初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·平房模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A． B．m cosα C．m sinα D．m tanα
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴AB＝ ，
故答案为：A．
【分析】由题意可知，△ABC为直角三角形，再由锐角三角函数的定义可知，角α的余弦=，即cosα=，整理即可求得AB的长。
2．（2019九上·杭州期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB=10，tan∠B= ，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵tan∠B= ，
∴AD= ，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（ ）2+BD2=102，
∴BD=8，
∴BC=16；
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ABD中，根据tan∠B=可将AD用含BD的代数式表示，再由勾股定理可得AD2+BD2=AB2可得关于BD的方程，解方程可求得BD的值，由题意得BC=2BD可求解。
3．（2018九上·太仓期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是（ ）
A． B．4 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，cosB=
则BC = AB cosB = 8 cos30° =8 = .
故答案为：B.
【分析】根据cosB=即可求解。
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解: 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB sinα=300sinα米．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中，根据sinα=即可求解。
5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解: 在Rt△ABC中，AB= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故答案为：B．
【分析】由图知，sinα=，则AB=；在Rt△ACD中，sinβ= ,则AD= ，所以AB：AD可求解。
6．（2018九上·西安月考）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝37°，AC＝4，则BC的长约为（ ）（sin37°≈0.80，cos37°≈0.60，tan37°≈0.75）
A．2.4 B．3.0 C．3.2 D．5.0
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，tanA= ，
则BC=AC tanA≈4×0.75=3.0，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ACB中，根据tanA= 变形得，BC=AC tanA，把AC和tanA的值代入计算即可求解。
7．（2018九上·大庆期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝ B．CD＝AD·tanα
C．AC＝AD·cosα D．BD＝AB·cosα
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，sinα==，即BC=，所以A选项正确；
在三角形ABC中，因为∠B＋∠BAD=∠CAD+∠BAD，所以∠B=∠CAD=α，所以tan∠CAD=tanα=，即CD=AD· tanα，所以B选项正确；
在三角形ACD中，cosα=，即AC=，所以C选项错误，符合题意；
在三角形ABD中，cosα=，即BD=AB·cosα，所以D选项正确。
故答案为：C。
【分析】在三角形中，根据每个选项的要求，求出对应角的正弦、余弦或正切，进行适当的变形即可证明选项的对错。
8．（2019八下·海沧期中）Rt△ABC中,∠B=90°，AB=9,BC=12，则斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】Rt△ABC中,∠B=90°，AB=9,BC=12，所以斜边AC=15，
SRt△ABC= AB·BC=54
所以斜边上的高为
故填
【分析】根据三角形的面积表达方法，可解出斜边上的高。
9．如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
【答案】解: 作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB sin45°= × = ，
在Rt△ACD中，AD= ，AC= ，
∴CD= =2 ，
∴BC=BD+CD=3 ，
∴S△ABC= BC AD= ×3 × = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由题意，
作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD 是等腰直角三角形，所以根据
sin45°=可求得BD=AD的值，
在Rt△ACD中 ，用勾股定理可求得CD的值，所以BC=BD+CD，
S△ABC= BC AD 可求解。
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= .求：
（1）DE、CD的长；
（2）tan∠DBC的值.
【答案】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°.在Rt△AED中，cos A= ，即 = .∴AD=10.
根据勾股定理得DE= = =8.
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC=DE=8.
（2）解：由(1)可得AC=AD+DC=10+8=18，在Rt△ABC中，cos A= ，即 = ，∴AB=30.根据勾股定理得BC= = =24.
∴在Rt△BCD中，tan ∠DBC== = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△AED中，cos A= ，可求出AD，再由勾股定理求出DE，根据角平分线的性质可得CD=DE；
（2）根据（1）可得AC=AD+DC，求出AC，而在Rt△ABC中，cos A=求出AB，再由勾股定理求出BC，而在Rt△BCD中，tan ∠DBC= ，代入DC，BC的值即可求出。
二、提高特训
11．（2018九上·太仓期末）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA＝ ，则 AD 的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，∴BE=5DE．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6 ，∴AE+BE=AE+5AE=6 ，∴AE= ，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD= ，AE=2．
故答案为：A.
【分析】作DE⊥AB于E．用勾股定理可求得AB的长；解直角三角形BDE可得tan∠DBA= = ，则BE=5DE；而AB=AE+BE可求出AE的值，而三角形ADE是等腰直角三角形，解这个等腰直角三角形即可求得AD的值。
12．（2018九上·镇平期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（ ）
A．2cm B．1.8cm C．1.5cm D．1.2cm
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：
，
此时AC+CP=5，故BP=AC+BC﹣AC﹣CP=2，∵sin∠B= ，∴PD=BPsin∠B= cm.故答案为：D.
