初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法-直接开平方 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·延安期中）方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D．
2．（2019九上·东莞期中）方程2x2=8的根为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．没有实数根
3．（2019九上·汉滨月考）若 为方程 的一根， 为方程 的一根，且 都是正数，则 为（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（2019九上·吉林月考）一元二次方程(x+3)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元次方程是x+3=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x-3=-4 B．x-3=4 C．x+3=4 D．x+3=-4
5．（2019九上·靖远月考）若方程 有解，则 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．无法确定
6．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷b）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019九上·莲池期中）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）要使代数式3x2－6的值等于21，则x的值是（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．±
9．（2019九上·凤山期中）若 ，则 的值为（ ）
A．7 B．-3 C．7或-3 D．21
二、填空题
10．（2019九上·红安月考）若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝ ．
11．（2019九上·长葛开学考）方程x2－ =0的两根为x1= ，x2= .
12．（2019·宁波模拟）如图，是一个简单的数值运算程序.则输入x的值为 .
13．（2018九上·皇姑期末）方程 两根的积为 .
14．（2018九上·茂名期中）正方形面积为25，则它的边长为 ．
三、计算题
15．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）用直接开平方法解方程：
（1）4(x－2)2－36＝0；
（2）x2＋6x＋9＝25；
（3）4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
17．（2018九上·秦淮月考）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9，（3x﹣2）2=25， …都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3.
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25.
解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5或3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程，得x1= ，x2=﹣1.
（2）解方程 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x=±5，
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程变形为 x2=4
方程两边直接开平方得：x=±2
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法解该一元二次方程即可。
3．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ,
得 ，
∴ ,
解方程（y-4）2=17，
得y-4=± ,
∴y=4± ,
∵a、b都是正数，
,
;
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法求出每个方程的根，根据a,b都是正数，判断得出a,b的值，进而根据实数的减法法则算出代数式的值.
4．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+3）2=16
方程两边同时开平方，得 x+3=±4
∴另一个一元一次方程是x+3=-4.
故答案为：D.
【分析】将原一元二次方程直接开平方，可化为一元一次方程，据此可解。
5．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 有实数解，
∴x 4＝± ，
∴a≥0；
故答案为：B.
【分析】由于方程 有实数解，根据平方根的意义可得a≥0，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①②③④都是或可变形为 （ ）， （ 、 同号且 ）， （ ）， ，而这四种形式都可用直接开平方法.
故答案为： .
【分析】形如 （ ）， （ 、 同号且 ）， （ ）， ，（ 、 c 同号且 ）、（x+a）2=(x+b)2而这五种形式都可用直接开平方法.
7．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】选项A：x2=0，x=0；选项B：x2=-4；负数没有平方根，故方程无解；选项C：x2=1，x=±1；选项D：x2=3，x=。
故答案为：B。
【分析】负数没有平分根，当x2等于负数时，方程无解。
8．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意可知： ，移项可得： ，两边同除以3可得： ，两边直接开平方可得： ，
故答案为： C
【分析】根据题意列出方程，将常数项移到方程的右边，根据等式的性质方程两边都除以二次项的系数，将二次项的系数化为1，然后利用直接开平方法求解。
9．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2+b2-2=±5，
∴a2+b2=7或a2+b2=-3（舍去），
即a2+b2的值为7.
故答案为：A.
【分析】把 两边开方得到a2+b2-2=±5，然后根据非负数的性质确定 的值.
10．【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ax2＝b(ab＞0) ，
∴x= ，
则 m＋1=-(2m－4 )，
解得m=1，
∴=m+1=2，
.
故答案为：4.
【分析】先解出含字母系数的二次方程，由题意得-(m＋1)=2m－4，求出m的值，再求出 的值即可.
11．【答案】；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得 ，
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】首先根据算术平方根的定义将 化简，再利用直接开平方法求解即可。
12．【答案】1±
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，
化简得：（x﹣1）2=3，∴x﹣1=± ，∴x=1± .
【分析】首先根据题意列出方程：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，解方程即可求得答案。
13．【答案】-9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
两根的积 ，
故答案为： .
【分析】首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可.
14．【答案】5
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，根据题意得
x2=25
解得 x=5（只取正值） 。
【分析】先设出正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列出方程，进而利用算术平方根的定义求解即可。
15．【答案】（1）解：4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1
（2）解：x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2
（3）解：4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－ ，x2＝－
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，方程两边都除以4，再将常数项移到方程的右边，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根；
（2）将方程的左边利用完全平方公式分解因式，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根；
（3）将左边的减数项整体移到方程的右边，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根。
16．【答案】解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，
解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，
∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】将h的值代入方程，再利用直接开平方法解关于t的方程，求解即可。
17．【答案】（1）3x﹣2=﹣5
（2）解；根据乘方运算，
得
∴x1= ，x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由52=25，（-5）2=25进行填空即可.
（2）由于22=4，（-4）2=4，可得，分别解这两个一元一次方程即可.
