初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角 强化提升训练
一、综合提升
1．（2019·永康模拟）如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．45° C．35° D．30°
2．（2019·下城模拟）如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若 ＝2 ＝2 ，则下外说法正确的是（ ）
A．AB＝ AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C
3．（2019·港南模拟）如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·武汉模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB= ，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2019·周至模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
6．（【广西专用】数学总复习中考押题模拟试卷 专题四 图形的性质）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC=80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连接PC，则∠APC的度数是 度(写出一个即可).
7．（2019·惠民模拟）如图，⊙O的直径AB=8，P为O0上任一点（不同于A、B两点），∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为 .
8．（2019·邹平模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为 ．
9．（2019·乐陵模拟）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， ， 是弧 的中点， 于 ，则 ．
如图2，△ 中， ， ， ， 是 上一点， ，作 交△ 的外接圆于 ，连接 ，则 = °．
10．（2018·龙港模拟）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．
11．（2017·大祥模拟）已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，动点P在⊙O2上，且在⊙1外，直线PA、PB分别交⊙O1于C、D，问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．
12．（2019·瓯海模拟）如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.
（1）求证：EC平分∠BED.
（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE.
二、中考演练
13．（2019·凉山）如图所示，AB是⊙O的直径，弦 于H， ，则⊙O的半径是 ．
14．（2019·辽阳）如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 .
15．（2019·聊城）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，连接 ， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（2019·赤峰）如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
17．（2019·陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
18．（2019·北京）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝20°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADC＝∠B＝70°，
∴∠DAC＝∠DCA＝55°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝∠B＝70°，从而求出∠BAC＝20°，由等边对等角∠DAC＝∠DCA，利用三角形内角和定理可得∠DAC＝∠DCA＝55°，从而求出∠BAD的度数.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，
同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∵BC为直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴ ，故A、B不符合题意；
3∠A＝135°，2∠C＝135°，
∴3∠A＝2∠C，C符合题意；
5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，
∴5∠A≠3∠C，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据弧，弦，圆心角的关系可得∠BOD=∠COE=∠DOE，从而求出∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OBD＝∠ODB＝67.5°，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∠A＝45°，根据圆周角定理可得∠AEB＝∠CEB＝90°，从而可得AB=AE，据此判断A、B；由∠A=45°，据此判断C、D.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ，
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】设AB的中点为O，由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB= ，AD=10，
∴BD= ，
∵AD是⊙E的直径，AD=10，
∴DE=5，
∴在Rt△BDE中，BE=
∵在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，
∴点H始终在⊙E上，且HE=5，
∴当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，此时BH最短=BE-HE=13-5=8.
【分析】如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，在Rt△BDE中，根据勾股定理算出BE的长，根据直径所对的圆周角是直角，由在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，得出点H始终在⊙E上，且HE=5，故当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，由BH最短=BE-HE即可算出答案。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝ .
故答案为：D.
【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，如图，根据垂径定理可得AC=BC=4，在Rt△AOC中，利用勾股定理可得（R﹣2）2+42＝R2，解方程求出R，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EC的长.
6．【答案】30(答案不唯一)
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC
∴∠ABC=80°÷2=40°
∵∠ABC＞∠APC
∴0°＜∠APC＜40°
故∠APC可以取30°
故答案为：30°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠APC的取值范围，即可得出∠APC的度数。
7．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，连接OC交EF于点D.
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
又∵PC平分∠APB
∴弧AC=弧BC
∴OC⊥EF ， AC=BC
∴ EF=2DE，∠BAC=∠ABC=45°
∴AC=BC=AB·sin∠BAC=4
又∵M、N分别是AC、BC的中点
∴ MN：AB=1：2 ， MN∥AB
∴△CMN∽△CAB
∴CD：OC=MN：AB=1：2
∴OD=CD=2
在Rt△OED中，DE=
∴ EF=2DE=.
故答案为：.
