初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·南关模拟）如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB sinα=9sin31°（米）.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的定义，由AC=AB sinα即可算出答案。
2．（2019·徐汇模拟）若斜坡的坡比为1： ，则斜坡的坡角等于( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．若斜坡的坡比为1： ，坡角的正切值= ，
所以坡角等于60 .
故答案为：D.
【分析】知道坡比的定义，即坡面的垂直高度和水平宽度的比值，正好是坡角的正切函数值。已知坡比为，即坡角的正切函数值为，根据特殊角的三角函数值，即而求出坡角。
3．（2019·松北模拟）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，则坡面AC的长度为（ ）m．
A．10 B．8 C．6 D．6
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，
∴sinC＝ ＝ ，
则 ＝ ，
解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，根据∠ACB的正弦值解直角三角形即可得到AC的长度。
4．（2019·哈尔滨模拟）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B． C．5sinα D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB＝ ＝
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠CBA＝∠α，则在Rt△ABC中可得AB＝ ＝
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴ = ，即 = ，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF= =4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为 = =3，
故答案为：B．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ACF，于是可得比例式求得CF的值；Rt△ACF中，用勾股定理可求得AF的值，所以石坝的坡度=，代入计算即可求解。
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是 （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C． m D． m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，BC=3米，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA=3 米，
∴AB= =6米．
故答案为：B．
【分析】利用坡比可求出AC的值，再由勾股定理即可求出AB的值.
7．（2019·港南模拟）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是 cm.
【答案】270
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，BH⊥AC，
则BH=18×4=72，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴CH=72×5=360，
∴AC=360-30×3=270（cm），
故答案为：270.
【分析】根据已知每级台阶高为18cm，宽为30cm，就可求出BH，HA的长，再利用坡度的定义，就可求出CH的长，然后根据AC=HC-HA，求出AC的长。
8．（2019·光明模拟）如图，一山坡的坡度为i＝1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得tan∠A＝ ＝ ＝ ，
所以∠A＝30°，
所以BC＝ AB＝ ×200＝100（m）．
故答案为：100．
【分析】坡比等于坡角的正切值，故由题意可求得∠A的度数，继而可求得BC长。
9．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°，则调整后楼梯AD的长为 m．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
AB=6m，∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴AC=AB sin∠ABC= m，
又∵∠ADC=30°，∠ACD=90°，
∴AD=2AC=6 m．
故答案为：6 m
【分析】根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AC=AB sin∠ABC即可算出AC的长，再根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD的长。
10．（2019·潍坊模拟）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 米，坡度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡度为 ．求斜坡 的长．（结果保留根号）
【答案】解：∵ ， ，坡度为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
即 ，
解得， ，
∴ 米，
答：斜坡 的长是 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据坡度值可得tan∠ABE=，可得∠ABE=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=AB=100，从而求出CE的长.利用斜坡CD的坡度可求出ED的长，利用勾股定理求出CD的长即可.
11．（2019·天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为 ，文化墙 在天桥底部正前方8米处( 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .(参考数据： ， )
（1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 是否需要拆除？请说明理由.
【答案】（1）解：∵新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ，
∴ ，
∴
（2）解：该文化墙 不需要拆除，
理由：作 于点 ，
则 米，
∵新坡面的坡度为 ，
∴ ，
解得， 米，
∵坡面 的坡度为 ， 米，
∴ 米，
∴ 米，
又∵ 米，
∴ 米 米，
∴该文化墙 不需要拆除.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度的概念及特殊锐角三角函数值即可算出 ；
（2） 该文化墙 不需要拆除， 理由如下：作 于点 ， 根据坡度的概念即可算出AD的长，BD的长，进而根据AB=AD-BD算出AB的长， 最后利用PA=PB-AB算出PA的长，再与3比大小即可得出结论。
12．（2019九下·萧山开学考）Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1：3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
【答案】（1） 解： 作BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在Rt△ABF中，
∵sinα==，
∴BF=ABsinα=650×=250（米），
答： Jack从点A到点C上升的高度CD是250米 .