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一、单选题
1．（2019九上·延安期中）方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x=±5，
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
2．（2019九上·东莞期中）方程2x2=8的根为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程变形为 x2=4
方程两边直接开平方得：x=±2
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法解该一元二次方程即可。
3．（2019九上·汉滨月考）若 为方程 的一根， 为方程 的一根，且 都是正数，则 为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ,
得 ，
∴ ,
解方程（y-4）2=17，
得y-4=± ,
∴y=4± ,
∵a、b都是正数，
,
;
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法求出每个方程的根，根据a,b都是正数，判断得出a,b的值，进而根据实数的减法法则算出代数式的值.
4．（2019九上·吉林月考）一元二次方程(x+3)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元次方程是x+3=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x-3=-4 B．x-3=4 C．x+3=4 D．x+3=-4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+3）2=16
方程两边同时开平方，得 x+3=±4
∴另一个一元一次方程是x+3=-4.
故答案为：D.
【分析】将原一元二次方程直接开平方，可化为一元一次方程，据此可解。
5．（2019九上·靖远月考）若方程 有解，则 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程 有实数解，
∴x 4＝± ，
∴a≥0；
故答案为：B.
【分析】由于方程 有实数解，根据平方根的意义可得a≥0，据此判断即可.
6．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷b）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①②③④都是或可变形为 （ ）， （ 、 同号且 ）， （ ）， ，而这四种形式都可用直接开平方法.
故答案为： .
【分析】形如 （ ）， （ 、 同号且 ）， （ ）， ，（ 、 c 同号且 ）、（x+a）2=(x+b)2而这五种形式都可用直接开平方法.
7．（2019九上·莲池期中）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】选项A：x2=0，x=0；选项B：x2=-4；负数没有平方根，故方程无解；选项C：x2=1，x=±1；选项D：x2=3，x=。
故答案为：B。
【分析】负数没有平分根，当x2等于负数时，方程无解。
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）要使代数式3x2－6的值等于21，则x的值是（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．±
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据题意可知： ，移项可得： ，两边同除以3可得： ，两边直接开平方可得： ，
故答案为： C
【分析】根据题意列出方程，将常数项移到方程的右边，根据等式的性质方程两边都除以二次项的系数，将二次项的系数化为1，然后利用直接开平方法求解。
9．（2019九上·凤山期中）若 ，则 的值为（ ）
A．7 B．-3 C．7或-3 D．21
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2+b2-2=±5，
∴a2+b2=7或a2+b2=-3（舍去），
即a2+b2的值为7.
故答案为：A.
【分析】把 两边开方得到a2+b2-2=±5，然后根据非负数的性质确定 的值.
二、填空题
10．（2019九上·红安月考）若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝ ．
【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ax2＝b(ab＞0) ，
∴x= ，
则 m＋1=-(2m－4 )，
解得m=1，
∴=m+1=2，
.
故答案为：4.
【分析】先解出含字母系数的二次方程，由题意得-(m＋1)=2m－4，求出m的值，再求出 的值即可.
11．（2019九上·长葛开学考）方程x2－ =0的两根为x1= ，x2= .
【答案】；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得 ，
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】首先根据算术平方根的定义将 化简，再利用直接开平方法求解即可。
12．（2019·宁波模拟）如图，是一个简单的数值运算程序.则输入x的值为 .
【答案】1±
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，
化简得：（x﹣1）2=3，∴x﹣1=± ，∴x=1± .
【分析】首先根据题意列出方程：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣9，解方程即可求得答案。
13．（2018九上·皇姑期末）方程 两根的积为 .
【答案】-9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
两根的积 ，
故答案为： .
【分析】首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可.
14．（2018九上·茂名期中）正方形面积为25，则它的边长为 ．
【答案】5
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，根据题意得
x2=25
解得 x=5（只取正值） 。
【分析】先设出正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列出方程，进而利用算术平方根的定义求解即可。
三、计算题
15．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.1 解一元二次方程（1） 同步训练）用直接开平方法解方程：
（1）4(x－2)2－36＝0；
（2）x2＋6x＋9＝25；
（3）4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
【答案】（1）解：4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1
（2）解：x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2
（3）解：4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－ ，x2＝－
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，方程两边都除以4，再将常数项移到方程的右边，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根；
（2）将方程的左边利用完全平方公式分解因式，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根；
（3）将左边的减数项整体移到方程的右边，利用平方根的定义直接开平方，将方程降次为两个一元一次方程，求解一元一次方程，得出原方程的根。
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（1） 同步练习）自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
【答案】解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，
解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，
∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】将h的值代入方程，再利用直接开平方法解关于t的方程，求解即可。
17．（2018九上·秦淮月考）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程.
如x2=9，（3x﹣2）2=25， …都是完全平方方程.
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3.
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25.
解题思路：我们只要把3x﹣2看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5或3x﹣2= .
分别解这两个一元一次方程，得x1= ，x2=﹣1.
（2）解方程 .
【答案】（1）3x﹣2=﹣5
（2）解；根据乘方运算，
得
∴x1= ，x2=
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由52=25，（-5）2=25进行填空即可.
（2）由于22=4，（-4）2=4，可得，分别解这两个一元一次方程即可.
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