【分析】连接OE，OC.先根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由PC平分∠APB得弧AC=弧BC ，所以根据圆周角定理的推论得 AC=BC，从而∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC=AB·sin∠BAC=4；又根据垂径定理得OC⊥EF，从而得EF=2DE。再利用三角形的中位线定理证得△CMN∽△CAB及其相似比，从而求出OD的长，然后在在Rt△OED中利用勾股定理求出DE的长，从而得EF的长。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠EBC=∠FCD，
∵∠BCG+∠GCE=90°，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
∴∠BGC=90°，
∴点G在以BC为直径的圆上运动，
设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小，
DO=，
∴DG=DO-GO=DO-BC=.
故答案为：.
【分析】利用三角形全等的性质及三角形的内角和可求出∠BGC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直角可得点G在以BC为直径的圆上运动，设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小，利用勾股定理求出DO的长，由DG=DO-GO计算即可.
9．【答案】60
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
∵AB=8 BC=6 BD=1
∴AD=7 BD+BC=7
AD=BD+BC
∵ED⊥AB
点E为弧ABC的中点，弧AE=弧CE
∠AOE=∠COE
∠AOC=2∠ABC=120°
∠COE=120°
∠CAE=
【分析】根据圆心角和弧、弦的关系，可利用圆周角定理得出度数。
10．【答案】证明：
方法（一）
证明：∵AB、CD是⊙O的直径，
∴弧CFD=弧AEB．
∵FD=EB，
∴弧FD=弧EB．
∴弧CFD-弧FD=弧AEB-弧EB．
即弧FC=弧AE．
∴∠D=∠B．
方法（二）
证明：如图，连接CF，AE．
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵AB=CD，DF=BE，
∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．
∴∠D=∠B．
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】方法（一）根据等弦所对的优弧与优弧相等，所对的劣弧与劣弧相等即可得出 ∴弧CFD=弧AEB， 弧FD=弧EB，根据等式的性质即可得出 即弧FC=弧AE，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠D=∠B ；
方法(二） 如图，连接CF，AE． 根据直径所对的圆周角都是直角得出 ∠F=∠E=90° ，然后由HL判断出 Rt△DFC≌Rt△BEA ，根据全等三角形对应角相等即可得出结论 ∠D=∠B．
11．【答案】解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，
证明：如图，连接AD，
∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，
∴∠ADP为定值，
∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，
∴∠P为定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD为定值，
∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，
∴CD的长与点P的位置无关．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．
12．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEB＝90°.
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝45°.
∴∠BEC＝∠DEC，
即EC平分∠BEC；
（2）解：连结BC，OE，
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，
在△BEC与△DEC中， ，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠CBE＝∠CDE.
∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE.
∴∠AOE＝∠COE，
∴AE＝CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得
∠AEB＝∠DEB=90°，由垂径定理可得弧AC=弧BC，所以∠BEC=∠DEC=45°，根据角平分线的定义可知，EC平分∠BEC；
（2） 连结BC，OE， 由题意用边角边易证 △BEC≌△DEC， 所以 ∠CBE＝∠CDE. 由同角的余角相等可得∠CDE=∠ABE，所以可得∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得弧AE=弧CE，所以AE=CE。
13．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦 于H，
，
，
在 中， ，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2
【分析】连接BC，如图所示，根据圆周角定理及垂径定理，可得∠ACB=90°，CH=DH=CD=，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=2CH=2，由直角三角形的性质得出AC=BC=2，AB=2BC，从而BC=2，AB=4，即可求出半径的长.
14．【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为：60°。
【分析】连接 .根据等弧所对的圆心角相等得出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，然后根据三角形的外角定理，由即可算出答案。
15．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C．
【分析】连接DC，根据直径所对的圆周角为90°得到∠BDC=90°，从而根据直角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠ECD，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠DOE。
16．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质，得到∠AOC的度数，根据题意得到弧AC=弧BC，根据弧与圆周角以及圆心角的关系得到答案即可。
17．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝ ∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故答案为：B。
【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝ ∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。
18．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项不符合题意；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项不符合题意；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN= ∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意中作图可知，CM=CD=DN，根据圆周角定理，圆心角定理进行判断。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角 强化提升训练
一、综合提升
1．（2019·永康模拟）如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．45° C．35° D．30°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝20°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADC＝∠B＝70°，
∴∠DAC＝∠DCA＝55°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝∠B＝70°，从而求出∠BAC＝20°，由等边对等角∠DAC＝∠DCA，利用三角形内角和定理可得∠DAC＝∠DCA＝55°，从而求出∠BAD的度数.
