初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）.
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
2．如图,是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（ ）．
A．4或6 B．3或5 C．1或7 D．3或6
3．（2019·淄博模拟）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．6
4．（2019·余姚会考）如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2019·汇川模拟）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
6．（2019八上·民勤月考）如果正方形的对角线长为 ，那么这个正方形的面积为 .
7．（2019八下·忻城期中）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 .
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
9．（2019·杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
二、提高特训
10．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
11．（2020九下·安庆月考）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF。下列结论正确的是（ ）
A．CE= B．EF=
C．cos∠CEP= D．HF2=EF·CF
12．（2019九上·福田期中）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠的面积之和是（ ）
A．n B．n-1 C．4n D．4（n-1）
13．（2020·温州模拟）如图，设正 △ EFG内接于正方形ABCD，其中，E、F、G分别在边AB、AD、BC上，若 ， 则 .
14．（2019·松北模拟）如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，将 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且使 .若 ， ，则四边形 的周长为 .
15．（2019·南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN= ，求 的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，故A不合题意；
B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，故B不合题意；
C、正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C合题意；
D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不合题意；
故选：C.
【分析】正方形的四条边相等，对角线互相垂直、平分、相等，且对角线平分一组对角；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C
根据题意可知：EF=3；CM=9-x且四边形EACB为矩形
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等
∴ x(9-x)=6×3
x2-9x+18=0
解得：x=3，或x=6，
故答案为：D．
【分析】如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C，根据正方形的性质及矩形的性质可以得出EF,的长，进而即可表示出CM的长，进而再根据矩形的一条对角线，将矩形分割成两面积相等的三角形，从而即可题意即可得出矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等，根据矩形的面积计算方法列出方程，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可求出大正方形的边长及小正方形的边长，图中阴影部分利用平移可得一个矩形，利用矩形的面积公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，正方形④的边长为d
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD=a+b，AD=BC
∴AB+a-b+BC-b-c+2c+AB-c-d+2d+BC-a-d
=2AB+2BC-2b
∴在矩形ABCD的周长已知的情况下，只需知道正方形②的边长，就可求出阴影部分的面积，
故答案为：B
【分析】设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，正方形④的边长为d，利用矩形的的对边相等，正方形的四边相等，就可列出阴影部分的周长，再化简就可求出结果。
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ
∴a= ，
∵ ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50,
把a= 代入化简求值得b+c=10, ∴a=5,
∴正方形EFGH的边长为5，
∴正方形EFGH的面积为25，
故答案为：B.
【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据 ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.
6．【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积= .
故答案为：1.
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
7．【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AE，
∴∠E＝∠ACE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD＝90 ，∠BAC＝45 ，
∴∠E+∠ACE＝45 ，
∴∠ACE＝ ×45 ＝22.5 ，
故答案为：22.5 .
【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45 ，再由三角形的外角性质即可得出结果.
8．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
9．【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，CE=CG，设小正方形边长CE=x，则DE=1-x，由S1=S2列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH= ，在Rt△DHC中，根据勾股定理求得HD= ，再由HG=HC+CG= ，即HD=HG.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
11．【答案】D
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EH。
在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB∥CD，AB=BC=CD=AD=2
∵P为CD的中点 ∴PC=
又∵ AP⊥BE，CH⊥BE∴AP∥CH
∴四边形APCH是平行四边形 ∴AH=PC=1 ∴BH=AH=1
在Rt△ABE中，EH=BH
又∵ CH⊥BE ∴BH=EH=
∴CH是BE的垂直平分线
∴CE=BC=2，故A错误；
∵CE=CB，CH=CH，EH=BH
∴△CEH≌△CBH
∴∠CEB=∠ABC=90°
又∵EH=AH=1，FH=FH
∴Rt△EFH≌Rt△AFH
∴AF=EF
设EF=AF=x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD2+DF2=CF2，即，22+（2-x）2=（2+x）2
解得 x=∴EF=，故B错误；
在Rt△CEH中，CH= ，∴cos∠ECH=
∵AP∥CH ∴∠CEP=∠ECH ，∴cos∠CEP=cos∠ECH=，故C错误；
在Rt△AFH中，HF2=AF2+AH2=（）2+1=
EF·CF=×（2+）=
∴HF2=EF·CF，故D正确。
故答案为：D.
