD=∠ADC，由平行线的判定可得CD∥AB。
3．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝（ ）
A．110° B．80° C．40° D．70°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵弧DE为40°的弧，
∴∠DOE=40°．
∵OD=OE，
∴∠ODE= =70°．
∵弦DE∥AB，
∴∠AOC=∠ODE=70°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-70°=110°．
故答案为：A．
【分析】连接OE，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可求得∠DOE的度数，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得∠ODE=，再根据平行线的性质可得∠AOC=∠ODE，用平角的性质即可求得∠BOC的度数。
4．（2018九上·湖州期中）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D.
【分析】如图连接OB、OD，根据等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧CD，故①正确；根据垂径定理得出AM=MB，CN=ND，根据的呢过量代换得出BM=DN，然后利用HL判断出Rt△OMB≌Rt△OND，根据全等三角形对应边相等得出OM=ON，故②正确；然后再利用HL判断出Rt△OPM≌Rt△OPN根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，进而根据等式的性质得出PA=PC，故③正确，总上所述即可得出答案。
5．（2018九上·苏州月考）如图， ， ， 是 的三等分点， 分别交 ， 于点 ， ，则下列结论正确的个数有（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AC、BD，
∵ ， 是 的三等分点，
∴ ，
∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵ ，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，
∴AE=BF=CD.
由此可得，①②③正确.
故答案为：C.
【分析】连结AC、BD，根据已知C、D是弧AB上的三等分点，可证得AC=CD=DB，求出∠AOC的度数，再求出∠OCA=∠AEC=75°，利用等角对等边，可证得AE=AC，然后证明BF=BD，即可证得正确结论的个数。
6．如图，在半径为5cm的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；垂径定理的应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB
∵AB⊥CD
∴四边形OEPF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心距相等）
∴四边形OEPF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
∴OP= OE（正方形对角线等于 倍的边长）
∵OE⊥AB
∴BE= AB=4（垂径定理）
根据勾股定理：OB=5，BE=4
则OE=3
∴OP=3
故答案为：3
【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，由有3个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形；根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，由邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，由垂径定理可得BE=AB，在直角三角形OBE中，用勾股定理可求解OE的长，根据正方形的性质可得三角形OPE是等腰直角三角形，用勾股定理即可求得OP的长。
7．（2019·汽开区模拟）如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D.若 ，则∠P的大小为 度.
【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接OC、OD，
∵ ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为：60.
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.由同圆半径相等可得△AOC和△BOD都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠A=60°，∠B=60°，由三角形内角和定理可求出∠P的度数.
8．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上， ，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是 的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B= ，即AP+BP的值最小= .
故答案为： .
【分析】根据轴对称的性质可知，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的最小值即为A′B的长，由已知条件和在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也相等易证三角形OA′B是等腰直角三角形，于是用勾股定理可求得A′B的长。
9．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是 上的点，且有 ，则∠OCG= ．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵ = = = = = ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，
∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°，
∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC= （180°-120°）=30°.
故答案为30°
【分析】由题意根据性质在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
10．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD=2CM=4cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2
【分析】连接OC，由垂径定理可得CD=2CM，根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOC=∠BOC，OC是公共边，用角角边可证直角三角形CMO直角三角形CNO，于是可得CM=CN=CD即可求解。
11．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；② ；③四边形MCDN是正方形；④MN＝ AB，其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④
【知识点】矩形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，连接OM，ON.
Rt△OCM中，OM=2OC，所以∠OMC=30°，所以∠COM=60°，
同理∠DON=60°，所以∠MON=60°.
易证△OMC≌△OND，则①正确；
∠AOM=∠MON=∠NOB=60°，所以 ，所以②正确；
四边形MCDN是矩形，不能得到它的两条邻边相等，所以③错误；
因为MN=CD，而CD= AB，所以MN= AB，所以④正确.
故答案为①②④.
【分析】连接OM，ON，由已知条件可得OC=OA=OM，根据直角三角形的性质可得∠OMC=30°，则∠COM=60°，易得∠MON=60°.易证△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质可得①MC＝ND；②根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AM=弧MN=弧BN；③四边形MCDN是矩形；④由③得MN=CDAB。
12．如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
【答案】证明：连接AC、BD，
∵C、D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB，
∵∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠EAO+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA，
∴AE=AC，
同理可得：BF=BD，
∴AE=BF=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC、BD，根据圆心角，弦，弧的关系可得AC=CD=DB，结合已知条件得∠AOC度数，由等腰三角形性质得∠OCA度数，由三角形外角性质得∠AEC度数，根据等角对等边得AE=AC；同理可得：BF=BD，再由等量代换即可得证.
13．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
【答案】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图1，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD
（2）解：如图2所示，由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵ ，
∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），
∴NE=ME，
∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，
即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，
∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO= ∠BED=30°，∴ON= OE=1，
在Rt△EON中，由勾股定理得：NE= ，
∴DE﹣AE=2NE=2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由已知条件用角平分线的性质可得OM=ON，再根据在同圆和等圆中，相等的弦心距所对的弦相等可得AB=CD；
（2）由（1）知，OM=ON，AB=CD，结合已知条件用斜边直角边易证Rt△EON≌Rt△EOM，所以NE=ME，∠NEO=∠MEO=∠NEM，于是易得AE=CE，由线段的构成可得DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，而在Rt△EON中，由勾股定理可求得NE的长，则DE﹣AE的长可求解。
14．如图， 的半径为5，弦 于E， ．
（1）求证： ；
（2）若 于F， 于G，试说明四边形OFEG是正方形．
【答案】（1）证明： ，
，
，即 ，
（2）解：四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD． ， ， ，
四边形OFEG是矩形， ， ．
， ． ， ，
≌ ，
．
矩形OFEG是正方形
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得弧AB=弧CD，这相等的两段弧减去公共的弧BC，可得弧AC=弧BD，则AC=BD；
（2）连接OA、OD．有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFEG是矩形，由垂径定理可得DF=CD，AG=AB，结合已知条件用斜边直角边定理可证△OFD≌△OGA，根据全等三角形的性质可得OF=OG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形OFEG是正方形。
二、中考演练
15．（2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故答案为：A．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断①；两点之间线段最短，据此判断②；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断③；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断④；
16．（2019·伊春）如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】根据圆心角、圆周角与弧长对应关系，可解得∠AOB的度数。
17．（2019·赤峰）如图， 为 的直径， 是半圆 的三等分点，过点 作 延长线的垂线 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵点 为半圆 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的切线
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积 ．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据圆的圆心角与弧之间的关系，即可得到∠BOC=∠A，根据直线平行的判定定理得到OC∥AD，即可证明CE为圆的切线。
（2）连接OD以及OC，根据弧长相等得到∠COD的度数，由两直线平行的性质即可得到三角形ACD的面积等于三角形COD的面积，求出答案即可。
18．（2019·怀化）如图， 是 上的5等分点，连接 ，得到一个五角星图形和五边形 ．
（1）计算 的度数；
（2）连接 ，证明： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）解：∵ 是 上的5等分点，
∴ 的度数
∴
∵
∴
（2）解：连接
∵ 是 上的5等分点，
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
（3）证明：连接
∵
∴ ，且
∴
∴
∴ ，且
∴
∵
∴
∴
∴ ，且
∴
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据点为圆的五等分点，即可得到弧CD的长度，得到答案即可。
（2）连接AE，根据五等分点即可得到∠CAE的度数以及∠AEB的度数，得到AE=ME。
（3）根据题意，即可根据五等分点证明对应边成比例，得到答案。
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