初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（1） 同步训练
一、单选题
1．（2018九上·泰州期中）如图，下列四个选项不一定成立的是（ ）
A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD
C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠OCD=∠OAB，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB．
同法可证：△AOC∽△BOD．
∵∠PCA+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PCA=∠PBD，
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBD，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补及邻补角的性质找出图中相等的角，根据两角对应相等两三角形相似可判断（1）（2）（4）正确，用排除法即可得出答案。
2．（2018九上·东河月考）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故答案为：A．
【分析】已知 ∠AEF＝90° ，故∠DEA与∠CEF互余。又∠DAE与∠DEA互余，即得∠DAE=∠CEF。然后判断 △ADE∽△ECF 。
3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴ ，
解得：CD=0.4，
故答案为：C．
【分析】先根据“两角对应相等，两个三角形相似”判定△ABO∽△CDO，再根据相似三角形性质可得=， 求得CD。
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B．底角为40°的两个等腰三角形相似
C．一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D．有个角为30°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A不符合题意；
B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B不符合题意；
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C不符合题意；
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】两组边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，对选项A作出判断，有两组角对应相等的两三角形相似，可对选项B、C作出判断；有个角为30°的两个等腰三角形，30°的角可能是底角也可能是顶角，这两个三角形不一定相似，可得出答案。
5．在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故答案为：C．
【分析】如图，当∠1=∠B或∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，因此过AC上其他点作的直线均与这两条平行，因此过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，可得出结论。
6．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
7．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出∠BAC=∠EDA=90°，∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，就可证得∠CFA=∠BAG，再利用两组角等于相等的两三角形相似，可证得△BGA∽△AGF∽△CAF，即可得出答案。
8．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故答案为：B
【分析】利用垂直的定义，可得出直角相等，再利用同角的余角相等，可得相等的角，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可得出图中与△ADE相似的三角形的个数。
二、填空题
9．（2019九上·秀洲期末）如图，若使△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是 ．
【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是∠ACD=∠B．理由如下：
∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由图形可知：两个三角形中已经具有一个公共角∠A，根据相似三角形的判定方法，可以再添加一个角对应相等，或者夹相等角的两边对应成比例即可。
10．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形 ．(用相似符号连接)
【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90
∴△BDE∽△CDF
( 2 )在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90
∴△ABF∽△ACE
【分析】答案不唯一。用有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
11．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
【答案】△AED≌△AFD；△AED∽△DFC
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC
【分析】根据已知条件：AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD，易证△AED≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠DFC，再证明∠FDC=∠DAE，利用两组对应角相等的两三角形相似，可得出△AED∽△DFC。
12．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】答案不唯一，如
可添加
故答案为：
【分析】答案不唯一。根据相似三角形的判定可得：①∠B=∠DEC，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；②∠ACB=∠DFE，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；③AC∥DF（或AB∥DE），结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；④，结合已知条件用有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF。
三、解答题
13．（2019九上·农安期末）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
【答案】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】在三角形DEF中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠D的度数，即可根据三角形相似的判定定理求得△ABC∽△DEF。
14．（2019九上·未央期末）如图，在等腰△ABC巾，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E，求证：△ACD∽△BCE．
【答案】证明：∵在等腰 中， 是顶角 的平分线，
∴ ⊥ ，
∴ ，
∵ 是腰 边上的高，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，可证得∠ADC=90°，再利用三角形高的定义证明∠ADC=∠BEC，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
15．（2019九上·东源期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AC=12，BC=5，
（1）求证：△ABC △CBD；
（2）求CD的长.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
又∵∠B公共，
∴ △ABC△CBD。
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB===13，
又∵S△ABC=AC·CB=AB·CD，
∴CD===。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证；
（2）利用勾股定理求出斜边AB的长，根据△ABC的面积的两种不同的表示方法即可求解。
16．（2019·宁波模拟） 已知∠MON＝90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A与点O重合，顶点C在∠MON内部
（1）当点A在射线OM上移动到A1时，连接A1B，请在∠MON内部作出以A1B为一边的等边三角形A1BC1(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）设A1B与OC交于点Q，BC的延长线与A1C1交于点D.求证：△BCQ∽△BA1D；
（3）连接CC1，试猜想∠BCC1为多少度，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠BCQ＝∠BA1D＝60°，
∵∠A1BD＝∠QBC，
∴△BCQ∽△BA1D
（3）解：猜想∠BCC1＝90°，
∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