【分析】有线段的构成得BP=AC+BC﹣AC﹣CP可求得BP的值，然后根据sin∠B==可求解.
13．（2019九上·乐亭期中）如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（ ）
A．50m B．25m
C．（50﹣ ）m D．（50﹣25 ）m
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N
∴AB=MN，AM=BN
在直角三角形ACM中，即可得到CD=AM=50
在直角三角形BCN中
∵∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50
∴CN==
∴MN=CM-CN=50-
∴AB=MN=50-。
故答案为：C。
【分析】过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N，通过解直角三角形分别求出CM和CN的长度，求出MN=AB。
14．（2019·嘉兴模拟）如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm，点P为边BC（EF）的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α（如图2），设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为 （结果保留根号）
【答案】（6﹣2 ）cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，（如图）
∵EF＝12cm，
∴BP＝6cm，
∵∠B＝30°，
在Rt△BPQ中，QP＝2 cm，
∴EQ＝（6﹣2 ）cm，
∴Q点移动的路径为（6﹣2 ）cm，
故答案为（6﹣2 ）cm；
【分析】由题意知：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，即只需求出EQ的值即可。在Rt△BPQ中，解直角三角形可求得QP的长，再结合线段的构成得EQ=EP-PQ=EF-PQ可求解.
15．（2019·拱墅模拟）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
AB=2 米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.
则在直角三角形ABC中,
＝tan∠ACB＝tan60°＝ ，
＝sin∠ACB＝sin60°＝ ,
∴BC＝ ＝ ＝2，AC＝ ＝ ＝4，
∴直角三角形DCE中，CE=AC=4，
∴ ＝cos45°＝ ，
∴CD＝CE× ＝4× ＝2 ，
∴BD＝2+2 ,
故答案为：2+2 .
【分析】AB=2 米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE，利用解直角三角形分别求出BC，AC的长；再在Rt△DCE中，利用解直角三角形求出CD，然后求出BD的长。
16．（2019·哈尔滨模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，S△ABC＝12 ，则∠A＝ ．
【答案】60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
如图1，当△ABC为锐角三角形时，
∵S△ABC＝ AB CD，且AB＝6、S△ABC＝12 ，
∴CD＝ ＝ ＝4 ，
在Rt△ACD中，∵sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝60°；
如图2，当△ABC为钝角三角形时，
由①知，CD＝4 ，
∵sin∠DAC＝ ＝ ＝ ，
∴∠DAC＝60°，
则∠BAC＝120°，
故答案为：60°或120°．
【分析】此题没有告诉我们三角形的形状，故要分情况讨论。
①若∠A为90°，则S△ABC=，与题意不符，故∠A只能是锐角或钝角。
②当∠A为锐角时，如图1，根据S△ABC的计算公式反求出CD，在Rt△ACD中，解直角三角形可得∠A＝60°。
③当∠A为钝角时，如图2，同理②可得∠DAC＝60°，根据补角的定义可得∠BAC＝180°-∠DAC=120°。
17．（2018·信阳模拟）共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）
【答案】（1）解：∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，
∴AD= （cm），
即车架档AD的长是75cm
（2）解：作EF⊥AB于点F，如图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）用勾股定理即可求解；
（2）解直角三角形AEF即可求解。
18．（2019·嘉兴模拟）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示.订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动.当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动.使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）.已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm.
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据： ≈2.24， ≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
【答案】（1）解：由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH＝ ＝2 ≈12.2（cm）.
∴CD＝CH＝12.6（cm）
（2）解：如图2中，作EK⊥PC于K.
