初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 强化提升训练
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则cos∠ODA= （ ）
A． B． C． D．
2．（2019·龙岗模拟）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝ mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中符合题意结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019·宜宾）如图， 的顶点O是边长为2的等边 的重心， 的两边与 的边交于E，F， ，则 与 的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·台湾）如图，有一三角形ABC的顶点B，C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A'B'C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A＜∠B＜∠C，则下列叙述何者正确？（ ）
A．IC和 平行， 和L平行
B．IC和 平行， 和L不平行
C．IC和 不平行， 和L平行
D．IC和 不平行， 和L不平行
5．（2019·武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·秀洲模拟）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于( ）
A．180°- β B．180°-β
C．90°+ β D．90°+β
7．（2019九下·乐清月考）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（ ）
A． B． C．12 D．14
8．（2019·天山模拟）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则 ＝（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
二、填空题
9．（2019·鄂尔多斯）如图，在圆心角为90°的扇形 中， ， 为 上任意一点，过点 作 于点 ，设 为 的内心，当点 从点 运动到点 时，则内心 所经过的路径长为 ．
10．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
11．（2019九上·海淀期中）如图，在 中，
⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；
⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；
⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，
① ； ② ；
③点O是 的外心 ； ④点P是 的内心.
所有正确结论的序号是 .
12．（2019·武昌模拟）如图，AB为弓形AB的弦，AB＝2 ，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为 .
三、综合题
13．（2019·襄阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求优弧 的长.
14．（2019·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).
（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为 ：MN的最小值为 .
（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切
15．如图
（1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．
（2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、……、an，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）
16．（2019·青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 ， ， 为三角形三边， 为面积，则 ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ②
（1）尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；
（3）问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为 ，三角形三边长为 ， ， ，仍记 ， 为三角形面积，则 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆O与△ABC的三边分别相切于点E、F、M，连接OM、OE、OF，
∴CM=CF，BM=BE，AF=AE
∴∠C=∠CMO=∠CFO=90°
∴△CMOF是正方形，
∴OM=OF=CM
在Rt△ABC中
AB=，
设OM=r
则BM=BE=8-r，AF=AE=6-r，
∵AB=10
∴8-r+6-r=10
解之：r=2
∴OE=2，BE=8-2=6，
∵点D是AB的中点
∴BD=5
∴DE=6-5=1，
在Rt△ODE中
OD=
∴cos∠ODA=
故答案为：A
【分析】设圆O与△ABC的三边分别相切于点E、F、M，连接OM、OE、OF，利用切线长定理可证CM=CF，BM=BE，AF=AE，及△CMOF是正方形，利用正方形的性质，可证得OM=OF=CM，再利用勾股定理求出AB的长，设圆的半径为r，用含r的代数式分别表示出BE、AE的长，根据AB=10建立关于r的方程，解方程求出r的值，可得到BE、OE的长，由中点的定义求出BD的长，继而可求出DE的长，利用勾股定理求出OD，然后利用锐角三角函数的定义即可求解。
2．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故①符合题意；
假设EF是△ABC的中位线，则EA＝EB，FA＝FC，
∴EO＝EA，FO＝FA，
∴EA+FA＝EO+FO＝EF，
推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，
∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论符合题意；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故③符合题意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EAB＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FO＝FC，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④符合题意．
∴其中正确的结论是①②③④．
故答案为：D．
【分析】分别根据题意，已知点O为三角形的内心，将4个选项进行验证计算即可。
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 ，过点O作 ，垂足为N，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点O为 的内心
∴ ， ．
∴ ．
∴ ． ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴
故答案为：C．
【分析】连接 OB 、OC ，过点O作 ，垂足为N，根据点O是等边三角形ABC的内心，可得∠OBC=∠OCB=30°.先求出ON的长，利用三角形的面积公式求出△OBC的面积，根据“ASA”可证△EOB≌△FOC，从而可得阴影部分的面积等于△OBC的面积，求出△OBC的面积即可.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质
【解析】【解答】解：作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，如图所示：
则ID∥I'F，
∵△ABC的内心为I，△A'B'C的内心为I′，
∴ID=IE=IF，∠ICD- ∠ACB，∠I'A'C= ∠B'A'C，
∴四边形IDFI'是矩形，
∴II'∥L，
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴∠A'＜∠B'＜∠C，
∴∠ICD＞∠I'A'C，
∴IC和I'A'不平行，
故答案为：C.