在△A1BA和△C1BC中： ，
∴△A1BA≌△C1BC（SAS），
∴∠BCC1＝∠BAA1＝90°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，分别以点A1,B为圆心，A1B为半径画弧，两弧相交于∠MON内部一点C1，连接A1C1，BC1即可；
（2）根据等边三角形的每一个内角都等于60°得出 ∠BCQ＝∠BA1D＝60°， 根据公共角相等得出 ∠A1BD＝∠QBC， 根据有两组角对应相等的三角形相似得出 △BCQ∽△BA1D ；
（3） 猜想∠BCC1＝90°， 理由如下：根据等边三角形的性质得出 ∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB， 故 ∠ABA1＝∠CBC1， 从而利用SAS判断出 △A1BA≌△C1BC ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BCC1＝∠BAA1＝90 °。
17．（2019九上·揭西期末）如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90°.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AC＝6cm，AD＝4 cm，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵AB平分∠CAD
∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠D=90
∴△ABC∽△ADB
（2）解：由（1）得△ABC∽△ADB
∴ ，
即
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）由（1）中已证的相似三角形性质可找出AC、AD、AB的关系，代入数值即可求出AB。
18．（2019九上·揭西期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3
∴△ADF∽△DEC
（3）解：∵AE⊥BC，∴AE⊥AD
∴DE=
由上可得△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴
∴
∴AF=
【知识点】三角形的外角性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形对角相等可知：∠AFE=∠B=∠ADC；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知∠AFE=∠ADF+DAF，即可得∠DAF＝∠CDE；
（2）利用对应两角相等的两个三角形相似即可得证；
（3）利用勾股定理可求出DE长，再由（2）中已证的相似三角形的性质即可求出AF长。
19．（2018九上·二道月考）如图
（1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
（3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为 ．
【答案】（1）解：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= ．
故答案是： ．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
（1）如图①，由条件AB∥CD，∠B=90°， 易得 ∠C=∠B=90°， 由另一条件∠APD=90° 可知，要证 △ABP∽△PCD 还差一对角相等；接下来需找∠BAP=∠DPC，显然这两个角都与∠APB 互补，故它们相等. 还可以找哪一对角相等呢？
（2）如图②，与第（1）题相比，第（2）题的图形虽然发生了变化，但是结论没变，条件也几乎没变（第（1）的条件可看作∠B=∠C=∠APD=90° ），通过类比可知，它们有相同的证明思路：除已知条件∠B=∠C外，还需找∠BAP=∠DPC，由图可知∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC，而∠B=∠APD，易得∠BAP=∠DPC.
（3）如图③， 由∠B=∠C=45°可知，△ABC是一个等腰直角三角形，由斜边BC=6 ，可求得AC=AB=6，由CE=4，易得AE=2，只需求出AD的长，就可利用勾股定理求出DE的长. 与前两题作比，易得△BDP∽△CPE，，而BP=CP=3 ，CE=4，可求BD，进而求出AD.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（1） 同步训练
一、单选题
1．（2018九上·泰州期中）如图，下列四个选项不一定成立的是（ ）
A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD
C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD
2．（2018九上·东河月考）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
3．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B．底角为40°的两个等腰三角形相似
C．一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D．有个角为30°的两个等腰三角形相似
5．在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2019九上·秀洲期末）如图，若使△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是 ．
10．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形 ．(用相似符号连接)
11．如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
12．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
三、解答题
13．（2019九上·农安期末）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
14．（2019九上·未央期末）如图，在等腰△ABC巾，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E，求证：△ACD∽△BCE．
15．（2019九上·东源期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，若AC=12，BC=5，
（1）求证：△ABC △CBD；
（2）求CD的长.
16．（2019·宁波模拟） 已知∠MON＝90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A与点O重合，顶点C在∠MON内部
（1）当点A在射线OM上移动到A1时，连接A1B，请在∠MON内部作出以A1B为一边的等边三角形A1BC1(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）设A1B与OC交于点Q，BC的延长线与A1C1交于点D.求证：△BCQ∽△BA1D；
（3）连接CC1，试猜想∠BCC1为多少度，并证明你的猜想.
17．（2019九上·揭西期末）如图所示，AB平分∠CAD，∠ABC＝∠D＝90°.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若AC＝6cm，AD＝4 cm，求AB的长.
18．（2019九上·揭西期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
19．（2018九上·二道月考）如图
（1）感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）
（2）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．
（3）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，则DE的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠OCD=∠OAB，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB．
同法可证：△AOC∽△BOD．
∵∠PCA+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PCA=∠PBD，
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBD，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补及邻补角的性质找出图中相等的角，根据两角对应相等两三角形相似可判断（1）（2）（4）正确，用排除法即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF．
故答案为：A．
【分析】已知 ∠AEF＝90° ，故∠DEA与∠CEF互余。又∠DAE与∠DEA互余，即得∠DAE=∠CEF。然后判断 △ADE∽△ECF 。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴ ，
解得：CD=0.4，
故答案为：C．
【分析】先根据“两角对应相等，两个三角形相似”判定△ABO∽△CDO，再根据相似三角形性质可得=， 求得CD。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A不符合题意；
B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B不符合题意；
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C不符合题意；
