初中数学浙教版七年级上册6.7 角的和差 强化提升训练
一、单选题
1．（2019七上·防城港期末）如图，OC为 内一条直线，下列条件中不能确定OC平分 的是
A． B．
C． D．
2．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（ ）
A．240° B．360° C．480° D．540°
3．（2019·北部湾模拟）如图，用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A．120° B．85° C．135° D．165°
4．（2018七上·卢龙期中）中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
5．过∠AOB的顶点作射线OC，下列条件中：①∠AOC=BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=2∠BOC；④∠AOC+∠BOC=∠AOB．其中能判断射线OC为∠AOB的平分线的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD（不包括∠FCD）相等的角有（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知α，β是两个钝角，计算 (α+β)的值，甲，乙，丙，丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）
A．86° B．76° C．48° D．24°
8．（2019七上·黔南期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD， ∠AOC=30°时，∠BOD度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°
二、填空题
9．（2019七上·东阳期末）如图，在正方形网格中，点O、A、B、C、D均是格点.若OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为 °.
10．（2018七上·重庆月考）如图， ： ： ：7：4，OM平分 ， ，则 的度数为 度
11．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF=58°，线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 ．
12．如图，∠AOB=150°，射线OC与射线OA重合，现在把射线OC绕O点顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），若OD平分∠AOC，且∠AOD与∠BOC互余，则角度α的值为 ．
13．（2019七上·凤山期末）已知一条射线OA，在同一平面内从点O再作两条射线OB和OC，使∠AOB=80°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数是 ．
三、解答题
14．（2019七上·椒江期末）如图，射线OA、OC在射线OB的异侧且∠BOC = 2∠AOB (∠AOB＜60°)，射线OD平分∠AOC，请探求∠BOD与∠AOB的数量关系.
15．（2019七上·静宁期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，求∠DOE的度数．
16．（2019七上·西湖期末）如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC是∠AOB的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:
（1）过点P作射线PQ,若射线PQ是∠MPN的“奇分线”,求∠MPQ；
（2）若射线PE绕点P从PN位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为 (秒).当 为何值时,射线PN是∠EPM的“奇分线”
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意；
B、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意；
C、∠AOC+∠COB=∠AOB，不能确定OC平分∠AOB，故符合题意；
D、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的数学语言，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠BOC或∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，从而即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故答案为：C．
【分析】这道题的重点理解好每次顺时针旋转转动的角度，三次角度相加即可。
3．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、120°＝90°+30°，故不符合题意；
B、85°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故符合题意；
C、135°＝90°+45°，故不符合题意；
D、165°＝90°+45°+30°，故不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据学具的性质，三角形板的各个内角的度数分别为：90°，60°，30°，45°，根据角的和差一一判断各个答案所给的度数，是否是这些度数的和差即可。
4．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30度即可得到结果.
中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，首先计算分针从12到3经过的角的度数，再计算时针经过15分钟转动的角的度数，计算得到结果即可。
5．【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：①.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOC=BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故①不符合题意；
②.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠AOC；但OC不是∠AOB的平分线，故②不符合题意；
③.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故③不符合题意；
④.当射线OC在∠AOB内部时，符合∠AOC+∠BOC=∠AOB；但OC不是∠AOB的平分线，故④不符合题意；
故答案为：A.
【分析】角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角；由此逐一分析即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如下图，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE=∠ABF=∠CDF=90°，
∵∠1=∠F=45°，
∴∠FCD=180°-90°-45°=45°，∠A=180°-90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠F=∠1=∠A=∠2=45°，即和∠FCD相等的角有4个.
故答案为：D.
【分析】根据角的运算可得出与∠FCD相等的角。
7．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵α和β是两个钝角
∴α+β在180°和360°之间
∴（α+β）在30°和60°之间。
故答案为：C。
【分析】根据两个角为钝角，可以求得他们两个角的和的范围，即可求得（α+β）的范围。
8．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，
∴∠DOC=90°，
∵∠AOC=30 ，
∴∠BOD=180 ∠COD ∠AOC=60
②如图2，当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30 ，
∴∠AOD=60 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=120 .
综上所述， ∠BOD度数为 60°或120°
故答案为：D.
【分析】由于此题没有图形，故需要分OC、OD在AB的一旁时与OC、OD在AB的两旁时，两种情况分别根据垂直的定义及角的和差、平角的定义即可算出答案。
9．【答案】22.5
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：由图可知∠AOC=45°,∠BOC=135°,
∵OE平分∠BOC，,
∴∠BOE=∠COE=67.5°,
∵∠BOD=90°,
∴∠DOE=22.5°.