（2）解：作BE⊥CD，∴∠BEC=90°，在Rt△CBE中，∵CE：BE=1：3，BC=500，设CE=x，则BE=3x，∴CE2+BE2=BC2，即x2+9x2=5002，解得：x=50，∴CE=50，得CD=CE+DE=CE+BF=50+250（米）.答： Jack从点A到点C上升的高度CD是50+250米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥AD，在Rt△ABF中，根据正弦定义可求得BF长.
（2） 作BE⊥CD，在Rt△CBE中，由CE：BE=1：3，设CE=x，则BE=3x，根据勾股定理求得CE=50，由CD=CE+DE=CE+BF即可求得答案.
13．（2019·花都模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．
（1）求支架BF的长；
（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈ ，tan32°≈ ，tan40°≈ ）
【答案】（1）解：∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，
∴tan∠OAB＝ ＝tan32°，
∵AB＝2m，
∴ ≈ ，
∴OB＝1.24m，
∵⊙O的半径为0.2m，
∴BF＝1.04m.
（2）解：∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，
∴∠OAD＝50°，
∵∠OAC＝32°
∴∠CAD＝18°，
∴AB的坡度为tan18°＝ .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）由
AO与屋面AB的夹角为32°，BF⊥AB，在Rt△ABO中，利用tan∠OAB可求出OB，继而可求出BF长；
（2）由
∠AOD＝40°，OD⊥AD可求得∠OAD＝50°，再根据∠OAC＝32°求得∠CAD，由坡度等于坡角的正切值即可求的AB的坡度。
14．（2019九上·婺城期末）如图，为测量瀑布AB的高度，测量人员在瀑布对面山上的D点处测得瀑布顶端A点的仰角是 ，测得瀑布底端B点的俯角是 ，AB与水平面垂直 又在瀑布下的水平面测得 ， 注：C、G、F三点在同一直线上， 于点 ，斜坡 ，坡角 (参考数据： ， ， ， ， ， ， )
（1）求测量点D距瀑布AB的距离 精确到 ；
（2）求瀑布AB的高度 精确到
【答案】（1）解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N.
在Rt△DCN中，CN＝CD cos40°＝20.0×0.77＝15.4（米），
∵CF＝CG+GF＝44.6（米），
∴FN＝CN+CF＝60.0（米），
∵四边形DMFN是矩形，
∴DM＝FN＝60.0（米）
（2）解：在Rt△ADM中，AM＝DM tan30°＝60.0× ＝34.6（米），
在Rt△DMB中，BM＝DM tan10°＝60.0×0.18＝10.8（米），
∴AB＝AM+BM＝45.4（米）.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1） 如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N， 在Rt△DCN中 ，根据余弦函数的定义，由 CN＝CD cos40° 算出CN的长，进而根据 CF＝CG+GF ， FN＝CN+CF 算出FN的长，最后根据矩形的对边相等得出DM的长；
（2） 在Rt△ADM中 ，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AM＝DM tan30° 算出AM，同理算出BM，进而根据 AB＝AM+BM 即可算出答案。
二、提高特训
15．（2019·重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米.
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得 x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝ED+DG=20+0.8＝20.8米，BG=BC+CG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．
故答案为：B。
【分析】过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，进而可得出CG与DG的长，根据线段的和差得出BG、EG的长．然后判定出四边形EGBM是矩形，根据矩形的对边相等得出EM＝BG，BM＝EG，在Rt△AME中，根据锐角三角函数的定义，由AM＝EM tan27°算出AM的长，最后根据线段的和差，由AB＝AM+BM算出答案。
16．（2019·重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵ ＝1：2.4＝ ，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝ ＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝10，CF＝24，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝ ＝ ＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故答案为：C.
