初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 强化提升训练
一、单选题
1.(2019八下·温州期中)如图是一块等腰三角形空地ABC,已知点D,E分别是边AB,AC的中点,量得AC=10米,AB=BC=6米,若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡,则需要篱笆的长是( )
A.22米 B.17米 C.14米 D.11米
2.(2019·南充模拟)如图,在△ABC中,动点P在AB边上由点A向点B以3cml/s的速度匀速运动,则线段CP的中点Q运动的速度为( ).
A.3cm/s B.2cm/s C.1.5cm/s D.1cm/s
3.如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,连接OA,点G,F分别为OC,OB的中点,BC=8,A0=6,则四边形DEFG的周长为( ).
A.12 B.14 C.16 D.18
4.(2018九上·襄汾期中)如图,在直角梯形ABCD中,P是下底BC边上一动点,点E、F、G分别为AB、PE、DP的中点,AB=AD=4,则FG的长为( )
A.2 B.2 C. D.2
5.(2019八下·嵊州期末)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
6.(2018·苏州模拟)如图,在梯形 中, ,中位线 与对角线 交于 两点,若 cm, cm,则 的长等于( )
A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
7.(2018·万全模拟)如图,在△ABC中,BC=15,B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB,AC的10等分点,则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是( )
A.45 B.55 C.67.5 D.135
二、填空题
8.(2019·沈阳)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,若AD=BC= ,则四边形EGFH的周长是 .
9.(2019·扬州)如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .
10.(2019八下·泰兴期中)Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,D为AB中点,点E在AC上,ED平分△ABC的周长,则ED= .
三、解答题
11.如图,在△ABC中,D是边BC上的中点,F是AD的中点,BF的延长线交AC于点E.求证:AE= CE.
12.如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF;
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】由题意可知,点D,E分别是边AB,AC的中点,
,即
四边形BCED的周长
故答案为:B
【分析】利用三角形中位线定理求出DE的长,再利用线段中点的定义求出BD、CE的长,然后求出四边形BCDE的周长。
2.【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:过点Q作QD∥BP交AB于D,
∵CQ=PQ,
∴CD=BD,
∴△DQ是△PBC的中位线,
∴DQ=
BP,
∵动点P的运动速度为2cm/s,运动时间相同,
∴线段CP的中点Q运动的速度为1.5cm/s.
故答案为:C
【分析】过点Q作QD∥BP交AB于D,根据三角形中位线定理可知点Q运动的路程是BP的一半,由于运动时间相同,可得线段CP的中点Q运动的速度是点P运动速度的一半.
3.【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵D、G分别是CA和OC的中点,
∴OD是△AOC的中位线,
∴OD=OA=×6=3,
∵D、E分别是AC和AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=×8=4,
同理可得EF是△AOB的中位线,GF是△BOC的中位线,
∴EF=OA,GF=BC,
∴EF=DG=3,GF=DE=4,
∴四边形DEFG的周长为 :GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为;B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点,可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线,从而可得各边的长,则其周长可求.
4.【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图,连接ED.
∵点E是AB的中点,AB=4,∴AE= AB=2.
又∵在直角梯形ABCD中,底边是BC,∴AD∥BC,且∠BAD=90°,∴∠EAD=90°,AE=2,AD=4,根据勾股定理知:ED= =2 .
∵F,G分别为PE,DP的中点,∴FG是△EDP的中位线,∴FG= ED= .
故答案为:C.
【分析】连接ED,先在Rt△ADE中求得线段ED的长,根据三角形的中位线定理可得FG=ED.
5.【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵□ABCD,
∴OB=OD,即点O是BD的中点,
∵ E是边CD的中,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE∥BC,
∴∠1=∠ACB;
∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-80°=40°
∴∠1=40°
故答案为:B
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分,可知点O是BD的中点,结合已知可证得OE是△BCD的中位线,利用中位线定理可证得OE∥BC,利用平行线的性质,可证∠1=∠ACB,然后利用三角形内角和为180°求出∠ACB的度数,即可求出∠1的度数。
6.【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线,
∴EF∥CD∥AB.
∴AM=CM,BN=DN.
∴EM是△ACD的中位线,NF是△BCD的中位线,
∴EM= CD,NF= CD.
∴EM=NF= =5,即CD=10.
∵EF是梯形ABCD的中位线,
∴DC+AB=2EF,即10+AB=2×18=36.
∴AB=26.
故答案为:D.
【分析】由三角形的中位线定理可得:EM=CD,FN=CD,MN=(AB-CD);所以CD=2EM=2FN=EM+FN=EF-MN,则AB=2MN+CD=2MN+EF-MN=MN+EF。
7.【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】当B1、C1是AB、AC的中点时,B1C1= BC;
当B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点时,B1C1+B2C2= BC+ BC;
…
当B1,B2,C1,…,Cn分别是AB,AC的n等分点时,
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ BC= BC=7.5(n﹣1);
当n=10时,7.5(n﹣1)=67.5;
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5.