2．（2019·下城模拟）如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若 ＝2 ＝2 ，则下外说法正确的是（ ）
A．AB＝ AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，
同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∵BC为直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴ ，故A、B不符合题意；
3∠A＝135°，2∠C＝135°，
∴3∠A＝2∠C，C符合题意；
5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，
∴5∠A≠3∠C，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据弧，弦，圆心角的关系可得∠BOD=∠COE=∠DOE，从而求出∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OBD＝∠ODB＝67.5°，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∠A＝45°，根据圆周角定理可得∠AEB＝∠CEB＝90°，从而可得AB=AE，据此判断A、B；由∠A=45°，据此判断C、D.
3．（2019·港南模拟）如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ，
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】设AB的中点为O，由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
4．（2019·武汉模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB= ，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB= ，AD=10，
∴BD= ，
∵AD是⊙E的直径，AD=10，
∴DE=5，
∴在Rt△BDE中，BE=
∵在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，
∴点H始终在⊙E上，且HE=5，
∴当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，此时BH最短=BE-HE=13-5=8.
【分析】如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，在Rt△BDE中，根据勾股定理算出BE的长，根据直径所对的圆周角是直角，由在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，得出点H始终在⊙E上，且HE=5，故当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，由BH最短=BE-HE即可算出答案。
5．（2019·周至模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝ .
故答案为：D.
【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，如图，根据垂径定理可得AC=BC=4，在Rt△AOC中，利用勾股定理可得（R﹣2）2+42＝R2，解方程求出R，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EC的长.
6．（【广西专用】数学总复习中考押题模拟试卷 专题四 图形的性质）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC=80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连接PC，则∠APC的度数是 度(写出一个即可).
【答案】30(答案不唯一)
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC
∴∠AOC=2∠ABC
∴∠ABC=80°÷2=40°
∵∠ABC＞∠APC
∴0°＜∠APC＜40°
故∠APC可以取30°
故答案为：30°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠APC的取值范围，即可得出∠APC的度数。
7．（2019·惠民模拟）如图，⊙O的直径AB=8，P为O0上任一点（不同于A、B两点），∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，连接OC交EF于点D.
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
又∵PC平分∠APB
∴弧AC=弧BC
∴OC⊥EF ， AC=BC
∴ EF=2DE，∠BAC=∠ABC=45°
∴AC=BC=AB·sin∠BAC=4
又∵M、N分别是AC、BC的中点
∴ MN：AB=1：2 ， MN∥AB
∴△CMN∽△CAB
∴CD：OC=MN：AB=1：2
∴OD=CD=2
在Rt△OED中，DE=
∴ EF=2DE=.
故答案为：.
【分析】连接OE，OC.先根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由PC平分∠APB得弧AC=弧BC ，所以根据圆周角定理的推论得 AC=BC，从而∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC=AB·sin∠BAC=4；又根据垂径定理得OC⊥EF，从而得EF=2DE。再利用三角形的中位线定理证得△CMN∽△CAB及其相似比，从而求出OD的长，然后在在Rt△OED中利用勾股定理求出DE的长，从而得EF的长。
8．（2019·邹平模拟）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠EBC=∠FCD，
∵∠BCG+∠GCE=90°，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
∴∠BGC=90°，
∴点G在以BC为直径的圆上运动，
设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小，
DO=，
∴DG=DO-GO=DO-BC=.
故答案为：.
【分析】利用三角形全等的性质及三角形的内角和可求出∠BGC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直角可得点G在以BC为直径的圆上运动，设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小，利用勾股定理求出DO的长，由DG=DO-GO计算即可.
