初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（2） 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·杭州期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是 不一定等于
故答案为：C.
【分析】（1）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ADE∽△BDF；
（2）同理可得△ADE∽△BDF；
（3）不能判断两个三角形相似；
（4）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ABC∽△DBF，则∠A=∠BDF，然后根据两对角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△BDF.
2．（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
3．（2019·广西模拟）如图，下列条件不能判定△ADB~△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD·AC D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图形中隐含条件为∠B=∠B
∵∠B=∠B， ∠ABD=∠ACB
∴ △ADB~△ABC，故A不符合题意；
∵∠B=∠B， ∠ADB=∠ABC
∴ △ADB~△ABC，故B不符合题意；
∵ AB2=AD·AC ，∠B=∠B
∴ △ADB~△ABC，故C不符合题意；
∵∠B=∠B， ，不能证明△ADB~△ABC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】抓住图形中的隐含条件：∠B=∠B，因此可添加其它两组角中的任意一组角，可证△ADB~△ABC，可对A、B作出判断；再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断，故可得出不能判定△ADB~△ABC的选项。
4．（2018九上·鄞州期中）如图所示，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图中：∵∠B=∠EDC，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC；
第二个图中：两三角形中的对应边不成比例，故两三角形不相似；
第三个图中：∵∠B=∠DEC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC；
第四个图中：∠B=∠B，∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠A=180°，
∴∠BDE=∠A
∴△ABC∽△DBE；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似；对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；逐一分析即可得出答案.
5．（2019九上·北京期中）如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
B、∵ = ，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
C、∵ = ，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等，
∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确；
D、∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
故答案为：C．
【分析】由∠1=∠2，可知∠DAE=∠BAC；A选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立；
B选项中两组对应边成比例，且∠DAE与∠BAC正好是这两组对应边的夹角，所以能成立；
C选项中也是两组对应边成比例，但∠DAE与∠BAC不是这两组对应边的夹角，所以不能成立；
D选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立。
6．（2018九上·合肥期中）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC如图1相似的三角形所在网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，AC= = ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，夹直角的两边的比为 = ，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C．
【分析】先观察图象得△ABC为直角三角形，且求出夹直角的两边的比，然后根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似“判断即可。
7．（2019九上·乐亭期中）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，AB=8，BC=4，AC=6
∴在A选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似；
在B选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似；
在C选项中，==，∴阴影部分三角形和三角形ABC相似；
在D选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似。
故答案为：C。
【分析】根据三角形相似的判定定理进行判定即可，根据一个公共角推断对应边成比例进行判别即可。
8．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
二、填空题
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
只要
时，
△ABC∽△AED，
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=80°， = = ，
∴当 = ，即 = ，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【分析】观察图形可知∠A=∠D，AB与DE之比为1：2，因此只需AC：DF=1：2，因此添加DF=2AC，即可证得△ABC∽△DEF。
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图，在 中，AC是BC、DC的比例中项，则 ∽ ．
【答案】△BAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可知：BC：AC=AC：DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
【分析】由AC是BC、DC的比例中项，可证BC：AC=AC：DC，再由∠C=∠C，就可证得结论。
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图， ，BD=4，BC=5，则AC= 时，△ACD∽△BDC．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 在Rt△BDC中，∵BD=4，BC=5，
∴CD= =3，
∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴当AC：BD=BC：CD时，△ACB∽△BDC，
即AC：4=5：3，
∴AC= ，
即AC= 时，△ACB∽△BDC.
故答案为 .
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得AC：BD=BC：CD，就可求出AC的长。
三、解答题
13．（2019九上·吴兴期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP∽△PDB．
【答案】证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴ .
∴△ACP∽△PDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由等边三角形的各角相等、各边相等可得
∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2 ，根据邻补角的意义可得
∠ACP＝∠PDB＝120° ，由计算可得
，由“
两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”可求解。
14．（2018九上·合肥期中）如图，△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，到达点B时停止.点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，到达点C时停止.如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？
【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
则有AP=t，BQ=2t，BP=10-t
①当△BPQ∽△BAC时， 即 ，
解得：t=5，
②当△BPQ∽△BCA时，
= 即 = ，
解得：t=2，
综上所述，经过5秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。用含t的代数式表示出线段AP、BQ、BP。在△PBQ与△ABC中，有一公共角∠B，根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等“可得，若使△PBQ与△ABC相似，只需或，据此可解。
15．（2018九上·东河月考）如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】证明：如图，∵AB AE=AD AC，
∴ = ．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】已知 AB AE=AD AC ，变形得 = 。又 ∠1=∠2 ，故 ∠BAC=∠DAE 。两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，故这两个三角形相似。
16．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（4） 同步练习）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD= AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
【答案】证明：∵AC=3，AB=5，AD= ，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两个对应边成比例以及它们的夹角相等，求证△ADE∽△ACB。
17．（2019九上·东源期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动（到达点C即停止运动）。如果P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒。
（1）则：BQ= cm：BP= cm；（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（3）经几秒钟△PBQ与△ABC相似 试说明理由．
【答案】（1）2t；(6-t)
（2）解：∵S△PBQ=S△ABC，
∴PB·BQ=×AB·BC，
即(6-t)·2t=×6×8，整理得，t-6t+8=0，
∴t1=2，t2=4， 即经过2秒或4秒， △PBQ的面积等于△ABC的三分之一 。
（3）解：∵∠B公共，
∴当PB∶BQ=AB∶BC时，△PBQ∽△ABC，
即(6-t)∶2t=6∶8，
∴t=，
或当PB∶BQ=CB∶BA时，△PBQ∽△CBA，
即(6-t)∶2t=8∶6，
∴t=，
综上所述，经过秒或秒△PBQ与△ABC相似。
【知识点】一元二次方程的其他应用；相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：由题意得，AP=t，BQ=2t
∴BQ=2tcm， BP=(6-t)cm。
故答案为：2t；(6-t)。
【分析】（1）根据点P、Q移动的速度及方向即可表示；
（2）根据△PBQ的面积等于△ABC的三分之一 ，结合（1）的表示即可列出t的方程，据此即可解答；
（3）由∠B是△PBQ与△ABC的公共角，根据相似三角形的判定方法可知，当这两个三角形夹∠B的边成比例时这两个三角形就相似，据此列出t的比例式即可解答。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（2） 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·杭州期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·广西模拟）如图，下列条件不能判定△ADB~△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD·AC D．
4．（2018九上·鄞州期中）如图所示，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019九上·北京期中）如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2018九上·合肥期中）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC如图1相似的三角形所在网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019九上·乐亭期中）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019九上·长兴期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)
二、填空题
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
11．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图，在 中，AC是BC、DC的比例中项，则 ∽ ．
12．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形 同步练习 ）如图， ，BD=4，BC=5，则AC= 时，△ACD∽△BDC．
三、解答题
13．（2019九上·吴兴期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP∽△PDB．
14．（2018九上·合肥期中）如图，△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，到达点B时停止.点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，到达点C时停止.如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？
15．（2018九上·东河月考）如图，AB AE=AD AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
16．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（4） 同步练习）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD= AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
17．（2019九上·东源期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动（到达点C即停止运动）。如果P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒。
（1）则：BQ= cm：BP= cm；（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（3）经几秒钟△PBQ与△ABC相似 试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是 不一定等于
故答案为：C.
【分析】（1）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ADE∽△BDF；
（2）同理可得△ADE∽△BDF；
（3）不能判断两个三角形相似；
（4）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ABC∽△DBF，则∠A=∠BDF，然后根据两对角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△BDF.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图形中隐含条件为∠B=∠B
∵∠B=∠B， ∠ABD=∠ACB
∴ △ADB~△ABC，故A不符合题意；
∵∠B=∠B， ∠ADB=∠ABC
∴ △ADB~△ABC，故B不符合题意；
∵ AB2=AD·AC ，∠B=∠B
∴ △ADB~△ABC，故C不符合题意；