故答案为:C.
【分析】由三角形中位线定理可得B1C1= BC;当B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点时,B1C1+B2C2= BC+ BC;当B1,B2,C1,…,Cn分别是AB,AC的n等分点时,B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ n BC= BC=7.5(n﹣1);所以当n=10时,7.5(n﹣1)=67.5。
8.【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、G是AB和AC的中点,
∴EG= BC= ,
同理HF= BC= ,
EH=GF= AD= .
∴四边形EGFH的周长是:4× =4 。
故答案为:4 。
【分析】根据三角形中位线定理得出EG=HF= BC= ,EH=GF= AD=,进而根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
9.【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:连接FC,∵M、N分别是DC、DF的中点
∴MN=
∵AB=7,BE=5
且四ABCD,四EFGB是正方形
∴FC= =13
∴MN=
故答案为:.
【分析】连接FC,根据三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半得出MN=,在Rt△FCG中,根据勾股定理算出FC的长,从而即可得出答案。
10.【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:延长EC到M,使AE=EM,连接BM,如图,
∵D为AB中点 ,
∴AD=BD,
∴DE= BM,
∵ED平分△ABC的周长 ,
∴AE+AD=BD+BC+EC,
∴AE=BC+EC,
∴EM=BC+EC,
∴BC=CM=4,
在Rt△BCM中,由勾股定理得BM=4
∴DE=2
【分析】延长EC到M,使AE=EM,连接BM,根据三角形中位线平行且等于第三边的一半,可得DE= BM,由“ED平分△ABC的周长 ”可得CM=BC=4,利用勾股定理可得BM=4 从而可得DE=
11.【答案】解:取BE的中点G,连结DG.∵D,G分别是BC,BE的中点,∴DG是△BCE的中位线,∴DG∥AC,DG= CE.∴∠FAE=∠FDG,∠AEF=∠DGF.∵F是AD的中点,∴AF=DF.∴△AEF≌△DGF(AAS).∴AE=DG.∴AE= CE
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】取BE的中点G,连结DG.因为D是边BC上的中点,所以根据三角形的中位线定理可得DG∥AC,DG= CE,由平行线的性质可得∠FAE=∠FDG,∠AEF=∠DGF,因为F是AD的中点,所以AF=DF.用角角边可证△AEF≌△DGF,所以AE=DG.即AE= CE。
12.【答案】(1)解:在 ABCD中,∵AD=AC,AD⊥AC,∴AC=BC,AC⊥BC,连接CE,
∵E是AB的中点,∴AE=EC,CE⊥AB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ECF=∠EAD=135°,
∵ED⊥EF,∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED,
在△CEF和△AED中,∵∠CEF=∠AED,EC=AE,∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED,
∴ED=EF;
(2)解:由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,∵AD=AC,∴AC=CF,
∵DP∥AB,∴FP=PB,∴CP= AB=AE,∴四边形ACPE为平行四边形;
(3)解:垂直,理由:过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,
在△AME与△CNE中,∵∠M=∠FNE=90°,∠EAM=∠NCE=45°,AE=CE,
∴△AME≌△CNE,∴∠ADE=∠CFE,
在△ADE与△CFE中,∵∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE=135°,DE=EF,
∴△ADE≌△CFE,∴∠DEA=∠FEC,
∵∠DEA+∠DEC=90°,∴∠CEF+∠DEC=90°,∴∠DEF=90°,∴ED⊥EF.
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 由 ABCD的对称性及AD=AC,AD⊥AC,可得AC=BC,AC⊥BC;连接CE,由三线合一可得AE=EC,CE⊥AB,进而可由等腰直角三角形求得∠ACE=∠BCE=45°,从而可得∠ECF=∠EAD=135°,由同角的余角相等可得∠CEF=∠AED,从而可由ASA证得△CEF≌△AED,即可得ED=EF;(2) 由(1)中△CEF≌△AED及AD=AC,可得AC=CF,在平行四边形ABCD中有DP∥AB,即可由三角形中位线的逆定理证得CP= AB=AE,从而由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形ACPE为平行四边形; (3) 过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,利用AAS证得△AME≌△CNE,从而得到∠ADE=∠CFE,再利用AAS证的△ADE≌△CFE,从而得到∠DEA=∠FEC,再结合∠DEA+∠DEC=90°,可证得∠DEF=90°,即可证得ED⊥EF.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册4.5 三角形的中位线 强化提升训练
一、单选题
1.(2019八下·温州期中)如图是一块等腰三角形空地ABC,已知点D,E分别是边AB,AC的中点,量得AC=10米,AB=BC=6米,若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡,则需要篱笆的长是( )
A.22米 B.17米 C.14米 D.11米
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】由题意可知,点D,E分别是边AB,AC的中点,
,即
四边形BCED的周长
故答案为:B
【分析】利用三角形中位线定理求出DE的长,再利用线段中点的定义求出BD、CE的长,然后求出四边形BCDE的周长。
2.(2019·南充模拟)如图,在△ABC中,动点P在AB边上由点A向点B以3cml/s的速度匀速运动,则线段CP的中点Q运动的速度为( ).