【分析】先判断四边形APCH是平行四边形，再利用平行四边形的性质、中点的定义以及直角三角形斜边中线的性质得AH=BH=EH，然后利用线段的垂直平分线的判定和性质得CE=BE，然后在证得△CEH≌△CBH、Rt△EFH≌Rt△AFH，利用全等三角形的性质及勾股定理即可对各个选项一一作出判断。
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图示，由分别过点A1、A2、A3，垂直于两边的垂线，由图形的割补可知：一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即阴影部分的面积是 ，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和．
13．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥FG于点K，K是FG的中点，连接AK、KB，
易知E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆.
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°.
∴△ABK是等边三角形.
过点K作KM⊥AB于点M，M是AB的中点，设AB=6，
∴EB=AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=，
EK==，
EG==，
BG==.
∴=.
故答案为：.
【分析】作出辅助线，可知△ABK是等边三角形. 设出正方形的边长，这里设正方形的边长为6主要是①本题是选择题；②考虑后续便于计算，解直角三角形求出BG，再计算比值.
14．【答案】
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，AC⊥BD，
∵BE＝DF＝1，
∴OE＝OF＝3，且OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形
∴AE＝CE＝CF＝AF，
在Rt△COE中，CE＝ ＝ ＝
∴四边形AECF的周长为4
故答案为：4 .
【分析】设AC与BD交于点O，利用正方形的对角线的性质，可证AO＝CO＝BO＝DO＝2，AC⊥BD，再利用已知BE=DF，可证得OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，易证四边形AECF是菱形，根据菱形的性质，可知AE=CE=CF=EF，然后利用勾股定理求出CE的长，即可得到四边形AEF的周长。
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A=∠DCG=90°，
∴CD⊥CG；
（2）解：
∵CD⊥CG，DC⊥BC，
∴G、C、M三点共线
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，
又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM，
∴∠DME=∠DMG
又∠DMG=∠NMF，
∴∠DME=∠NMF，
又∵∠EDM=∠NFM=45°
∴△DME∽△FMN，
∴
又∵DE∥HF，
∴ ，
又∵ED=EF，
∴
在Rt△EFH中，tan∠HEF= ，
∴
（3）解：EM的长不可能为 。
理由：假设EM的长为 ，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG=∠ADC=90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM=GM= ，
∴GM= ，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
∴BM＜
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴CM＞
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，继而得出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，然后根据全等三角形的性质得出∠A=∠DCG=90°，即可得证；
（2）先由CD⊥CG，DC⊥BC判断出G、C、M三点共线，然后利用正方形的性质易得△EDM≌△GDM，根据全等三角形的性质得出∠DME=∠DMG，而∠DMG=∠NMF，等量代换得到∠DME=∠NMF，继而可证明△DME∽△FMN，得出
；由DE∥HF，得出
， 由ED=EF等量代换得
。在Rt△EFH中，tan∠HEF=
，所以
；
（3）假设EM=
。同（2）得EM=GM=
；在Rt△BEM中判断出BM＜
，得出CM＞
，进而得出CM＞GM，推出矛盾，假设不成立，即可得出结论．
1 / 1初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）.
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，故A不合题意；
B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，故B不合题意；
C、正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C合题意；
D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不合题意；
故选：C.
【分析】正方形的四条边相等，对角线互相垂直、平分、相等，且对角线平分一组对角；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角，据此逐一判断即可.
2．如图,是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（ ）．
A．4或6 B．3或5 C．1或7 D．3或6
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C
根据题意可知：EF=3；CM=9-x且四边形EACB为矩形
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等
∴ x(9-x)=6×3
x2-9x+18=0
解得：x=3，或x=6，
故答案为：D．
【分析】如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C，根据正方形的性质及矩形的性质可以得出EF,的长，进而即可表示出CM的长，进而再根据矩形的一条对角线，将矩形分割成两面积相等的三角形，从而即可题意即可得出矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等，根据矩形的面积计算方法列出方程，求解即可.