【分析】根据坡比的定义得出 ＝1：2.4＝ ，设CF＝5k，AF＝12k，建立方程，求解算出k的值，从而求出AF、CF的长，再根据锐角三角函数的定义，由tan48°＝ 即可算出解决问题。
17．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A，B，C，D，E，F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200 B．250 C．300 D．540
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠EAC=45°，EC=100米，
∴AC=EC=100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC=3EC=300米，
∴AB=300+100=400米，
设DF=x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD=3DF=3x米，
∵∠DAF=12°，tan12°≈0.2，
∴AD=5DF=5x米，
则8x=400，
解得x=50，
∴AD=250米．
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AC=EC=100米，根据坡度的定义得出BC，进而得出AB，设DF=x米，根据坡度的定义表示出BD，根据正切函数的定义表示出AD，最后根据AB=AD+BD，列出方程，求解即可。
18．（2018九上·重庆期中）图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i= ：1，若大树CD的高为8 米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，
∵∠DBC=60°，CD=8 ，
∴BD= = =16，
∵AB的坡度i=tan∠ABQ= ，
∴∠ABQ=∠EAB=60°，
∴∠ABD=60°，
∴PD=BDsin∠ABD=16× =8 ，BP=BDcos∠ABD=16× =8，
∵∠EAD=15°，
∴∠DAP=∠BAE﹣∠EAD=45°，
∴PA=PD=8 ，
则AB=AP+BP=8 +8，
∴AQ=ABcos∠ABQ=（8+8 ）× =4 +12≈19，
故答案为：B．
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，利用解直角三角形求出BD的长，利用坡度的定义，可求出∠ABQ=60°，再推出∠ABD=60°，利用解直角三角形求出PD、BP的长，然后证明PA=PD，根据AB=AP+BP，求出AB的长，再由AQ=ABcos∠ABQ，可求出结果。
19．（2019九上·绍兴期中）如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20 m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为 m 。
【答案】130
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵斜坡CD的坡比为1：2，即 ，
∴DF=2CF，又CD= m，
∴CF=20m，DF=40m，
由题意得，四边形BEFC是矩形，
∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，
∵斜坡AB的坡比为1：3，
∴ ，即AE=3BE=60m，
∴AD=AE+EF+DF=130m，
故答案为：130.
【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡比的定义得出 ，即DF=2CF，然后根据勾股定理建立方程得出CF，DF的长，很容易判断出四边形BEFC是矩形，根据矩形的性质得出BE=CF=20m，EF=BC=30m，再根据坡比的定义得出 ，即AE=3BE=60m，最后根据AD=AE+EF+DF就可算出答案.
20．（2019·吴兴模拟）
如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度 ，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD= ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵斜坡AB的坡度i=，
∴，
∵∠CBD+∠ABE=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠CBD=∠A，
又∵∠CDB=∠AEB=90°，
∴△CBD∽△BAE，
∴，
∴设CD=x米，则BD=3x米，
在Rt△CBD，
∴CD2+BD2=BC2，
即x2+（3x）2=22，
解得：x=或x=-（舍去），
∴BD=3x=.
故答案为：.
【分析】根据斜坡AB的坡度可得，由相似三角形判定得△CBD∽△BAE，根据相似三角形性质得，由此设CD=x米，则BD=3x米，在Rt△CBD，根据勾股定理建立方程，解之即可求得x值，从而可得答案.
21．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为
5米，∠ACB=21.5°
（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；
（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．
（参考数据：sin21.5°= ，cos21.5°= ，tan21.5°= ）
【答案】（1）解：作GD⊥AD，交AC于点G，
∵∠ACB=21.5°，AD∥BC，
∴∠DAG=21.5°，
∴DG=tan21.5°×5=0.4×5=2＜2.4，
∴会碰到头部
（2）解：∵AB=8，
∴CB═20，
过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CD，垂足为点F，
设FN=x，则AE=8﹣x，
∵AM段和NC段的坡度i=1：2，
∴EM=2（8﹣x）=16﹣2x，CF=2x，
∴EM+CF=16﹣2x+2x=16，
∴MN=BC﹣（EM+CF）=20﹣16=4（米）．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1） 作GD⊥AD，交AC于点G， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠DAG=21.5°， 然后根据正切函数的定义，由 DG=tan21.5°×5 即可算出DG的长，再与2.4比大小即可得出结论；
（2） 过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CD，垂足为点F， 设FN=x，则AE=8﹣x， 根据 AM段和NC段的坡度i=1：2， 由坡度的概念即可得出 EM=2（8﹣x）=16﹣2x，CF=2x， 根据EM+CF=BC即可列出方程，求解算出x的值，进而根据 MN=BC﹣（EM+CF） 即可算出答案。
22．（2019·绍兴模拟）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】解：作DH⊥BC于H．设AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60 ，BH=180 ，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60 ，
在Rt△ABC中，tan33°= ，
∴x= ，
∴AC=AE+EC= +60 = ．
答：山顶A到地面BC的高度AC是 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】 作DH⊥BC于H．设AE=x． 根据坡度的定义得出 DH：BH=1：3， 在Rt△BDH中 利用勾股定理建立方程求出DH，BH的长， 在Rt△ADE中 ，根据等腰直角三角形的性质得出 DE=AE=x， 在Rt△ABC中 ，根据正切函数的定义，建立方程求解得出x的值，进而根据 AC=AE+EC 求出答案。
23．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五））为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．
（1）若修建的斜坡BE的坡比为 ：1，求休闲平台DE的长是多少米？
（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
【答案】（1） 解：∵AD＝BD＝30 米，
在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，
∴PA＝DP＝30米，
∵四边形MGPD是矩形，
∴GM=PD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），
