初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-定义 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·梁平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则 是∠A的（ ）
A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ，cosA= ，tanA= ，
故答案为：B.
【分析】 在Rt△ABC中 ，b是∠A的邻边，c是斜边，由cosA=判断即可.
2．（2019九下·常熟月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（ ）
A．3sinα B．3cosα C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴AC=3cosα.
故答案为：B.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα= = ．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出OB，再由tanα=代入求解.
4．（2018九上·定兴期中）正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得tan∠AOB=2，
故答案为：A．
【分析】先将∠AOB放入已知边长的直角三角形中，找出角的对边和邻边，用定义求解.
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB =3，BC=4，tan A=
故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=
6．（2018九上·诸暨月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．h·sinα
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义可得，sinα= ，即可得l= 。
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，由sinα= ，即可得l= 。
7．（2019·温州模拟）如图，自动扶梯AB段长为20米，倾斜角为a，高度BC为（ ）米
A． B．20cosa C．20sina D．20tana
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=ABsin∠BAC=20sina，
故答案为：C
【分析】利用锐角三角函数的定义：sin∠BAC=，再代入计算可求出BC的长。
8．（2019九上·浙江期末）如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75 sin55° B．75 cos55° C．75 tan55° D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75 tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
9．（湘教版九年级数学上册 4.2 正切 同步练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为 （注：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8）
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴tanB= ，
∴BC= = =4．
故答案为：4．
【分析】根据正切值的定义为对边和邻边的比值，可得出BC的长度。
10．（2018九上·老河口期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴ .
∴ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用勾股定求出AC，再根据锐角三角形函数的定义，分别求出∠A的正弦值、余弦值和正切值。
二、提高特训
11．（2018九上·浦东期中）把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．增加2倍 B．增加4倍 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解；
设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA= ，
如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，
∴sinA= ，
故∠A的正弦值大小不变，
故答案为：C．
【分析】三角函数是在直角三角形中，边与角的关系。
12．（2019九上·定安期末）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝ ，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的横坐标为3，sinα= ，
∴OB=3，设PB=4x，OP=5x
在Rt△OPB中，由勾股定理得：32+（4x）2=（5x）2
解得：x=1，
∴PB=4，tanα= =
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，结合已知可设PB=4x，OP=5x，在Rt△OPB中，利用勾股定理可得32+（4x）2=（5x）2，解出x，即得PB，利用tanα= 即得.
13．（2019九上·桂林期末）在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，cosA= ，则AC的长为（ ）
A．4.8 B．7.5 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°， BC=6，
∴ cosA==，
设AC=4x，AB=5x，
∴AC2+BC2=AB2，
即（4x）2+62=（5x）2，
解得：x=2，
∴AC=8.
故答案为：C.
【分析】根据锐角三角函数定义结合已知条件可设AC=4x，AB=5x，在 Rt△ACB中， 根据勾股定理列出方程，解之得x值，从而求得AC.
14．（2018九上·襄汾期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝ ，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AD=x．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BC，∴CD=x﹣3．在直角△ACD中，由勾股定理得：（x﹣3）2+ =x2，解得：x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD= = ．
故答案为：A．
【分析】设AD=x．根据线段垂直平分线的性质可得AD=BC=x，则CD=x-3．在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程求出x，即可得到边CD、AD的长，因而可求sin∠CAD。
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）已知tanα= ，那么sinα= ．（其中α为锐角）
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，∠A=α，
∵tanα= = ，
设BC=4x，AC=3x，
由勾股定理得：AB= =5x，
∴sinα=sin∠A= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义，由 tanα= ，列出方程 = ，设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理表示出AB，进而利用正弦函数的定义即可求出答案。
16．（2019九上·罗湖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
17．（2018九上·定兴期中）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=，据此代入数据解答即可.
