初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·广州模拟）下列命题中，错误的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．菱形的一条对角线平分一组对角
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形性质得出，不符合题意；
C．菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，不符合题意；
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质以及正方形的判定逐项分析即可.
2．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：D．
【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案.
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；
故B符合题意；
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），
∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD
∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。
4．（2019九上·靖远期末）在四边形 中， 是对角线 、 的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法逐一判断即可.
5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形(填一个即可).
【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：当∠BAD=90°
∵菱形ABCD
∴四边形ABCD是正方形；
当BD=AC
∵菱形ABCD
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）
【分析】利用有一个角是直角的菱形是正方形，可添加四边形ABCD的一个内角是90°，或添加对角线相等。
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
7．（2018九上·运城月考）如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形.
【答案】AC=BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当AC=BC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
【分析】由条件可知四边形BECF是菱形，要想成为正方形需保证∠ACB=90，即∠ABC=45°,也就是△ABC是等腰直角三角形。
8．（2019九上·兰州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2,0）、B(0，-2)、C（2,0）、D（0，2）,求证：四边形ABCD是正方形.
【答案】证明：由四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(-2.0)、B(0，-2)、C(2，0)、D(0，2),
可知OA=OB=OC=OD=2，
∴四边形ABCD为矩形.
∵
∴四边形ABCD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】由点A、B、C、D的坐标可得OA=OB=OC=OD=2，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，由图知，AC⊥BC，根据对角线互相垂直的矩形是正方形可求证。
9．如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.
（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形 请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理HG∥BD，HG=BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=BD，EH=FG=AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
二、提高特训
10．（2019八下·昭通期末）矩形各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAC=90°，∠ABC=90°，
AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
则∠BAE+∠ABE=45°+45°=90°，
∴∠AEB=90°，
同理得∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵∠BAF=∠HCB=45°，
.∴△BHC为等腰直角三角形，
∴BH=HC，
∵∠AEB=∠DGC，∠EAB=∠GDC=45°，AB=DC，
∴△ABE≌△DGC（AAS），
∴BE=GC，
∴BH-BE=HC-GC，
即HE=HG，
∴四边形EFGH为正方形；
故答案为：D.
【分析】由四边形ABCD为矩形，得∠DAC和∠ABC都是直角，AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
求得∠BAE和∠ABE之和为90°，则∠AEB为直角，同理求得∠EFG、∠FGH和∠GHE都是直角，
则四边形EFGH为矩形；因为∠BAF=∠HCB=45°，等角对等边得BH=HC，然后再根据角角边定理证得△ABE≌△DGC，由全等三角形对应边相等，得BE=GC，于是根据等式的性质得HE=HG，则邻边相等的矩形是正方形。
11．（2019·抚顺）如图， ， 是四边形 的对角线，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ， ，要使四边形 为正方形，则需添加的条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
四边形 为平行四边形，
当 时， ，
平行四边形 是菱形；
当 时， ，即 ，
菱形 是正方形；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理得出 ， ， ， ，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形 为平行四边形，当 时， ，根据四边相等的四边形是菱形得出： 平行四边形 是菱形，当 时， ，即 ，根据有一个角的直角的菱形是正方形得出结论.
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于M点，
∴ME=MF，
∴四边形EMFN为菱形。
∵AD＝2AB，点E是AD的中点，
∴AE=DE=AB=CD，
而∠ABC=∠ADC=
∴∠AEB=∠DEC=，
∴∠MEN=，
∴四边形EMFN是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再根据三角形的中位线定理可得AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，由平行四边形的性质可得BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EMFN为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ABFE为矩形，所以由矩形的对角线相等且互相平分可得ME=MF，再根据AD＝2AB和已知条件可得AB=AE=DE，由等腰直角三角形的性质可得∠AEB=∠DEC=，则∠MEN=，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形EMFN是正方形。
13．（2018八下·合肥期中）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
【答案】1：2
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】当AB=时，四边形MENF为正方形，因为此时，AB=AM=BN，并且△ABM、△MDC、△BEN，△NCF都是等腰直角三角形，并且点E、F分别是BM和CM的中点，所以四边形MENF是正方形.
14．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·广州模拟）下列命题中，错误的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．菱形的一条对角线平分一组对角
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
2．要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
4．（2019九上·靖远期末）在四边形 中， 是对角线 、 的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
5．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形(填一个即可).
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是 .(填序号)
7．（2018九上·运城月考）如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形.
8．（2019九上·兰州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-2,0）、B(0，-2)、C（2,0）、D（0，2）,求证：四边形ABCD是正方形.
9．如图,点E,F, G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.
（1）求证:四边形EFGH是平行四边形.
（2）若连接AC,BD, 则当AC,BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形 请说明理由.
二、提高特训
10．（2019八下·昭通期末）矩形各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
11．（2019·抚顺）如图， ， 是四边形 的对角线，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ， ，要使四边形 为正方形，则需添加的条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
13．（2018八下·合肥期中）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
14．（2020八下·建湖月考）△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，根据矩形性质得出，不符合题意；
C．菱形的一条对角线平分一组对角；根据菱形性质得出，不符合题意；
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据正方形判定得出，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质以及正方形的判定逐项分析即可.
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：D．
【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；
故B符合题意；
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），
∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD
∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。
4．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法逐一判断即可.