在Rt△DMH中，tan30°＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝30+21 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 ）米．
（2）解：∵AD＝BD＝30 米，
在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，
∴PA＝DP＝30米，
∵四边形MGPD是矩形，
∴GMPD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），
在Rt△DMH中，tan30°＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝30+21 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 ）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BDF＝∠BAC＝45°， 根据线段的中点的定义得出BD的长，然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 DF＝BD cos∠BDF 算出DF的长，根据坡比的定义得出 ＝ ，从而得出EF的长，然后根据 DE＝DF﹣EF 即可算出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出 PA＝DP＝30米， 根据矩形的对边相等得出 GM=PD＝30米， 设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米）， 在Rt△DMH中 ，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan30°＝ 建立方程，求解即可算出x的值，从而得出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·南关模拟）如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
2．（2019·徐汇模拟）若斜坡的坡比为1： ，则斜坡的坡角等于( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．（2019·松北模拟）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，则坡面AC的长度为（ ）m．
A．10 B．8 C．6 D．6
4．（2019·哈尔滨模拟）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B． C．5sinα D．
5．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题B）如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是 （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C． m D． m
7．（2019·港南模拟）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是 cm.
8．（2019·光明模拟）如图，一山坡的坡度为i＝1： ，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
9．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）某处欲建一观景平台，如图所示，原设计平台的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°，则调整后楼梯AD的长为 m．（结果保留根号）
10．（2019·潍坊模拟）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 米，坡度为 ；将斜坡 的高度 降低 米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡度为 ．求斜坡 的长．（结果保留根号）
11．（2019·天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 的坡度为 ，文化墙 在天桥底部正前方8米处( 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 .(参考数据： ， )
（1）若新坡面坡角为 ，求坡角 度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 是否需要拆除？请说明理由.
12．（2019九下·萧山开学考）Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1：3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
13．（2019·花都模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．
（1）求支架BF的长；
（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈ ，tan32°≈ ，tan40°≈ ）
14．（2019九上·婺城期末）如图，为测量瀑布AB的高度，测量人员在瀑布对面山上的D点处测得瀑布顶端A点的仰角是 ，测得瀑布底端B点的俯角是 ，AB与水平面垂直 又在瀑布下的水平面测得 ， 注：C、G、F三点在同一直线上， 于点 ，斜坡 ，坡角 (参考数据： ， ， ， ， ， ， )
（1）求测量点D距瀑布AB的距离 精确到 ；
（2）求瀑布AB的高度 精确到
二、提高特训
15．（2019·重庆）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米.
16．（2019·重庆）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（ ）
（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
17．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A，B，C，D，E，F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200 B．250 C．300 D．540
18．（2018九上·重庆期中）图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i= ：1，若大树CD的高为8 米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）
A．18 B．19 C．20 D．21
19．（2019九上·绍兴期中）如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20 m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为 m 。
20．（2019·吴兴模拟）
如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度 ，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD= ．
21．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为
5米，∠ACB=21.5°
（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；
（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．
（参考数据：sin21.5°= ，cos21.5°= ，tan21.5°= ）
22．（2019·绍兴模拟）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
23．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五））为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．
（1）若修建的斜坡BE的坡比为 ：1，求休闲平台DE的长是多少米？
（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB sinα=9sin31°（米）.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的定义，由AC=AB sinα即可算出答案。
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．若斜坡的坡比为1： ，坡角的正切值= ，
所以坡角等于60 .