在Rt△ECK中，EK＝EC sin53°≈4（cm），CK＝EC cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK＝ ＝ ＝2 ≈4.48（cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意CD＝CH，要求出CD的长，只需求出CH即可。在Rt△ACH中，由勾股定理即可求解；
（2）作EK⊥PC于K，在Rt△ECK中，解直角三角形可求得EK和CK的长；解直角三角形EPK可求得PK的长，由线段的构成得DP=CD-CK-PK-MN可求得PD的值，与订书钉的长度比较大小即可判断求解。
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·平房模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A． B．m cosα C．m sinα D．m tanα
2．（2019九上·杭州期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB=10，tan∠B= ，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．（2018九上·太仓期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是（ ）
A． B．4 C．8 D．4
4．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D． 米
5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018九上·西安月考）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝37°，AC＝4，则BC的长约为（ ）（sin37°≈0.80，cos37°≈0.60，tan37°≈0.75）
A．2.4 B．3.0 C．3.2 D．5.0
7．（2018九上·大庆期中）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝ B．CD＝AD·tanα
C．AC＝AD·cosα D．BD＝AB·cosα
8．（2019八下·海沧期中）Rt△ABC中,∠B=90°，AB=9,BC=12，则斜边上的高为 ．
9．如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= .求：
（1）DE、CD的长；
（2）tan∠DBC的值.
二、提高特训
11．（2018九上·太仓期末）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA＝ ，则 AD 的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
12．（2018九上·镇平期中）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（ ）
A．2cm B．1.8cm C．1.5cm D．1.2cm
13．（2019九上·乐亭期中）如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（ ）
A．50m B．25m
C．（50﹣ ）m D．（50﹣25 ）m
14．（2019·嘉兴模拟）如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm，点P为边BC（EF）的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α（如图2），设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为 （结果保留根号）
15．（2019·拱墅模拟）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为 米（结果保留根号）.
16．（2019·哈尔滨模拟）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，S△ABC＝12 ，则∠A＝ ．
17．（2018·信阳模拟）共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）
18．（2019·嘉兴模拟）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示.订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动.当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动.使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）.已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm.
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据： ≈2.24， ≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴AB＝ ，
故答案为：A．
【分析】由题意可知，△ABC为直角三角形，再由锐角三角函数的定义可知，角α的余弦=，即cosα=，整理即可求得AB的长。
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵tan∠B= ，
∴AD= ，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（ ）2+BD2=102，
∴BD=8，
∴BC=16；
故答案为：D.
【分析】在直角三角形ABD中，根据tan∠B=可将AD用含BD的代数式表示，再由勾股定理可得AD2+BD2=AB2可得关于BD的方程，解方程可求得BD的值，由题意得BC=2BD可求解。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，cosB=
则BC = AB cosB = 8 cos30° =8 = .
故答案为：B.
【分析】根据cosB=即可求解。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解: 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB sinα=300sinα米．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中，根据sinα=即可求解。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解: 在Rt△ABC中，AB= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故答案为：B．
【分析】由图知，sinα=，则AB=；在Rt△ACD中，sinβ= ,则AD= ，所以AB：AD可求解。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，tanA= ，
则BC=AC tanA≈4×0.75=3.0，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ACB中，根据tanA= 变形得，BC=AC tanA，把AC和tanA的值代入计算即可求解。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，sinα==，即BC=，所以A选项正确；
在三角形ABC中，因为∠B＋∠BAD=∠CAD+∠BAD，所以∠B=∠CAD=α，所以tan∠CAD=tanα=，即CD=AD· tanα，所以B选项正确；
在三角形ACD中，cosα=，即AC=，所以C选项错误，符合题意；
在三角形ABD中，cosα=，即BD=AB·cosα，所以D选项正确。
故答案为：C。
【分析】在三角形中，根据每个选项的要求，求出对应角的正弦、余弦或正切，进行适当的变形即可证明选项的对错。
8．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】Rt△ABC中,∠B=90°，AB=9,BC=12，所以斜边AC=15，
SRt△ABC= AB·BC=54
所以斜边上的高为
故填
【分析】根据三角形的面积表达方法，可解出斜边上的高。
9．【答案】解: 作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB sin45°= × = ，
在Rt△ACD中，AD= ，AC= ，
∴CD= =2 ，
∴BC=BD+CD=3 ，
∴S△ABC= BC AD= ×3 × = ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由题意，
作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD 是等腰直角三角形，所以根据
sin45°=可求得BD=AD的值，
在Rt△ACD中 ，用勾股定理可求得CD的值，所以BC=BD+CD，
S△ABC= BC AD 可求解。
10．【答案】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°.在Rt△AED中，cos A= ，即 = .∴AD=10.
根据勾股定理得DE= = =8.
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC=DE=8.
（2）解：由(1)可得AC=AD+DC=10+8=18，在Rt△ABC中，cos A= ，即 = ，∴AB=30.根据勾股定理得BC= = =24.