5．【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：当∠BAD=90°
∵菱形ABCD
∴四边形ABCD是正方形；
当BD=AC
∵菱形ABCD
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）
【分析】利用有一个角是直角的菱形是正方形，可添加四边形ABCD的一个内角是90°，或添加对角线相等。
6．【答案】①③④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】①AB⊥AD说明有一个角是直角，AB=AD说明有一组邻边相等，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以正确；
②AB=BD说明一条边与对角线相等，AB⊥BD说明一条边与对角线垂直，没有这样的判定条件可以判定平行四边形是正方形，所以错误；
③OB=OC说明对角线相等，OB⊥OC说明对角线互相垂直，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，所以正确；
④AB=AD说明有一组邻边相等，AC=BD说明对角线相等，有一组邻边相等，对角线相等的平行四边形是正方形，所以正确。
故答案为：①③④
【分析】①中有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形，这是正方形的定义，所以能判定平行四边形ABCD是正方形；③中对角线相等说明这个平行四边形是矩形，且对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形，所以这个平行四边形是正方形；④中一组邻边相等说明这个平行四边形是菱形，对角线相等说明这个平行四边形是矩形，所以这个平行四边形是正方形，唯独②中的条件不能判定这个平行四边形是正方形。
7．【答案】AC=BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当AC=BC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
【分析】由条件可知四边形BECF是菱形，要想成为正方形需保证∠ACB=90，即∠ABC=45°,也就是△ABC是等腰直角三角形。
8．【答案】证明：由四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(-2.0)、B(0，-2)、C(2，0)、D(0，2),
可知OA=OB=OC=OD=2，
∴四边形ABCD为矩形.
∵
∴四边形ABCD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】由点A、B、C、D的坐标可得OA=OB=OC=OD=2，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，由图知，AC⊥BC，根据对角线互相垂直的矩形是正方形可求证。
9．【答案】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、F分别是CD和CB的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理HG∥BD，HG=BD，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）解：如图，连接AC、BD，当AC,BD相等且互相垂直时，四边形EFGH是正方形，理由如下：由上题知EF=HG=BD，EH=FG=AC，∵AC=BD，∴EF=FG=HG=EH，∵EH∥AC，HG∥BD，∴∠EHF=∠CMB=90°，∴四边形EFGH是正方形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，由三角形的中位线定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，则EF和HG平行且相等，可证四边形EFGH是平行四边形.
（2）当AC=BD时，由中位线定理可得四边形EFGH的各边相等，因为四边形的邻边和AC和BD分别平行，可知它们的夹角相等，故AC和BD垂直时，四边形EFGH的各内角也等于90°，故四边形EFGH是正方形.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAC=90°，∠ABC=90°，
AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
则∠BAE+∠ABE=45°+45°=90°，
∴∠AEB=90°，
同理得∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵∠BAF=∠HCB=45°，
.∴△BHC为等腰直角三角形，
∴BH=HC，
∵∠AEB=∠DGC，∠EAB=∠GDC=45°，AB=DC，
∴△ABE≌△DGC（AAS），
∴BE=GC，
∴BH-BE=HC-GC，
即HE=HG，
∴四边形EFGH为正方形；
故答案为：D.
【分析】由四边形ABCD为矩形，得∠DAC和∠ABC都是直角，AE平分∠DAC，BE平分∠ABC，
求得∠BAE和∠ABE之和为90°，则∠AEB为直角，同理求得∠EFG、∠FGH和∠GHE都是直角，
则四边形EFGH为矩形；因为∠BAF=∠HCB=45°，等角对等边得BH=HC，然后再根据角角边定理证得△ABE≌△DGC，由全等三角形对应边相等，得BE=GC，于是根据等式的性质得HE=HG，则邻边相等的矩形是正方形。
11．【答案】A
【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 分别是 ， 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
四边形 为平行四边形，
当 时， ，
平行四边形 是菱形；
当 时， ，即 ，
菱形 是正方形；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理得出 ， ， ， ，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形 为平行四边形，当 时， ，根据四边相等的四边形是菱形得出： 平行四边形 是菱形，当 时， ，即 ，根据有一个角的直角的菱形是正方形得出结论.
12．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于M点，
∴ME=MF，
∴四边形EMFN为菱形。
∵AD＝2AB，点E是AD的中点，
∴AE=DE=AB=CD，
而∠ABC=∠ADC=
∴∠AEB=∠DEC=，
∴∠MEN=，
∴四边形EMFN是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，再根据三角形的中位线定理可得AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，由平行四边形的性质可得BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EMFN为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ABFE为矩形，所以由矩形的对角线相等且互相平分可得ME=MF，再根据AD＝2AB和已知条件可得AB=AE=DE，由等腰直角三角形的性质可得∠AEB=∠DEC=，则∠MEN=，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形EMFN是正方形。
13．【答案】1：2
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】当AB=时，四边形MENF为正方形，因为此时，AB=AM=BN，并且△ABM、△MDC、△BEN，△NCF都是等腰直角三角形，并且点E、F分别是BM和CM的中点，所以四边形MENF是正方形.
14．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及角平分线，推出∠OFC=∠OCF，进而得出OF=OC，同理：OE=OC，得证；
（2）当点O运动到AC中点处时，OA=OC，由第（1）知，OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证出四边形AECF是平行四边形. 由CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，得出∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，即∠FCE=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出结论；
（3）由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形. 由题设MN∥BC，当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形. 四边形AECF既是矩形，又是菱形，故是正方形.
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