故答案为：D.
【分析】知道坡比的定义，即坡面的垂直高度和水平宽度的比值，正好是坡角的正切函数值。已知坡比为，即坡角的正切函数值为，根据特殊角的三角函数值，即而求出坡角。
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，
∴sinC＝ ＝ ，
则 ＝ ，
解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，根据∠ACB的正弦值解直角三角形即可得到AC的长度。
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB＝ ＝
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠CBA＝∠α，则在Rt△ABC中可得AB＝ ＝
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴ = ，即 = ，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF= =4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为 = =3，
故答案为：B．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ACF，于是可得比例式求得CF的值；Rt△ACF中，用勾股定理可求得AF的值，所以石坝的坡度=，代入计算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，BC=3米，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA=3 米，
∴AB= =6米．
故答案为：B．
【分析】利用坡比可求出AC的值，再由勾股定理即可求出AB的值.
7．【答案】270
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，BH⊥AC，
则BH=18×4=72，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴CH=72×5=360，
∴AC=360-30×3=270（cm），
故答案为：270.
【分析】根据已知每级台阶高为18cm，宽为30cm，就可求出BH，HA的长，再利用坡度的定义，就可求出CH的长，然后根据AC=HC-HA，求出AC的长。
8．【答案】100
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得tan∠A＝ ＝ ＝ ，
所以∠A＝30°，
所以BC＝ AB＝ ×200＝100（m）．
故答案为：100．
【分析】坡比等于坡角的正切值，故由题意可求得∠A的度数，继而可求得BC长。
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
AB=6m，∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴AC=AB sin∠ABC= m，
又∵∠ADC=30°，∠ACD=90°，
∴AD=2AC=6 m．
故答案为：6 m
【分析】根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AC=AB sin∠ABC即可算出AC的长，再根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD的长。
10．【答案】解：∵ ， ，坡度为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
即 ，
解得， ，
∴ 米，
答：斜坡 的长是 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据坡度值可得tan∠ABE=，可得∠ABE=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=AB=100，从而求出CE的长.利用斜坡CD的坡度可求出ED的长，利用勾股定理求出CD的长即可.
11．【答案】（1）解：∵新坡面坡角为 ，新坡面的坡度为 ，
∴ ，
∴
（2）解：该文化墙 不需要拆除，
理由：作 于点 ，
则 米，
∵新坡面的坡度为 ，
∴ ，
解得， 米，
∵坡面 的坡度为 ， 米，
∴ 米，
∴ 米，
又∵ 米，
∴ 米 米，
∴该文化墙 不需要拆除.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据坡度的概念及特殊锐角三角函数值即可算出 ；
（2） 该文化墙 不需要拆除， 理由如下：作 于点 ， 根据坡度的概念即可算出AD的长，BD的长，进而根据AB=AD-BD算出AB的长， 最后利用PA=PB-AB算出PA的长，再与3比大小即可得出结论。
12．【答案】（1） 解： 作BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在Rt△ABF中，
∵sinα==，
∴BF=ABsinα=650×=250（米），
答： Jack从点A到点C上升的高度CD是250米 .
（2）解：作BE⊥CD，∴∠BEC=90°，在Rt△CBE中，∵CE：BE=1：3，BC=500，设CE=x，则BE=3x，∴CE2+BE2=BC2，即x2+9x2=5002，解得：x=50，∴CE=50，得CD=CE+DE=CE+BF=50+250（米）.答： Jack从点A到点C上升的高度CD是50+250米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥AD，在Rt△ABF中，根据正弦定义可求得BF长.
（2） 作BE⊥CD，在Rt△CBE中，由CE：BE=1：3，设CE=x，则BE=3x，根据勾股定理求得CE=50，由CD=CE+DE=CE+BF即可求得答案.
13．【答案】（1）解：∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，
∴tan∠OAB＝ ＝tan32°，
∵AB＝2m，
∴ ≈ ，
∴OB＝1.24m，
∵⊙O的半径为0.2m，
∴BF＝1.04m.
（2）解：∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，
∴∠OAD＝50°，
∵∠OAC＝32°
∴∠CAD＝18°，
∴AB的坡度为tan18°＝ .