【分析】作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，由内心的性质得出ID=IE=IF，∠ICD=∠ACB，∠I'A'C=∠B'A'C，证出四边形IDFI'是矩形，得出II'∥L，证出∠ICD＞∠I'A'C，得出IC和I'A'不平行。
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接EB．
设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴
故答案为：A
【分析】连接EB，设OA＝r，利用圆周角定理，就可求出AD=DB=r，可证得∠ADB=90°，因此可得点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，利用圆周角定理可得到∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，然后利用弧长公式，就可求出弧MN与弧GF的比。
6．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IC，
∵ CD∥OA ，
∴∠AOC=∠OCD,
∵∠AOC＋∠COB=∠AOB= β ,
∴∠OCD+∠COB= β ,
∵ 点I是△OCD的内心 ,
∴∠COI＋∠OCI=,
∴ ∠OIC=180°-(∠COI＋∠OCI)= 180°- β ;
在△COI与△BOI中，
∵OC=OB,∠COI=∠BOI,OI=OI,
∴△COI≌△BOI,
∴ ∠OIB =∠OIC= 180°- β.
故答案为：A。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠AOC=∠OCD，根据角的和差及等量代换得出∠OCD+∠COB= β ，然后根据三角形内心的定义得出∠COI＋∠OCI=，进而根据三角形的内角和得出∠OIC=180°- β，最后根据SAS判断出△COI≌△BOI,根据全等三角形对应角相等得出∠OIB =∠OIC，从而得出答案。
7．【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F
∴∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF
∴四边形OFCE是正方形，
∴OE=CE，∠FOE=90°
⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别平分∠BAC， ∠ABC
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∠AOB=180°-45°=135°
∴AB=
设圆O的半径为r，
∴
即
解之：r=2
∴S阴影部分=
=
故答案为：B
【分析】设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F，利用切线的性质，可知四边形OFCE是正方形，可证得OE=CE，再求出圆心角∠AOB，∠FOE的度数，利用勾股定理求出AB的长，设圆O的半径为r，利用三角形的面积公式，建立关于r的方程，就可求出圆的半径，然后利用扇形的面积公式及三角形的面积公式，列式求出阴影部分的面积。
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠BAC＝90°，M为斜边BC上中线，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠MAC＝∠MCA，
∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，
∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，
∴∠GAE+∠EAM＝90°，∠EAM+∠MAC＝90°，∠MAC+∠CAN＝90°，
∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，
∵∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ，
∴∠Q＝∠NPQ，
∴PN＝QN，
∴ ＝1，
故答案为：A.
【分析】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，根据有一组邻边相等的矩形判断四边形AEOF是正方形，再利用正方形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证出∠AEF＝∠AFE，∠MAC＝∠MCA，由同角的余角相等可得∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，再根据三角形的外角的性质∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，利用等量代换求出∠Q＝∠NPQ，再由等角对等边即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，以 为斜边在 的右边作等腰 ，以 为圆心 为半径作⊙ ，在优弧 上取一点H，连接 ， ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∵点 是内心，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴点 的运动轨迹是 ，
∴内心 所经过的路径长 ，
故答案为 ．
【分析】以 OB 为斜边在 OB 的右边作等腰 ，以 为圆心 PB 为半径作⊙ ，在优弧 OB 上取一点H，连接 ， ， ， ．根据题意，结合内心的概念即可证明，根据三角形全等的性质得到点M的运动轨迹。
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
11．【答案】①③④
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】 (1)∵O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,∴ (2)在 中,AM=BM,由三角形两边之和大于第三边可得AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3) O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,正确.(4) 由垂径定理知 ,∴∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的平分线,因此点P是 的内心.
【分析】(1)点O是圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,可知 (2) 中,AM=BM,AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3)三角形三边中垂线的交点是外心,正确.(4) 由垂径定理知 ,所以∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的角平分线,因此点P是 的内心.