∵∠B=∠B， ，不能证明△ADB~△ABC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】抓住图形中的隐含条件：∠B=∠B，因此可添加其它两组角中的任意一组角，可证△ADB~△ABC，可对A、B作出判断；再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断，故可得出不能判定△ADB~△ABC的选项。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图中：∵∠B=∠EDC，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC；
第二个图中：两三角形中的对应边不成比例，故两三角形不相似；
第三个图中：∵∠B=∠DEC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC；
第四个图中：∠B=∠B，∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠A=180°，
∴∠BDE=∠A
∴△ABC∽△DBE；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似；对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；逐一分析即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
B、∵ = ，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
C、∵ = ，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等，
∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确；
D、∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
故答案为：C．
【分析】由∠1=∠2，可知∠DAE=∠BAC；A选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立；
B选项中两组对应边成比例，且∠DAE与∠BAC正好是这两组对应边的夹角，所以能成立；
C选项中也是两组对应边成比例，但∠DAE与∠BAC不是这两组对应边的夹角，所以不能成立；
D选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，AC= = ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，夹直角的两边的比为 = ，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C．
【分析】先观察图象得△ABC为直角三角形，且求出夹直角的两边的比，然后根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似“判断即可。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，AB=8，BC=4，AC=6
∴在A选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似；
在B选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似；
在C选项中，==，∴阴影部分三角形和三角形ABC相似；
在D选项中，≠，∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似。
故答案为：C。
【分析】根据三角形相似的判定定理进行判定即可，根据一个公共角推断对应边成比例进行判别即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
A.当E（6，5）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，
∴，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
B.当E（6，0）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，
∴，∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
C.当E（6，4）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，
∴≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△EDC不相似，
D.当E（4，2）时，
∵D（6，1），C（4，1），
∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∴，∠ABC=∠DCE，
∴△ABC∽△DCE，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
只要
时，
△ABC∽△AED，
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
10．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=80°， = = ，
∴当 = ，即 = ，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【分析】观察图形可知∠A=∠D，AB与DE之比为1：2，因此只需AC：DF=1：2，因此添加DF=2AC，即可证得△ABC∽△DEF。
11．【答案】△BAC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可知：BC：AC=AC：DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
【分析】由AC是BC、DC的比例中项，可证BC：AC=AC：DC，再由∠C=∠C，就可证得结论。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 在Rt△BDC中，∵BD=4，BC=5，
∴CD= =3，
∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴当AC：BD=BC：CD时，△ACB∽△BDC，
即AC：4=5：3，
∴AC= ，
即AC= 时，△ACB∽△BDC.
故答案为 .
【分析】先利用勾股定理求出CD的长，再根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得AC：BD=BC：CD，就可求出AC的长。
13．【答案】证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴ .
∴△ACP∽△PDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由等边三角形的各角相等、各边相等可得
∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2 ，根据邻补角的意义可得
∠ACP＝∠PDB＝120° ，由计算可得
，由“
两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”可求解。
14．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
则有AP=t，BQ=2t，BP=10-t
①当△BPQ∽△BAC时， 即 ，
解得：t=5，
②当△BPQ∽△BCA时，
= 即 = ，
解得：t=2，
综上所述，经过5秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。用含t的代数式表示出线段AP、BQ、BP。在△PBQ与△ABC中，有一公共角∠B，根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等“可得，若使△PBQ与△ABC相似，只需或，据此可解。
15．【答案】证明：如图，∵AB AE=AD AC，
∴ = ．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】已知 AB AE=AD AC ，变形得 = 。又 ∠1=∠2 ，故 ∠BAC=∠DAE 。两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，故这两个三角形相似。
16．【答案】证明：∵AC=3，AB=5，AD= ，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两个对应边成比例以及它们的夹角相等，求证△ADE∽△ACB。
17．【答案】（1）2t；(6-t)
（2）解：∵S△PBQ=S△ABC，
∴PB·BQ=×AB·BC，
即(6-t)·2t=×6×8，整理得，t-6t+8=0，
∴t1=2，t2=4， 即经过2秒或4秒， △PBQ的面积等于△ABC的三分之一 。
（3）解：∵∠B公共，
∴当PB∶BQ=AB∶BC时，△PBQ∽△ABC，
即(6-t)∶2t=6∶8，
∴t=，
或当PB∶BQ=CB∶BA时，△PBQ∽△CBA，
即(6-t)∶2t=8∶6，
∴t=，
综上所述，经过秒或秒△PBQ与△ABC相似。
【知识点】一元二次方程的其他应用；相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：由题意得，AP=t，BQ=2t
∴BQ=2tcm， BP=(6-t)cm。
故答案为：2t；(6-t)。
【分析】（1）根据点P、Q移动的速度及方向即可表示；
（2）根据△PBQ的面积等于△ABC的三分之一 ，结合（1）的表示即可列出t的方程，据此即可解答；
（3）由∠B是△PBQ与△ABC的公共角，根据相似三角形的判定方法可知，当这两个三角形夹∠B的边成比例时这两个三角形就相似，据此列出t的比例式即可解答。
1 / 1