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）由
AO与屋面AB的夹角为32°，BF⊥AB，在Rt△ABO中，利用tan∠OAB可求出OB，继而可求出BF长；
（2）由
∠AOD＝40°，OD⊥AD可求得∠OAD＝50°，再根据∠OAC＝32°求得∠CAD，由坡度等于坡角的正切值即可求的AB的坡度。
14．【答案】（1）解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N.
在Rt△DCN中，CN＝CD cos40°＝20.0×0.77＝15.4（米），
∵CF＝CG+GF＝44.6（米），
∴FN＝CN+CF＝60.0（米），
∵四边形DMFN是矩形，
∴DM＝FN＝60.0（米）
（2）解：在Rt△ADM中，AM＝DM tan30°＝60.0× ＝34.6（米），
在Rt△DMB中，BM＝DM tan10°＝60.0×0.18＝10.8（米），
∴AB＝AM+BM＝45.4（米）.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1） 如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N， 在Rt△DCN中 ，根据余弦函数的定义，由 CN＝CD cos40° 算出CN的长，进而根据 CF＝CG+GF ， FN＝CN+CF 算出FN的长，最后根据矩形的对边相等得出DM的长；
（2） 在Rt△ADM中 ，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AM＝DM tan30° 算出AM，同理算出BM，进而根据 AB＝AM+BM 即可算出答案。
15．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得 x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝ED+DG=20+0.8＝20.8米，BG=BC+CG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．
故答案为：B。
【分析】过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，进而可得出CG与DG的长，根据线段的和差得出BG、EG的长．然后判定出四边形EGBM是矩形，根据矩形的对边相等得出EM＝BG，BM＝EG，在Rt△AME中，根据锐角三角函数的定义，由AM＝EM tan27°算出AM的长，最后根据线段的和差，由AB＝AM+BM算出答案。
16．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵ ＝1：2.4＝ ，
∴设CF＝5k，AF＝12k，
∴AC＝ ＝13k＝26，
∴k＝2，
∴AF＝10，CF＝24，
∵AE＝6，
∴EF＝6+24＝30，
∵∠DEF＝48°，
∴tan48°＝ ＝ ＝1.11，
∴DF＝33.3，
∴CD＝33.3﹣10＝23.3，
答：古树CD的高度约为23.3米，
故答案为：C.
【分析】根据坡比的定义得出 ＝1：2.4＝ ，设CF＝5k，AF＝12k，建立方程，求解算出k的值，从而求出AF、CF的长，再根据锐角三角函数的定义，由tan48°＝ 即可算出解决问题。
17．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得，∠EAC=45°，EC=100米，
∴AC=EC=100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC=3EC=300米，
∴AB=300+100=400米，
设DF=x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD=3DF=3x米，
∵∠DAF=12°，tan12°≈0.2，
∴AD=5DF=5x米，
则8x=400，
解得x=50，
∴AD=250米．
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AC=EC=100米，根据坡度的定义得出BC，进而得出AB，设DF=x米，根据坡度的定义表示出BD，根据正切函数的定义表示出AD，最后根据AB=AD+BD，列出方程，求解即可。
18．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，
∵∠DBC=60°，CD=8 ，
∴BD= = =16，
∵AB的坡度i=tan∠ABQ= ，
∴∠ABQ=∠EAB=60°，
∴∠ABD=60°，
∴PD=BDsin∠ABD=16× =8 ，BP=BDcos∠ABD=16× =8，
∵∠EAD=15°，
∴∠DAP=∠BAE﹣∠EAD=45°，
∴PA=PD=8 ，
则AB=AP+BP=8 +8，
∴AQ=ABcos∠ABQ=（8+8 ）× =4 +12≈19，
故答案为：B．
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，利用解直角三角形求出BD的长，利用坡度的定义，可求出∠ABQ=60°，再推出∠ABD=60°，利用解直角三角形求出PD、BP的长，然后证明PA=PD，根据AB=AP+BP，求出AB的长，再由AQ=ABcos∠ABQ，可求出结果。
19．【答案】130
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵斜坡CD的坡比为1：2，即 ，
∴DF=2CF，又CD= m，
∴CF=20m，DF=40m，
由题意得，四边形BEFC是矩形，
∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，
∵斜坡AB的坡比为1：3，
∴ ，即AE=3BE=60m，
∴AD=AE+EF+DF=130m，
故答案为：130.