∴在Rt△BCD中，tan ∠DBC== = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△AED中，cos A= ，可求出AD，再由勾股定理求出DE，根据角平分线的性质可得CD=DE；
（2）根据（1）可得AC=AD+DC，求出AC，而在Rt△ABC中，cos A=求出AB，再由勾股定理求出BC，而在Rt△BCD中，tan ∠DBC= ，代入DC，BC的值即可求出。
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，∴BE=5DE．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6 ，∴AE+BE=AE+5AE=6 ，∴AE= ，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD= ，AE=2．
故答案为：A.
【分析】作DE⊥AB于E．用勾股定理可求得AB的长；解直角三角形BDE可得tan∠DBA= = ，则BE=5DE；而AB=AE+BE可求出AE的值，而三角形ADE是等腰直角三角形，解这个等腰直角三角形即可求得AD的值。
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：
，
此时AC+CP=5，故BP=AC+BC﹣AC﹣CP=2，∵sin∠B= ，∴PD=BPsin∠B= cm.故答案为：D.
【分析】有线段的构成得BP=AC+BC﹣AC﹣CP可求得BP的值，然后根据sin∠B==可求解.
13．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N
∴AB=MN，AM=BN
在直角三角形ACM中，即可得到CD=AM=50
在直角三角形BCN中
∵∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50
∴CN==
∴MN=CM-CN=50-
∴AB=MN=50-。
故答案为：C。
【分析】过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N，通过解直角三角形分别求出CM和CN的长度，求出MN=AB。
14．【答案】（6﹣2 ）cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，（如图）
∵EF＝12cm，
∴BP＝6cm，
∵∠B＝30°，
在Rt△BPQ中，QP＝2 cm，
∴EQ＝（6﹣2 ）cm，
∴Q点移动的路径为（6﹣2 ）cm，
故答案为（6﹣2 ）cm；
【分析】由题意知：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，即只需求出EQ的值即可。在Rt△BPQ中，解直角三角形可求得QP的长，再结合线段的构成得EQ=EP-PQ=EF-PQ可求解.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
AB=2 米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE.
则在直角三角形ABC中,
＝tan∠ACB＝tan60°＝ ，
＝sin∠ACB＝sin60°＝ ,
∴BC＝ ＝ ＝2，AC＝ ＝ ＝4，
∴直角三角形DCE中，CE=AC=4，
∴ ＝cos45°＝ ，
∴CD＝CE× ＝4× ＝2 ，
∴BD＝2+2 ,
故答案为：2+2 .
【分析】AB=2 米，∠ACB=60°，∠DCE=45°，AC=CE，利用解直角三角形分别求出BC，AC的长；再在Rt△DCE中，利用解直角三角形求出CD，然后求出BD的长。
16．【答案】60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
如图1，当△ABC为锐角三角形时，
∵S△ABC＝ AB CD，且AB＝6、S△ABC＝12 ，
∴CD＝ ＝ ＝4 ，
在Rt△ACD中，∵sinA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝60°；
如图2，当△ABC为钝角三角形时，
由①知，CD＝4 ，
∵sin∠DAC＝ ＝ ＝ ，
∴∠DAC＝60°，
则∠BAC＝120°，
故答案为：60°或120°．
【分析】此题没有告诉我们三角形的形状，故要分情况讨论。
①若∠A为90°，则S△ABC=，与题意不符，故∠A只能是锐角或钝角。
②当∠A为锐角时，如图1，根据S△ABC的计算公式反求出CD，在Rt△ACD中，解直角三角形可得∠A＝60°。
③当∠A为钝角时，如图2，同理②可得∠DAC＝60°，根据补角的定义可得∠BAC＝180°-∠DAC=120°。
17．【答案】（1）解：∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，
∴AD= （cm），
即车架档AD的长是75cm
（2）解：作EF⊥AB于点F，如图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）用勾股定理即可求解；
（2）解直角三角形AEF即可求解。
18．【答案】（1）解：由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH＝ ＝2 ≈12.2（cm）.
∴CD＝CH＝12.6（cm）
（2）解：如图2中，作EK⊥PC于K.
在Rt△ECK中，EK＝EC sin53°≈4（cm），CK＝EC cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK＝ ＝ ＝2 ≈4.48（cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意CD＝CH，要求出CD的长，只需求出CH即可。在Rt△ACH中，由勾股定理即可求解；
（2）作EK⊥PC于K，在Rt△ECK中，解直角三角形可求得EK和CK的长；解直角三角形EPK可求得PK的长，由线段的构成得DP=CD-CK-PK-MN可求得PD的值，与订书钉的长度比较大小即可判断求解。
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