3．（2019·淄博模拟）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可求出大正方形的边长及小正方形的边长，图中阴影部分利用平移可得一个矩形，利用矩形的面积公式计算即可.
4．（2019·余姚会考）如图，四张大小不一的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙．在矩形ABCD的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得阴影部分的周长（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，正方形④的边长为d
∵ABCD是矩形，
∴AB=CD=a+b，AD=BC
∴AB+a-b+BC-b-c+2c+AB-c-d+2d+BC-a-d
=2AB+2BC-2b
∴在矩形ABCD的周长已知的情况下，只需知道正方形②的边长，就可求出阴影部分的面积，
故答案为：B
【分析】设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，正方形④的边长为d，利用矩形的的对边相等，正方形的四边相等，就可列出阴影部分的周长，再化简就可求出结果。
5．（2019·汇川模拟）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】设EF=a，BC=b，AB=c，则PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ
∴a= ，
∵ ALMN的面积为50，∴bc+a2+(a-c)2=50,
把a= 代入化简求值得b+c=10, ∴a=5,
∴正方形EFGH的边长为5，
∴正方形EFGH的面积为25，
故答案为：B.
【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据 ALMN的面积，求出各边长的关系，最后得出面积.
6．（2019八上·民勤月考）如果正方形的对角线长为 ，那么这个正方形的面积为 .
【答案】1
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】正方形的面积= .
故答案为：1.
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
7．（2019八下·忻城期中）如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 .
【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AE，
∴∠E＝∠ACE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD＝90 ，∠BAC＝45 ，
∴∠E+∠ACE＝45 ，
∴∠ACE＝ ×45 ＝22.5 ，
故答案为：22.5 .
【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45 ，再由三角形的外角性质即可得出结果.
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
9．（2019·杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，CE=CG，设小正方形边长CE=x，则DE=1-x，由S1=S2列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH= ，在Rt△DHC中，根据勾股定理求得HD= ，再由HG=HC+CG= ，即HD=HG.
二、提高特训
10．（2020八下·建湖月考）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如下图，过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
由辅助线得，∠CBF+∠BCF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF.
由辅助线得，l1到l2，l2到l3的距离分别是线段AE、CF的长，
∴在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2，
即：BC2=52+72=74.
即：正方形ABCD的面积是74.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，即线段AE、CF的长分别是l1到l2，l2到l3的距离，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF=AE，再根据勾股定理进而得出正方形ABCD的面积即可.
11．（2020九下·安庆月考）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF。下列结论正确的是（ ）
A．CE= B．EF=
C．cos∠CEP= D．HF2=EF·CF
【答案】D
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EH。
在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB∥CD，AB=BC=CD=AD=2
∵P为CD的中点 ∴PC=
又∵ AP⊥BE，CH⊥BE∴AP∥CH
∴四边形APCH是平行四边形 ∴AH=PC=1 ∴BH=AH=1
在Rt△ABE中，EH=BH
又∵ CH⊥BE ∴BH=EH=
∴CH是BE的垂直平分线
∴CE=BC=2，故A错误；
∵CE=CB，CH=CH，EH=BH
∴△CEH≌△CBH
∴∠CEB=∠ABC=90°
又∵EH=AH=1，FH=FH
∴Rt△EFH≌Rt△AFH
∴AF=EF
设EF=AF=x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD2+DF2=CF2，即，22+（2-x）2=（2+x）2
解得 x=∴EF=，故B错误；
在Rt△CEH中，CH= ，∴cos∠ECH=
∵AP∥CH ∴∠CEP=∠ECH ，∴cos∠CEP=cos∠ECH=，故C错误；
在Rt△AFH中，HF2=AF2+AH2=（）2+1=
EF·CF=×（2+）=
∴HF2=EF·CF，故D正确。
故答案为：D.