A.3cm/s B.2cm/s C.1.5cm/s D.1cm/s
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:过点Q作QD∥BP交AB于D,
∵CQ=PQ,
∴CD=BD,
∴△DQ是△PBC的中位线,
∴DQ=
BP,
∵动点P的运动速度为2cm/s,运动时间相同,
∴线段CP的中点Q运动的速度为1.5cm/s.
故答案为:C
【分析】过点Q作QD∥BP交AB于D,根据三角形中位线定理可知点Q运动的路程是BP的一半,由于运动时间相同,可得线段CP的中点Q运动的速度是点P运动速度的一半.
3.如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,连接OA,点G,F分别为OC,OB的中点,BC=8,A0=6,则四边形DEFG的周长为( ).
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵D、G分别是CA和OC的中点,
∴OD是△AOC的中位线,
∴OD=OA=×6=3,
∵D、E分别是AC和AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=×8=4,
同理可得EF是△AOB的中位线,GF是△BOC的中位线,
∴EF=OA,GF=BC,
∴EF=DG=3,GF=DE=4,
∴四边形DEFG的周长为 :GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为;B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点,可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线,从而可得各边的长,则其周长可求.
4.(2018九上·襄汾期中)如图,在直角梯形ABCD中,P是下底BC边上一动点,点E、F、G分别为AB、PE、DP的中点,AB=AD=4,则FG的长为( )
A.2 B.2 C. D.2
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图,连接ED.
∵点E是AB的中点,AB=4,∴AE= AB=2.
又∵在直角梯形ABCD中,底边是BC,∴AD∥BC,且∠BAD=90°,∴∠EAD=90°,AE=2,AD=4,根据勾股定理知:ED= =2 .
∵F,G分别为PE,DP的中点,∴FG是△EDP的中位线,∴FG= ED= .
故答案为:C.
【分析】连接ED,先在Rt△ADE中求得线段ED的长,根据三角形的中位线定理可得FG=ED.
5.(2019八下·嵊州期末)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵□ABCD,
∴OB=OD,即点O是BD的中点,
∵ E是边CD的中,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE∥BC,
∴∠1=∠ACB;
∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-80°=40°
∴∠1=40°
故答案为:B
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分,可知点O是BD的中点,结合已知可证得OE是△BCD的中位线,利用中位线定理可证得OE∥BC,利用平行线的性质,可证∠1=∠ACB,然后利用三角形内角和为180°求出∠ACB的度数,即可求出∠1的度数。
6.(2018·苏州模拟)如图,在梯形 中, ,中位线 与对角线 交于 两点,若 cm, cm,则 的长等于( )
A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是梯形的中位线,
∴EF∥CD∥AB.
∴AM=CM,BN=DN.
∴EM是△ACD的中位线,NF是△BCD的中位线,
∴EM= CD,NF= CD.
∴EM=NF= =5,即CD=10.
∵EF是梯形ABCD的中位线,
∴DC+AB=2EF,即10+AB=2×18=36.
∴AB=26.
故答案为:D.
【分析】由三角形的中位线定理可得:EM=CD,FN=CD,MN=(AB-CD);所以CD=2EM=2FN=EM+FN=EF-MN,则AB=2MN+CD=2MN+EF-MN=MN+EF。
7.(2018·万全模拟)如图,在△ABC中,BC=15,B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB,AC的10等分点,则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是( )
A.45 B.55 C.67.5 D.135
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】当B1、C1是AB、AC的中点时,B1C1= BC;
当B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点时,B1C1+B2C2= BC+ BC;
…
当B1,B2,C1,…,Cn分别是AB,AC的n等分点时,
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ BC= BC=7.5(n﹣1);
当n=10时,7.5(n﹣1)=67.5;
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5.
故答案为:C.