12．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OA，过O作 ，
，
，
在Rt 中， ，
，
，
，
连接IA，IB，
点I为 的内心，
， ，
，
，
点P为弧AB上动点，
始终等于 ，
点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，
则 ，
，
，
连接 ，
，
，
，
点I移动的路径长
故答案为：
【分析】连接OB，OA，连接IA，IB，过O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得AD=BD=AB，解直角三角形结合特殊角的三角函数值可求得∠AOD的度数，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠AOD，∠P=∠AOB，根据角平分线的性质和三角形内角和定理可得∠AIB=180-（∠PAB+∠PBA）；设A，B，I三点所在的圆的圆心为 ，连接 ， ，连接 ，易求得∠AO B的度数，由等腰三角形的性质可得∠O AB=∠O BA，解直角三角形可求得AO 的长，然后根据弧长公式即可求解。
13．【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆 的切线
（2）解：连接 、 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴优弧 的长＝
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点，可证∠BAD=∠CAD，由此可证弧BD=弧CD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，再结合已知条件可证得OD⊥DG，利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形内心的定义，可证得∠ABE=∠CBE，再根据三角形外角的性质及角的和差，可证得∠DEB=∠DBE，利用等角对等边易证DB=DE，再利用垂径定理求出BH的长，利用解直角三角形求出∠BDH的度数，从而可证得△OBD是等边三角形，就可求出∠BOC的度数，然后利用弧长公式进行计算。
14．【答案】（1）24cm；(9 -6）cm
（2）解：当点O与BC的中点重合时，点O移动了12cm，
如解图3，设半圆O与AB交于点H，连接OH,CH.
∵BC是半圆O的直径，∴∠CHB=90°，
∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠HBC=∠HCB=45°,
∴HC=HB, ∴OH⊥BC,OH=OB=OC=6cm,
∴S=S扇形OHC十S△OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm2
（3）解：当半圆O与直线AC相切时，x=0或x=6，
当半圆O与直线AB相切，如解图4，
则半圆O在直线AB左侧且与直线AB相切，过点O作OH⊥AB于点H，由题意得OH=6cm，
∵∠ABC=450,∠OHB=90°,
∴OB=6 cm，
∴OC=BC-OB=(12-6 ）cm，
∴x= =9-3
综上所述，当x=0或x=6或x=9-3 时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）MN的最大值，即等于线段BD的长，即MV最大值为24cm，如解图2所示，过点O作ON⊥AB于点N，垂线段的长减去半径长，即为MN的最小值，
在Rt△OBN中，∵∠B=45°，∠ONB=90°，OB=OC+BC=18cm，∴ON=OB·sinB=18×sin450=9 cm,.MV的最小值=ON-OM=(9 -6)cm.
【分析】（1）MN的最大值，即为线段BD的长度；MN的最小值为ON-OM，根据题目所给的条件进行计算即可。
（2）点O与BC的中点重合时，点O运动了12cm，根据题意将面积转化为两个图形的和的形式，进行计算即可。
（3）半圆与直线相切时，根据题意可知，相切的情况存在多种情况，可以分情况进行讨论，根据题意求出
15．【答案】（1）解：∵S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB
＝ BC r+ AC r+ AB r
＝ r （BC+AC+AB），
∴r＝ ＝ ＝1
（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，OD，
∵S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD
＝ AB r+ BC r+ CD r+ AD r
＝ r （AB+BC+CD+AD），
∴r＝ ＝
（3）解：由（1）（2）知，内切圆半径r＝
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，可知S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB =6，列出关于r的方程，解方程求出r的值。
（2）连接OA，OB，OC，OD， 根据S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，可证得 S＝ r （AB+BC+CD+AD），就可求出四边形的内切圆与半径r的关系。
（3）根据（1）（2）的结果，可得出规律，即可得出求内切圆半径r的公式 。
16．【答案】（1）解：由①得： ，
由②得： ，
（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：
，
，
①中根号内的式子可化为：
，
（3）解：连接 、 、 ，如图所示：
.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）将a=5，b=7，c=8分别代入两个公式进行计算求出s的值，再比较大小，即可作出判断。
（2）将两个公式进行转换，可以推出结论。
（3）连接OA，OB，OC，利用切线的性质及三角形的面积公式，△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，进行推导，可证得结论。
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 强化提升训练
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则cos∠ODA= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆O与△ABC的三边分别相切于点E、F、M，连接OM、OE、OF，