18．（2018九上·襄汾期中）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝ ．
，
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2，
∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD CD=6，解得AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】先根据比例设出线段BD、CD的长，然后证得△ABD∽△CAD，利用相似三角形的性质得AD2=BD CD=6，解得AD＝，再在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出tanB即可。
19．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
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一、基础夯实
1．（2019九上·梁平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则 是∠A的（ ）
A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对
2．（2019九下·常熟月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（ ）
A．3sinα B．3cosα C． D．
3．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2018九上·定兴期中）正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
6．（2018九上·诸暨月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．h·sinα
7．（2019·温州模拟）如图，自动扶梯AB段长为20米，倾斜角为a，高度BC为（ ）米
A． B．20cosa C．20sina D．20tana
8．（2019九上·浙江期末）如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75 sin55° B．75 cos55° C．75 tan55° D．
9．（湘教版九年级数学上册 4.2 正切 同步练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为 （注：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8）
10．（2018九上·老河口期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
二、提高特训
11．（2018九上·浦东期中）把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值（ ）
A．增加2倍 B．增加4倍 C．不变 D．不能确定
12．（2019九上·定安期末）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝ ，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
13．（2019九上·桂林期末）在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，cosA= ，则AC的长为（ ）
A．4.8 B．7.5 C．8 D．10
14．（2018九上·襄汾期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝ ，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD＝（ ）
A． B． C． D．
15．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）已知tanα= ，那么sinα= ．（其中α为锐角）
16．（2019九上·罗湖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是 ．
17．（2018九上·定兴期中）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．
18．（2018九上·襄汾期中）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝ ．
，
19．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ，cosA= ，tanA= ，
故答案为：B.
【分析】 在Rt△ABC中 ，b是∠A的邻边，c是斜边，由cosA=判断即可.
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴AC=3cosα.
故答案为：B.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα= = ．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出OB，再由tanα=代入求解.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可得tan∠AOB=2，
故答案为：A．
【分析】先将∠AOB放入已知边长的直角三角形中，找出角的对边和邻边，用定义求解.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB =3，BC=4，tan A=
故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义可得，sinα= ，即可得l= 。
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，由sinα= ，即可得l= 。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=ABsin∠BAC=20sina，
故答案为：C
【分析】利用锐角三角函数的定义：sin∠BAC=，再代入计算可求出BC的长。
8．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75 tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
9．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴tanB= ，
∴BC= = =4．
故答案为：4．
【分析】根据正切值的定义为对边和邻边的比值，可得出BC的长度。
10．【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴ .
∴ ，
，
.
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用勾股定求出AC，再根据锐角三角形函数的定义，分别求出∠A的正弦值、余弦值和正切值。
11．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解；
设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA= ，
如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，
∴sinA= ，
故∠A的正弦值大小不变，
故答案为：C．
【分析】三角函数是在直角三角形中，边与角的关系。
12．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的横坐标为3，sinα= ，
∴OB=3，设PB=4x，OP=5x
在Rt△OPB中，由勾股定理得：32+（4x）2=（5x）2
解得：x=1，
∴PB=4，tanα= =
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，结合已知可设PB=4x，OP=5x，在Rt△OPB中，利用勾股定理可得32+（4x）2=（5x）2，解出x，即得PB，利用tanα= 即得.
13．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°， BC=6，
∴ cosA==，
设AC=4x，AB=5x，
∴AC2+BC2=AB2，
即（4x）2+62=（5x）2，
解得：x=2，
∴AC=8.
故答案为：C.
【分析】根据锐角三角函数定义结合已知条件可设AC=4x，AB=5x，在 Rt△ACB中， 根据勾股定理列出方程，解之得x值，从而求得AC.
14．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设AD=x．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BC，∴CD=x﹣3．在直角△ACD中，由勾股定理得：（x﹣3）2+ =x2，解得：x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD= = ．
故答案为：A．
【分析】设AD=x．根据线段垂直平分线的性质可得AD=BC=x，则CD=x-3．在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程求出x，即可得到边CD、AD的长，因而可求sin∠CAD。
15．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，∠A=α，
∵tanα= = ，
设BC=4x，AC=3x，
由勾股定理得：AB= =5x，
∴sinα=sin∠A= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义，由 tanα= ，列出方程 = ，设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理表示出AB，进而利用正弦函数的定义即可求出答案。
16．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
17．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=，据此代入数据解答即可.
18．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2，
∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD CD=6，解得AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】先根据比例设出线段BD、CD的长，然后证得△ABD∽△CAD，利用相似三角形的性质得AD2=BD CD=6，解得AD＝，再在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出tanB即可。
19．【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
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