【分析】由三角形中位线定理可得B1C1= BC;当B1,B2,C1,C2分别是AB,AC的三等分点时,B1C1+B2C2= BC+ BC;当B1,B2,C1,…,Cn分别是AB,AC的n等分点时,B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1= BC+ BC+…+ n BC= BC=7.5(n﹣1);所以当n=10时,7.5(n﹣1)=67.5。
二、填空题
8.(2019·沈阳)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,若AD=BC= ,则四边形EGFH的周长是 .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、G是AB和AC的中点,
∴EG= BC= ,
同理HF= BC= ,
EH=GF= AD= .
∴四边形EGFH的周长是:4× =4 。
故答案为:4 。
【分析】根据三角形中位线定理得出EG=HF= BC= ,EH=GF= AD=,进而根据四边形周长的计算方法即可算出答案。
9.(2019·扬州)如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN= .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:连接FC,∵M、N分别是DC、DF的中点
∴MN=
∵AB=7,BE=5
且四ABCD,四EFGB是正方形
∴FC= =13
∴MN=
故答案为:.
【分析】连接FC,根据三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半得出MN=,在Rt△FCG中,根据勾股定理算出FC的长,从而即可得出答案。
10.(2019八下·泰兴期中)Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,D为AB中点,点E在AC上,ED平分△ABC的周长,则ED= .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:延长EC到M,使AE=EM,连接BM,如图,
∵D为AB中点 ,
∴AD=BD,
∴DE= BM,
∵ED平分△ABC的周长 ,
∴AE+AD=BD+BC+EC,
∴AE=BC+EC,
∴EM=BC+EC,
∴BC=CM=4,
在Rt△BCM中,由勾股定理得BM=4
∴DE=2
【分析】延长EC到M,使AE=EM,连接BM,根据三角形中位线平行且等于第三边的一半,可得DE= BM,由“ED平分△ABC的周长 ”可得CM=BC=4,利用勾股定理可得BM=4 从而可得DE=
三、解答题
11.如图,在△ABC中,D是边BC上的中点,F是AD的中点,BF的延长线交AC于点E.求证:AE= CE.
【答案】解:取BE的中点G,连结DG.∵D,G分别是BC,BE的中点,∴DG是△BCE的中位线,∴DG∥AC,DG= CE.∴∠FAE=∠FDG,∠AEF=∠DGF.∵F是AD的中点,∴AF=DF.∴△AEF≌△DGF(AAS).∴AE=DG.∴AE= CE
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】取BE的中点G,连结DG.因为D是边BC上的中点,所以根据三角形的中位线定理可得DG∥AC,DG= CE,由平行线的性质可得∠FAE=∠FDG,∠AEF=∠DGF,因为F是AD的中点,所以AF=DF.用角角边可证△AEF≌△DGF,所以AE=DG.即AE= CE。
12.如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF;
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.
【答案】(1)解:在 ABCD中,∵AD=AC,AD⊥AC,∴AC=BC,AC⊥BC,连接CE,
∵E是AB的中点,∴AE=EC,CE⊥AB,∴∠ACE=∠BCE=45°,∴∠ECF=∠EAD=135°,
∵ED⊥EF,∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED,
在△CEF和△AED中,∵∠CEF=∠AED,EC=AE,∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED,
∴ED=EF;
(2)解:由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,∵AD=AC,∴AC=CF,
∵DP∥AB,∴FP=PB,∴CP= AB=AE,∴四边形ACPE为平行四边形;
(3)解:垂直,理由:过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,
在△AME与△CNE中,∵∠M=∠FNE=90°,∠EAM=∠NCE=45°,AE=CE,
∴△AME≌△CNE,∴∠ADE=∠CFE,
在△ADE与△CFE中,∵∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE=135°,DE=EF,
∴△ADE≌△CFE,∴∠DEA=∠FEC,
∵∠DEA+∠DEC=90°,∴∠CEF+∠DEC=90°,∴∠DEF=90°,∴ED⊥EF.
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1) 由 ABCD的对称性及AD=AC,AD⊥AC,可得AC=BC,AC⊥BC;连接CE,由三线合一可得AE=EC,CE⊥AB,进而可由等腰直角三角形求得∠ACE=∠BCE=45°,从而可得∠ECF=∠EAD=135°,由同角的余角相等可得∠CEF=∠AED,从而可由ASA证得△CEF≌△AED,即可得ED=EF;(2) 由(1)中△CEF≌△AED及AD=AC,可得AC=CF,在平行四边形ABCD中有DP∥AB,即可由三角形中位线的逆定理证得CP= AB=AE,从而由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形ACPE为平行四边形; (3) 过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,利用AAS证得△AME≌△CNE,从而得到∠ADE=∠CFE,再利用AAS证的△ADE≌△CFE,从而得到∠DEA=∠FEC,再结合∠DEA+∠DEC=90°,可证得∠DEF=90°,即可证得ED⊥EF.
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