∴CM=CF，BM=BE，AF=AE
∴∠C=∠CMO=∠CFO=90°
∴△CMOF是正方形，
∴OM=OF=CM
在Rt△ABC中
AB=，
设OM=r
则BM=BE=8-r，AF=AE=6-r，
∵AB=10
∴8-r+6-r=10
解之：r=2
∴OE=2，BE=8-2=6，
∵点D是AB的中点
∴BD=5
∴DE=6-5=1，
在Rt△ODE中
OD=
∴cos∠ODA=
故答案为：A
【分析】设圆O与△ABC的三边分别相切于点E、F、M，连接OM、OE、OF，利用切线长定理可证CM=CF，BM=BE，AF=AE，及△CMOF是正方形，利用正方形的性质，可证得OM=OF=CM，再利用勾股定理求出AB的长，设圆的半径为r，用含r的代数式分别表示出BE、AE的长，根据AB=10建立关于r的方程，解方程求出r的值，可得到BE、OE的长，由中点的定义求出BD的长，继而可求出DE的长，利用勾股定理求出OD，然后利用锐角三角函数的定义即可求解。
2．（2019·龙岗模拟）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+ ∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝ mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中符合题意结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故①符合题意；
假设EF是△ABC的中位线，则EA＝EB，FA＝FC，
∴EO＝EA，FO＝FA，
∴EA+FA＝EO+FO＝EF，
推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，
∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论符合题意；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故③符合题意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EAB＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FO＝FC，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④符合题意．
∴其中正确的结论是①②③④．
故答案为：D．
【分析】分别根据题意，已知点O为三角形的内心，将4个选项进行验证计算即可。
3．（2019·宜宾）如图， 的顶点O是边长为2的等边 的重心， 的两边与 的边交于E，F， ，则 与 的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 ，过点O作 ，垂足为N，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点O为 的内心
∴ ， ．
∴ ．
∴ ． ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴
故答案为：C．
【分析】连接 OB 、OC ，过点O作 ，垂足为N，根据点O是等边三角形ABC的内心，可得∠OBC=∠OCB=30°.先求出ON的长，利用三角形的面积公式求出△OBC的面积，根据“ASA”可证△EOB≌△FOC，从而可得阴影部分的面积等于△OBC的面积，求出△OBC的面积即可.
4．（2019·台湾）如图，有一三角形ABC的顶点B，C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A'B'C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A＜∠B＜∠C，则下列叙述何者正确？（ ）
A．IC和 平行， 和L平行
B．IC和 平行， 和L不平行
C．IC和 不平行， 和L平行
D．IC和 不平行， 和L不平行
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质
【解析】【解答】解：作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，如图所示：
则ID∥I'F，
∵△ABC的内心为I，△A'B'C的内心为I′，
∴ID=IE=IF，∠ICD- ∠ACB，∠I'A'C= ∠B'A'C，
∴四边形IDFI'是矩形，
∴II'∥L，
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴∠A'＜∠B'＜∠C，
∴∠ICD＞∠I'A'C，
∴IC和I'A'不平行，
故答案为：C.
【分析】作ID⊥BA'于D，IE⊥AC于E，I'F⊥BA'于F，由内心的性质得出ID=IE=IF，∠ICD=∠ACB，∠I'A'C=∠B'A'C，证出四边形IDFI'是矩形，得出II'∥L，证出∠ICD＞∠I'A'C，得出IC和I'A'不平行。
5．（2019·武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接EB．
设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴
∴AD＝DB＝r，
∴∠ADB＝90°，
∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴
故答案为：A
【分析】连接EB，设OA＝r，利用圆周角定理，就可求出AD=DB=r，可证得∠ADB=90°，因此可得点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，利用圆周角定理可得到∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，然后利用弧长公式，就可求出弧MN与弧GF的比。
6．（2019·秀洲模拟）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于( ）
A．180°- β B．180°-β
C．90°+ β D．90°+β
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IC，
∵ CD∥OA ，
∴∠AOC=∠OCD,
∵∠AOC＋∠COB=∠AOB= β ,
∴∠OCD+∠COB= β ,
∵ 点I是△OCD的内心 ,
∴∠COI＋∠OCI=,
∴ ∠OIC=180°-(∠COI＋∠OCI)= 180°- β ;
在△COI与△BOI中，
∵OC=OB,∠COI=∠BOI,OI=OI,
∴△COI≌△BOI,
∴ ∠OIB =∠OIC= 180°- β.