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】两组边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，对选项A作出判断，有两组角对应相等的两三角形相似，可对选项B、C作出判断；有个角为30°的两个等腰三角形，30°的角可能是底角也可能是顶角，这两个三角形不一定相似，可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故答案为：C．
【分析】如图，当∠1=∠B或∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，因此过AC上其他点作的直线均与这两条平行，因此过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故答案为：B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出∠BAC=∠EDA=90°，∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，就可证得∠CFA=∠BAG，再利用两组角等于相等的两三角形相似，可证得△BGA∽△AGF∽△CAF，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故答案为：B
【分析】利用垂直的定义，可得出直角相等，再利用同角的余角相等，可得相等的角，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可得出图中与△ADE相似的三角形的个数。
9．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】△ACD∽△ABC，需添加的一个条件是∠ACD=∠B．理由如下：
∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由图形可知：两个三角形中已经具有一个公共角∠A，根据相似三角形的判定方法，可以再添加一个角对应相等，或者夹相等角的两边对应成比例即可。
10．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90
∴△BDE∽△CDF
( 2 )在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90
∴△ABF∽△ACE
【分析】答案不唯一。用有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。
11．【答案】△AED≌△AFD；△AED∽△DFC
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC
【分析】根据已知条件：AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD，易证△AED≌△AFD，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠DFC，再证明∠FDC=∠DAE，利用两组对应角相等的两三角形相似，可得出△AED∽△DFC。
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】答案不唯一，如
可添加
故答案为：
【分析】答案不唯一。根据相似三角形的判定可得：①∠B=∠DEC，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；②∠ACB=∠DFE，结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；③AC∥DF（或AB∥DE），结合已知条件用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF；④，结合已知条件用有两边的比相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEF。
13．【答案】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】在三角形DEF中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠D的度数，即可根据三角形相似的判定定理求得△ABC∽△DEF。
14．【答案】证明：∵在等腰 中， 是顶角 的平分线，
∴ ⊥ ，
∴ ，
∵ 是腰 边上的高，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，可证得∠ADC=90°，再利用三角形高的定义证明∠ADC=∠BEC，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
15．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
又∵∠B公共，
∴ △ABC△CBD。
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB===13，
又∵S△ABC=AC·CB=AB·CD，
∴CD===。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证；
（2）利用勾股定理求出斜边AB的长，根据△ABC的面积的两种不同的表示方法即可求解。
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠BCQ＝∠BA1D＝60°，
∵∠A1BD＝∠QBC，
∴△BCQ∽△BA1D
（3）解：猜想∠BCC1＝90°，
∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
在△A1BA和△C1BC中： ，
∴△A1BA≌△C1BC（SAS），
∴∠BCC1＝∠BAA1＝90°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，分别以点A1,B为圆心，A1B为半径画弧，两弧相交于∠MON内部一点C1，连接A1C1，BC1即可；
（2）根据等边三角形的每一个内角都等于60°得出 ∠BCQ＝∠BA1D＝60°， 根据公共角相等得出 ∠A1BD＝∠QBC， 根据有两组角对应相等的三角形相似得出 △BCQ∽△BA1D ；
（3） 猜想∠BCC1＝90°， 理由如下：根据等边三角形的性质得出 ∠CBA＝∠A1BC1＝60°，A1B＝C1B，AB＝CB， 故 ∠ABA1＝∠CBC1， 从而利用SAS判断出 △A1BA≌△C1BC ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BCC1＝∠BAA1＝90 °。
17．【答案】（1）证明：∵AB平分∠CAD
∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠D=90
∴△ABC∽△ADB
（2）解：由（1）得△ABC∽△ADB
∴ ，
即
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）由（1）中已证的相似三角形性质可找出AC、AD、AB的关系，代入数值即可求出AB。
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3
∴△ADF∽△DEC
（3）解：∵AE⊥BC，∴AE⊥AD
∴DE=
由上可得△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴
∴
∴AF=
【知识点】三角形的外角性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形对角相等可知：∠AFE=∠B=∠ADC；由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可知∠AFE=∠ADF+DAF，即可得∠DAF＝∠CDE；
（2）利用对应两角相等的两个三角形相似即可得证；
（3）利用勾股定理可求出DE长，再由（2）中已证的相似三角形的性质即可求出AF长。
19．【答案】（1）解：∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．
∵∠B=∠APD，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，
∴ ，
∵点P是边BC的中点，
∴BP=CP=3 ，
∵CE=4，
∴ ，
∴BD= ，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，
即AC⊥AB且AC=AB=6，
∴AD=AB﹣BD=6﹣ = ，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，
在Rt△ADE中，DE= ．
故答案是： ．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
（1）如图①，由条件AB∥CD，∠B=90°， 易得 ∠C=∠B=90°， 由另一条件∠APD=90° 可知，要证 △ABP∽△PCD 还差一对角相等；接下来需找∠BAP=∠DPC，显然这两个角都与∠APB 互补，故它们相等. 还可以找哪一对角相等呢？
（2）如图②，与第（1）题相比，第（2）题的图形虽然发生了变化，但是结论没变，条件也几乎没变（第（1）的条件可看作∠B=∠C=∠APD=90° ），通过类比可知，它们有相同的证明思路：除已知条件∠B=∠C外，还需找∠BAP=∠DPC，由图可知∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC，而∠B=∠APD，易得∠BAP=∠DPC.
（3）如图③， 由∠B=∠C=45°可知，△ABC是一个等腰直角三角形，由斜边BC=6 ，可求得AC=AB=6，由CE=4，易得AE=2，只需求出AD的长，就可利用勾股定理求出DE的长. 与前两题作比，易得△BDP∽△CPE，，而BP=CP=3 ，CE=4，可求BD，进而求出AD.
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