9．（2019·乐陵模拟）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， ， 是弧 的中点， 于 ，则 ．
如图2，△ 中， ， ， ， 是 上一点， ，作 交△ 的外接圆于 ，连接 ，则 = °．
【答案】60
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
∵AB=8 BC=6 BD=1
∴AD=7 BD+BC=7
AD=BD+BC
∵ED⊥AB
点E为弧ABC的中点，弧AE=弧CE
∠AOE=∠COE
∠AOC=2∠ABC=120°
∠COE=120°
∠CAE=
【分析】根据圆心角和弧、弦的关系，可利用圆周角定理得出度数。
10．（2018·龙港模拟）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．
【答案】证明：
方法（一）
证明：∵AB、CD是⊙O的直径，
∴弧CFD=弧AEB．
∵FD=EB，
∴弧FD=弧EB．
∴弧CFD-弧FD=弧AEB-弧EB．
即弧FC=弧AE．
∴∠D=∠B．
方法（二）
证明：如图，连接CF，AE．
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵AB=CD，DF=BE，
∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．
∴∠D=∠B．
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】方法（一）根据等弦所对的优弧与优弧相等，所对的劣弧与劣弧相等即可得出 ∴弧CFD=弧AEB， 弧FD=弧EB，根据等式的性质即可得出 即弧FC=弧AE，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠D=∠B ；
方法(二） 如图，连接CF，AE． 根据直径所对的圆周角都是直角得出 ∠F=∠E=90° ，然后由HL判断出 Rt△DFC≌Rt△BEA ，根据全等三角形对应角相等即可得出结论 ∠D=∠B．
11．（2017·大祥模拟）已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，动点P在⊙O2上，且在⊙1外，直线PA、PB分别交⊙O1于C、D，问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．
【答案】解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，
证明：如图，连接AD，
∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，
∴∠ADP为定值，
∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，
∴∠P为定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD为定值，
∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，
∴CD的长与点P的位置无关．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．
12．（2019·瓯海模拟）如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.
（1）求证：EC平分∠BED.
（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE.
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEB＝90°.
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝45°.
∴∠BEC＝∠DEC，
即EC平分∠BEC；
（2）解：连结BC，OE，
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，
在△BEC与△DEC中， ，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠CBE＝∠CDE.
∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE.
∴∠AOE＝∠COE，
∴AE＝CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得
∠AEB＝∠DEB=90°，由垂径定理可得弧AC=弧BC，所以∠BEC=∠DEC=45°，根据角平分线的定义可知，EC平分∠BEC；
（2） 连结BC，OE， 由题意用边角边易证 △BEC≌△DEC， 所以 ∠CBE＝∠CDE. 由同角的余角相等可得∠CDE=∠ABE，所以可得∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得弧AE=弧CE，所以AE=CE。
二、中考演练
13．（2019·凉山）如图所示，AB是⊙O的直径，弦 于H， ，则⊙O的半径是 ．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦 于H，
，
，
在 中， ，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2
【分析】连接BC，如图所示，根据圆周角定理及垂径定理，可得∠ACB=90°，CH=DH=CD=，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=2CH=2，由直角三角形的性质得出AC=BC=2，AB=2BC，从而BC=2，AB=4，即可求出半径的长.
14．（2019·辽阳）如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 .
【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为：60°。
【分析】连接 .根据等弧所对的圆心角相等得出，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，然后根据三角形的外角定理，由即可算出答案。
15．（2019·聊城）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，连接 ， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C．
【分析】连接DC，根据直径所对的圆周角为90°得到∠BDC=90°，从而根据直角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠ECD，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠DOE。
16．（2019·赤峰）如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质，得到∠AOC的度数，根据题意得到弧AC=弧BC，根据弧与圆周角以及圆心角的关系得到答案即可。
17．（2019·陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝ ∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故答案为：B。
【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝ ∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。
18．（2019·北京）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项不符合题意；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项不符合题意；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN= ∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意中作图可知，CM=CD=DN，根据圆周角定理，圆心角定理进行判断。
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