故答案为：A。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠AOC=∠OCD，根据角的和差及等量代换得出∠OCD+∠COB= β ，然后根据三角形内心的定义得出∠COI＋∠OCI=，进而根据三角形的内角和得出∠OIC=180°- β，最后根据SAS判断出△COI≌△BOI,根据全等三角形对应角相等得出∠OIB =∠OIC，从而得出答案。
7．（2019九下·乐清月考）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】B
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F
∴∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF
∴四边形OFCE是正方形，
∴OE=CE，∠FOE=90°
⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别平分∠BAC， ∠ABC
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∠AOB=180°-45°=135°
∴AB=
设圆O的半径为r，
∴
即
解之：r=2
∴S阴影部分=
=
故答案为：B
【分析】设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F，利用切线的性质，可知四边形OFCE是正方形，可证得OE=CE，再求出圆心角∠AOB，∠FOE的度数，利用勾股定理求出AB的长，设圆O的半径为r，利用三角形的面积公式，建立关于r的方程，就可求出圆的半径，然后利用扇形的面积公式及三角形的面积公式，列式求出阴影部分的面积。
8．（2019·天山模拟）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN.△ABC的内切圆与边AB，AC的切点分别为E，F，延长EF分别与AN，BC的延长线交于P、Q，则 ＝（ ）
A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠BAC＝90°，M为斜边BC上中线，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠MAC＝∠MCA，
∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，
∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，
∴∠GAE+∠EAM＝90°，∠EAM+∠MAC＝90°，∠MAC+∠CAN＝90°，
∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，
∵∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ，
∴∠Q＝∠NPQ，
∴PN＝QN，
∴ ＝1，
故答案为：A.
【分析】取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，根据有一组邻边相等的矩形判断四边形AEOF是正方形，再利用正方形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证出∠AEF＝∠AFE，∠MAC＝∠MCA，由同角的余角相等可得∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，再根据三角形的外角的性质∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，利用等量代换求出∠Q＝∠NPQ，再由等角对等边即可求出答案.
二、填空题
9．（2019·鄂尔多斯）如图，在圆心角为90°的扇形 中， ， 为 上任意一点，过点 作 于点 ，设 为 的内心，当点 从点 运动到点 时，则内心 所经过的路径长为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，以 为斜边在 的右边作等腰 ，以 为圆心 为半径作⊙ ，在优弧 上取一点H，连接 ， ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∵点 是内心，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴点 的运动轨迹是 ，
∴内心 所经过的路径长 ，
故答案为 ．
【分析】以 OB 为斜边在 OB 的右边作等腰 ，以 为圆心 PB 为半径作⊙ ，在优弧 OB 上取一点H，连接 ， ， ， ．根据题意，结合内心的概念即可证明，根据三角形全等的性质得到点M的运动轨迹。
10．（2019九下·江阴期中）如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
【分析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，根据平行四边形的性质及等边三角形的性质得出故可知黑色部分的面积=白色部分的面积=三角形ABC的面积，又三角形ABC的面积等于两边与其夹角正弦函数值乘积的一半，从而列出方程求解算出等边三角形的边长，进而算出等边三角形的高根据内心的性质即可得出答案。
11．（2019九上·海淀期中）如图，在 中，
⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；
⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；
⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，
① ； ② ；
③点O是 的外心 ； ④点P是 的内心.
所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】 (1)∵O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,∴ (2)在 中,AM=BM,由三角形两边之和大于第三边可得AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3) O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,正确.(4) 由垂径定理知 ,∴∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的平分线,因此点P是 的内心.
【分析】(1)点O是圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,可知 (2) 中,AM=BM,AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3)三角形三边中垂线的交点是外心,正确.(4) 由垂径定理知 ,所以∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的角平分线,因此点P是 的内心.
12．（2019·武昌模拟）如图，AB为弓形AB的弦，AB＝2 ，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OA，过O作 ，
，
，
在Rt 中， ，
，
，
，
连接IA，IB，
点I为 的内心，
， ，
，
，
点P为弧AB上动点，
始终等于 ，
点I在以AB为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设A，B，I三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，
则 ，
，
，
连接 ，
，
，
，
点I移动的路径长
故答案为：
【分析】连接OB，OA，连接IA，IB，过O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得AD=BD=AB，解直角三角形结合特殊角的三角函数值可求得∠AOD的度数，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠AOD，∠P=∠AOB，根据角平分线的性质和三角形内角和定理可得∠AIB=180-（∠PAB+∠PBA）；设A，B，I三点所在的圆的圆心为 ，连接 ， ，连接 ，易求得∠AO B的度数，由等腰三角形的性质可得∠O AB=∠O BA，解直角三角形可求得AO 的长，然后根据弧长公式即可求解。
三、综合题
13．（2019·襄阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 .