【分析】 由网格图的特征可知∠AOC=45°,则∠BOC=180°-∠AOC，然后根据角平分线的性质可求得∠BOE= ∠BOC，则∠DOE=∠BOD-∠BOE可求解。
10．【答案】36
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意可设 ， ， ，
，
平分 ，
，
由题意得， ，
解得， ，
， ，
.
故答案为：36.
【分析】根据三个角的度数之比，设∠AOB=3x，∠BOC=7x，∠COD=4x，则∠AOD=14x；利用角平分线的定义可证∠AOD=2∠AOM=2∠DOM，可以用含x的代数式表示出∠DOM，∠AOM，由∠DOM-∠COD=∠COM=27°，建立方程求出x的值，就可求出∠AOM，∠AOB的度数；然后根据∠BOM=∠AOM-∠AOB，代入计算可求解。
11．【答案】119°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当∠AOB=180°时，∠MON最大，
∵∠EOF=58°，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOB ∠EOF=180° 58°=122°，
∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，
∴∠MOE=∠AOE，∠FON=∠BOF，
∴∠MOE+∠FON=(∠AOE+∠BOF)=×122°=61°，
∴∠MON=∠MOE+∠EOF+∠FON=58°+61°=119°
即∠MON的最大值是119°.
故答案为：119°.
【分析】根据题意可知∠EOF是定值，再利用角平分线的定义，可推出∠MOE+∠FON=(∠AOE+∠BOF)，要使∠MON的值最大，因此∠AOB=180°，就可求出∠AOE+∠BOF，从而可求出∠MON的最大值。
12．【答案】120°或160°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
∵OD平分∠AOC，∠AOC=α，
∴∠AOD=α，
分两种情况讨论：
当OC旋转到∠AOB内时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°-α
∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD+∠BOC=90°
α+(150° α)=90°
解之：α=120°
当OC旋转到∠AOB外时，
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=α-150°
∴α+(α 150°)=90°，
解之：α=160°.
故答案为：120°或160°
【分析】利用角平分线的定义用含α的代数式表示出∠AOD，再根据OC与∠AOB的位置关系，求出∠BOC，然后根据∠AOD+∠BOC=90°，建立关于α的方程，求解即可。
13．【答案】110°或50°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图一：
∵ ∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴ ∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-30°=50°；
②如图二：
∵ ∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°；
综上所述： ∠AOC的度数为50°或110°.
故答案为：50°或110°.
【分析】根据题意分情况画出图形，结合图形计算即可得出答案.
14．【答案】 解： ∠AOB=2∠BOD；理由如下：
∵OD平分 ∠AOC，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠BOC=∠COD+∠BOD，
∠AOB=∠AOD-∠BOD，∠BOC = 2∠AOB，
∴∠COD+∠BOD=2（∠AOD-∠BOD），
即∠AOD+∠BOD=2∠AOD-2∠BOD，
∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=3∠BOD-∠BOD=2∠BOD.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据角平分线得∠COD=∠AOD，再根据角的运算可得∠COD+∠BOD=2（∠AOD-∠BOD），即∠AOD=3∠BOD，由∠AOB=∠AOD-∠BOD计算即可得∠AOB=2∠BOD.
15．【答案】解：∵∠2＝2∠1，
∴∠1＝ ∠2.
∵∠3＝3∠2，
∴∠1＋∠2＋∠3＝ ∠2＋∠2＋3∠2＝180°，
解得∠2＝40°，
∴∠3＝3∠2＝120°.
∵∠3＋∠COE＝180°，
∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠DOE＝∠3＝120°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由已知条件可将∠1用含∠2的代数式表示，再根据∠1+∠2+∠3=
可求得∠2的度数；于是∠3的度数可求解，最后由
∠DOE =∠COF=∠3即可求解。
16．【答案】（1）解：如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ是∠MPN的3等分线时，
∴∠MPQ= ∠MPN= ×42°=14°
或∠MPQ= ∠MPN= ×42°=28°
∵当PQ是∠MPN的4等分线时，
∴∠MPQ= ∠MPN== ×42°=10.5°
或∠MPQ= ∠MPN= ×42°=31.5°；
∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°
（2）解：依题意有①当3×8t=42时，解得t= ；
②当2×8t=42时，解得t= ；
③当8t=2×42时，解得t= .