【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡比的定义得出 ，即DF=2CF，然后根据勾股定理建立方程得出CF，DF的长，很容易判断出四边形BEFC是矩形，根据矩形的性质得出BE=CF=20m，EF=BC=30m，再根据坡比的定义得出 ，即AE=3BE=60m，最后根据AD=AE+EF+DF就可算出答案.
20．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵斜坡AB的坡度i=，
∴，
∵∠CBD+∠ABE=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠CBD=∠A，
又∵∠CDB=∠AEB=90°，
∴△CBD∽△BAE，
∴，
∴设CD=x米，则BD=3x米，
在Rt△CBD，
∴CD2+BD2=BC2，
即x2+（3x）2=22，
解得：x=或x=-（舍去），
∴BD=3x=.
故答案为：.
【分析】根据斜坡AB的坡度可得，由相似三角形判定得△CBD∽△BAE，根据相似三角形性质得，由此设CD=x米，则BD=3x米，在Rt△CBD，根据勾股定理建立方程，解之即可求得x值，从而可得答案.
21．【答案】（1）解：作GD⊥AD，交AC于点G，
∵∠ACB=21.5°，AD∥BC，
∴∠DAG=21.5°，
∴DG=tan21.5°×5=0.4×5=2＜2.4，
∴会碰到头部
（2）解：∵AB=8，
∴CB═20，
过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CD，垂足为点F，
设FN=x，则AE=8﹣x，
∵AM段和NC段的坡度i=1：2，
∴EM=2（8﹣x）=16﹣2x，CF=2x，
∴EM+CF=16﹣2x+2x=16，
∴MN=BC﹣（EM+CF）=20﹣16=4（米）．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1） 作GD⊥AD，交AC于点G， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠DAG=21.5°， 然后根据正切函数的定义，由 DG=tan21.5°×5 即可算出DG的长，再与2.4比大小即可得出结论；
（2） 过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CD，垂足为点F， 设FN=x，则AE=8﹣x， 根据 AM段和NC段的坡度i=1：2， 由坡度的概念即可得出 EM=2（8﹣x）=16﹣2x，CF=2x， 根据EM+CF=BC即可列出方程，求解算出x的值，进而根据 MN=BC﹣（EM+CF） 即可算出答案。
22．【答案】解：作DH⊥BC于H．设AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60 ，BH=180 ，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60 ，
在Rt△ABC中，tan33°= ，
∴x= ，
∴AC=AE+EC= +60 = ．
答：山顶A到地面BC的高度AC是 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】 作DH⊥BC于H．设AE=x． 根据坡度的定义得出 DH：BH=1：3， 在Rt△BDH中 利用勾股定理建立方程求出DH，BH的长， 在Rt△ADE中 ，根据等腰直角三角形的性质得出 DE=AE=x， 在Rt△ABC中 ，根据正切函数的定义，建立方程求解得出x的值，进而根据 AC=AE+EC 求出答案。
23．【答案】（1） 解：∵AD＝BD＝30 米，
在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，
∴PA＝DP＝30米，
∵四边形MGPD是矩形，
∴GM=PD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），
在Rt△DMH中，tan30°＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝30+21 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 ）米．
（2）解：∵AD＝BD＝30 米，
在Rt△ADP中，∵∠DAP＝45°，
∴PA＝DP＝30米，
∵四边形MGPD是矩形，
∴GMPD＝30米，
设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米），
在Rt△DMH中，tan30°＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝30+21 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 ）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出 ∠BDF＝∠BAC＝45°， 根据线段的中点的定义得出BD的长，然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 DF＝BD cos∠BDF 算出DF的长，根据坡比的定义得出 ＝ ，从而得出EF的长，然后根据 DE＝DF﹣EF 即可算出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出 PA＝DP＝30米， 根据矩形的对边相等得出 GM=PD＝30米， 设GH＝x米，则MH＝GH﹣GM＝x﹣30（米），DM＝AG+AP＝33+30＝63（米）， 在Rt△DMH中 ，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 tan30°＝ 建立方程，求解即可算出x的值，从而得出答案。
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