【分析】先判断四边形APCH是平行四边形，再利用平行四边形的性质、中点的定义以及直角三角形斜边中线的性质得AH=BH=EH，然后利用线段的垂直平分线的判定和性质得CE=BE，然后在证得△CEH≌△CBH、Rt△EFH≌Rt△AFH，利用全等三角形的性质及勾股定理即可对各个选项一一作出判断。
12．（2019九上·福田期中）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠的面积之和是（ ）
A．n B．n-1 C．4n D．4（n-1）
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图示，由分别过点A1、A2、A3，垂直于两边的垂线，由图形的割补可知：一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，即阴影部分的面积是 ，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和．
13．（2020·温州模拟）如图，设正 △ EFG内接于正方形ABCD，其中，E、F、G分别在边AB、AD、BC上，若 ， 则 .
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EK⊥FG于点K，K是FG的中点，连接AK、KB，
易知E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆.
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°.
∴△ABK是等边三角形.
过点K作KM⊥AB于点M，M是AB的中点，设AB=6，
∴EB=AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=，
EK==，
EG==，
BG==.
∴=.
故答案为：.
【分析】作出辅助线，可知△ABK是等边三角形. 设出正方形的边长，这里设正方形的边长为6主要是①本题是选择题；②考虑后续便于计算，解直角三角形求出BG，再计算比值.
14．（2019·松北模拟）如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，将 向两个方向延长，分别至点 和点 ，且使 .若 ， ，则四边形 的周长为 .
【答案】
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，AC⊥BD，
∵BE＝DF＝1，
∴OE＝OF＝3，且OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形
∴AE＝CE＝CF＝AF，
在Rt△COE中，CE＝ ＝ ＝
∴四边形AECF的周长为4
故答案为：4 .
【分析】设AC与BD交于点O，利用正方形的对角线的性质，可证AO＝CO＝BO＝DO＝2，AC⊥BD，再利用已知BE=DF，可证得OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，易证四边形AECF是菱形，根据菱形的性质，可知AE=CE=CF=EF，然后利用勾股定理求出CE的长，即可得到四边形AEF的周长。
15．（2019·南充）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.
（1）求证：CD⊥CG；
（2）若tan∠MEN= ，求 的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 ？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A=∠DCG=90°，
∴CD⊥CG；
（2）解：
∵CD⊥CG，DC⊥BC，
∴G、C、M三点共线
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，
又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM，
∴∠DME=∠DMG
又∠DMG=∠NMF，
∴∠DME=∠NMF，
又∵∠EDM=∠NFM=45°
∴△DME∽△FMN，
∴
又∵DE∥HF，
∴ ，
又∵ED=EF，
∴
在Rt△EFH中，tan∠HEF= ，
∴
（3）解：EM的长不可能为 。
理由：假设EM的长为 ，
∵点E是AB边上一点，且∠EDG=∠ADC=90°，
∴点G在BC的延长线上，
同（2）的方法得，EM=GM= ，
∴GM= ，
在Rt△BEM中，EM是斜边，
∴BM＜
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC=1，
∴CM＞
∴CM＞GM，
∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，
∴假设错误，
即：EM的长不可能为
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，继而得出∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，然后根据全等三角形的性质得出∠A=∠DCG=90°，即可得证；
（2）先由CD⊥CG，DC⊥BC判断出G、C、M三点共线，然后利用正方形的性质易得△EDM≌△GDM，根据全等三角形的性质得出∠DME=∠DMG，而∠DMG=∠NMF，等量代换得到∠DME=∠NMF，继而可证明△DME∽△FMN，得出
；由DE∥HF，得出
， 由ED=EF等量代换得
。在Rt△EFH中，tan∠HEF=
，所以
；
（3）假设EM=
。同（2）得EM=GM=
；在Rt△BEM中判断出BM＜
，得出CM＞
，进而得出CM＞GM，推出矛盾，假设不成立，即可得出结论．
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