④当8t=3×42时，解得：t= ，
故当t为 或 或 或 时，射线PN是∠EPM的“奇分线”
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）由题意可知分3种情况讨论，然后根据“奇分线”的定义计算即可求解；
（2）由题意可知分4种情况讨论，然后根据“奇分线”的定义列方程即可求解。
1 / 1初中数学浙教版七年级上册6.7 角的和差 强化提升训练
一、单选题
1．（2019七上·防城港期末）如图，OC为 内一条直线，下列条件中不能确定OC平分 的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意；
B、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意；
C、∠AOC+∠COB=∠AOB，不能确定OC平分∠AOB，故符合题意；
D、能确定OC平分∠AOB，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的数学语言，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠BOC或∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，从而即可一一判断得出答案。
2．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（ ）
A．240° B．360° C．480° D．540°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故答案为：C．
【分析】这道题的重点理解好每次顺时针旋转转动的角度，三次角度相加即可。
3．（2019·北部湾模拟）如图，用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A．120° B．85° C．135° D．165°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、120°＝90°+30°，故不符合题意；
B、85°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故符合题意；
C、135°＝90°+45°，故不符合题意；
D、165°＝90°+45°+30°，故不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据学具的性质，三角形板的各个内角的度数分别为：90°，60°，30°，45°，根据角的和差一一判断各个答案所给的度数，是否是这些度数的和差即可。
4．（2018七上·卢龙期中）中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30度即可得到结果.
中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是 ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，首先计算分针从12到3经过的角的度数，再计算时针经过15分钟转动的角的度数，计算得到结果即可。
5．过∠AOB的顶点作射线OC，下列条件中：①∠AOC=BOC；②∠AOB=2∠AOC；③∠AOB=2∠BOC；④∠AOC+∠BOC=∠AOB．其中能判断射线OC为∠AOB的平分线的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：①.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOC=BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故①不符合题意；
②.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠AOC；但OC不是∠AOB的平分线，故②不符合题意；
③.当射线OC在∠AOB外部时，符合∠AOB=2∠BOC；但OC不是∠AOB的平分线，故③不符合题意；
④.当射线OC在∠AOB内部时，符合∠AOC+∠BOC=∠AOB；但OC不是∠AOB的平分线，故④不符合题意；
故答案为：A.
【分析】角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角；由此逐一分析即可得出答案.
6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD（不包括∠FCD）相等的角有（ ）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如下图，
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE=∠ABF=∠CDF=90°，
∵∠1=∠F=45°，
∴∠FCD=180°-90°-45°=45°，∠A=180°-90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠F=∠1=∠A=∠2=45°，即和∠FCD相等的角有4个.
故答案为：D.
【分析】根据角的运算可得出与∠FCD相等的角。
7．已知α，β是两个钝角，计算 (α+β)的值，甲，乙，丙，丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）
A．86° B．76° C．48° D．24°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵α和β是两个钝角
∴α+β在180°和360°之间
∴（α+β）在30°和60°之间。
故答案为：C。
【分析】根据两个角为钝角，可以求得他们两个角的和的范围，即可求得（α+β）的范围。
8．（2019七上·黔南期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD， ∠AOC=30°时，∠BOD度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，
∴∠DOC=90°，
∵∠AOC=30 ，
∴∠BOD=180 ∠COD ∠AOC=60
②如图2，当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30 ，
∴∠AOD=60 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=120 .
综上所述， ∠BOD度数为 60°或120°
故答案为：D.
【分析】由于此题没有图形，故需要分OC、OD在AB的一旁时与OC、OD在AB的两旁时，两种情况分别根据垂直的定义及角的和差、平角的定义即可算出答案。
二、填空题
9．（2019七上·东阳期末）如图，在正方形网格中，点O、A、B、C、D均是格点.若OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为 °.
【答案】22.5
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：由图可知∠AOC=45°,∠BOC=135°,
∵OE平分∠BOC，,
∴∠BOE=∠COE=67.5°,
∵∠BOD=90°,
∴∠DOE=22.5°.
【分析】 由网格图的特征可知∠AOC=45°,则∠BOC=180°-∠AOC，然后根据角平分线的性质可求得∠BOE= ∠BOC，则∠DOE=∠BOD-∠BOE可求解。
10．（2018七上·重庆月考）如图， ： ： ：7：4，OM平分 ， ，则 的度数为 度
【答案】36
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意可设 ， ， ，
，
平分 ，
，
由题意得， ，
解得， ，
， ，
.
故答案为：36.
【分析】根据三个角的度数之比，设∠AOB=3x，∠BOC=7x，∠COD=4x，则∠AOD=14x；利用角平分线的定义可证∠AOD=2∠AOM=2∠DOM，可以用含x的代数式表示出∠DOM，∠AOM，由∠DOM-∠COD=∠COM=27°，建立方程求出x的值，就可求出∠AOM，∠AOB的度数；然后根据∠BOM=∠AOM-∠AOB，代入计算可求解。
11．如图，线段OA绕点O逆时针旋转一周，满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF=58°，线段OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，在旋转过程中，∠MON的最大值是 ．
【答案】119°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当∠AOB=180°时，∠MON最大，
∵∠EOF=58°，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOB ∠EOF=180° 58°=122°，
∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，
∴∠MOE=∠AOE，∠FON=∠BOF，
∴∠MOE+∠FON=(∠AOE+∠BOF)=×122°=61°，
∴∠MON=∠MOE+∠EOF+∠FON=58°+61°=119°
即∠MON的最大值是119°.