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）若 ， ，求优弧 的长.
【答案】（1）证明：连接 交 于 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆 的切线
（2）解：连接 、 ，如图，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴优弧 的长＝
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形的内心是三角形三个角的角平分线的交点，可证∠BAD=∠CAD，由此可证弧BD=弧CD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，再结合已知条件可证得OD⊥DG，利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形内心的定义，可证得∠ABE=∠CBE，再根据三角形外角的性质及角的和差，可证得∠DEB=∠DBE，利用等角对等边易证DB=DE，再利用垂径定理求出BH的长，利用解直角三角形求出∠BDH的度数，从而可证得△OBD是等边三角形，就可求出∠BOC的度数，然后利用弧长公式进行计算。
14．（2019·石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s），半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).
（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为 ：MN的最小值为 .
（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与△ABC重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O与△ABC的边所在的直线相切
【答案】（1）24cm；(9 -6）cm
（2）解：当点O与BC的中点重合时，点O移动了12cm，
如解图3，设半圆O与AB交于点H，连接OH,CH.
∵BC是半圆O的直径，∴∠CHB=90°，
∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠HBC=∠HCB=45°,
∴HC=HB, ∴OH⊥BC,OH=OB=OC=6cm,
∴S=S扇形OHC十S△OHB= π×62+ ×62=(18+9π）cm2
（3）解：当半圆O与直线AC相切时，x=0或x=6，
当半圆O与直线AB相切，如解图4，
则半圆O在直线AB左侧且与直线AB相切，过点O作OH⊥AB于点H，由题意得OH=6cm，
∵∠ABC=450,∠OHB=90°,
∴OB=6 cm，
∴OC=BC-OB=(12-6 ）cm，
∴x= =9-3
综上所述，当x=0或x=6或x=9-3 时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）MN的最大值，即等于线段BD的长，即MV最大值为24cm，如解图2所示，过点O作ON⊥AB于点N，垂线段的长减去半径长，即为MN的最小值，
在Rt△OBN中，∵∠B=45°，∠ONB=90°，OB=OC+BC=18cm，∴ON=OB·sinB=18×sin450=9 cm,.MV的最小值=ON-OM=(9 -6)cm.
【分析】（1）MN的最大值，即为线段BD的长度；MN的最小值为ON-OM，根据题目所给的条件进行计算即可。
（2）点O与BC的中点重合时，点O运动了12cm，根据题意将面积转化为两个图形的和的形式，进行计算即可。
（3）半圆与直线相切时，根据题意可知，相切的情况存在多种情况，可以分情况进行讨论，根据题意求出
15．如图
（1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值．
（2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值．
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、……、an，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由）
【答案】（1）解：∵S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB
＝ BC r+ AC r+ AB r
＝ r （BC+AC+AB），
∴r＝ ＝ ＝1
（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，OD，
∵S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD
＝ AB r+ BC r+ CD r+ AD r
＝ r （AB+BC+CD+AD），
∴r＝ ＝
（3）解：由（1）（2）知，内切圆半径r＝
【知识点】切线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，可知S＝S△BOC+S△AOC+S△AOB =6，列出关于r的方程，解方程求出r的值。
（2）连接OA，OB，OC，OD， 根据S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，可证得 S＝ r （AB+BC+CD+AD），就可求出四边形的内切圆与半径r的关系。
（3）根据（1）（2）的结果，可得出规律，即可得出求内切圆半径r的公式 。
16．（2019·青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 ， ， 为三角形三边， 为面积，则 ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ②
（1）尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ；
（3）问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为 ，三角形三边长为 ， ， ，仍记 ， 为三角形面积，则 .
【答案】（1）解：由①得： ，
由②得： ，
（2）解：公式①和②等价；推导过程如下：
，
，
①中根号内的式子可化为：
，
（3）解：连接 、 、 ，如图所示：
.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）将a=5，b=7，c=8分别代入两个公式进行计算求出s的值，再比较大小，即可作出判断。
（2）将两个公式进行转换，可以推出结论。
（3）连接OA，OB，OC，利用切线的性质及三角形的面积公式，△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，进行推导，可证得结论。
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