故答案为：119°.
【分析】根据题意可知∠EOF是定值，再利用角平分线的定义，可推出∠MOE+∠FON=(∠AOE+∠BOF)，要使∠MON的值最大，因此∠AOB=180°，就可求出∠AOE+∠BOF，从而可求出∠MON的最大值。
12．如图，∠AOB=150°，射线OC与射线OA重合，现在把射线OC绕O点顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），若OD平分∠AOC，且∠AOD与∠BOC互余，则角度α的值为 ．
【答案】120°或160°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
∵OD平分∠AOC，∠AOC=α，
∴∠AOD=α，
分两种情况讨论：
当OC旋转到∠AOB内时，
∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°-α
∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD+∠BOC=90°
α+(150° α)=90°
解之：α=120°
当OC旋转到∠AOB外时，
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=α-150°
∴α+(α 150°)=90°，
解之：α=160°.
故答案为：120°或160°
【分析】利用角平分线的定义用含α的代数式表示出∠AOD，再根据OC与∠AOB的位置关系，求出∠BOC，然后根据∠AOD+∠BOC=90°，建立关于α的方程，求解即可。
13．（2019七上·凤山期末）已知一条射线OA，在同一平面内从点O再作两条射线OB和OC，使∠AOB=80°，∠BOC=30°，则∠AOC的度数是 ．
【答案】110°或50°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图一：
∵ ∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴ ∠AOC=∠AOB-∠BOC=80°-30°=50°；
②如图二：
∵ ∠AOB=80°，∠BOC=30°，
∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°；
综上所述： ∠AOC的度数为50°或110°.
故答案为：50°或110°.
【分析】根据题意分情况画出图形，结合图形计算即可得出答案.
三、解答题
14．（2019七上·椒江期末）如图，射线OA、OC在射线OB的异侧且∠BOC = 2∠AOB (∠AOB＜60°)，射线OD平分∠AOC，请探求∠BOD与∠AOB的数量关系.
【答案】 解： ∠AOB=2∠BOD；理由如下：
∵OD平分 ∠AOC，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠BOC=∠COD+∠BOD，
∠AOB=∠AOD-∠BOD，∠BOC = 2∠AOB，
∴∠COD+∠BOD=2（∠AOD-∠BOD），
即∠AOD+∠BOD=2∠AOD-2∠BOD，
∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=3∠BOD-∠BOD=2∠BOD.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据角平分线得∠COD=∠AOD，再根据角的运算可得∠COD+∠BOD=2（∠AOD-∠BOD），即∠AOD=3∠BOD，由∠AOB=∠AOD-∠BOD计算即可得∠AOB=2∠BOD.
15．（2019七上·静宁期末）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，求∠DOE的度数．
【答案】解：∵∠2＝2∠1，
∴∠1＝ ∠2.
∵∠3＝3∠2，
∴∠1＋∠2＋∠3＝ ∠2＋∠2＋3∠2＝180°，
解得∠2＝40°，
∴∠3＝3∠2＝120°.
∵∠3＋∠COE＝180°，
∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠DOE＝∠3＝120°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由已知条件可将∠1用含∠2的代数式表示，再根据∠1+∠2+∠3=
可求得∠2的度数；于是∠3的度数可求解，最后由
∠DOE =∠COF=∠3即可求解。
16．（2019七上·西湖期末）如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍,则称射线OC是∠AOB的“奇分线”，如图2,∠MPN=42°:
（1）过点P作射线PQ,若射线PQ是∠MPN的“奇分线”,求∠MPQ；
（2）若射线PE绕点P从PN位置开始,以每秒8°的速度顺时针旋转,当∠EPN首次等于180°时停止旋转,设旋转的时间为 (秒).当 为何值时,射线PN是∠EPM的“奇分线”
【答案】（1）解：如图1，∵∠MPN=42°，
∵当PQ是∠MPN的3等分线时，
∴∠MPQ= ∠MPN= ×42°=14°
或∠MPQ= ∠MPN= ×42°=28°
∵当PQ是∠MPN的4等分线时，
∴∠MPQ= ∠MPN== ×42°=10.5°
或∠MPQ= ∠MPN= ×42°=31.5°；
∠MPQ=10.5°或14°或28°或31.5°
（2）解：依题意有①当3×8t=42时，解得t= ；
②当2×8t=42时，解得t= ；
③当8t=2×42时，解得t= .
④当8t=3×42时，解得：t= ，
故当t为 或 或 或 时，射线PN是∠EPM的“奇分线”
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）由题意可知分3种情况讨论，然后根据“奇分线”的定义计算即可求解；
（2）由题意可知分4种情况讨论，然后根据“奇分线”的定义列方程即可求解。
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