初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·甘州期中）在 中， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
2．（2019八下·南岸期中）下列不能断定 为等边三角形的是（ ）
A． ， B．
C． ， D． ，
3．（2019八上·定州期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．（2020八上·龙岩期末）如图， ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·奉化期末）有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019八上·松滋期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， 则图中有等腰三角形（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
8．（2019八上·龙湾期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°
9．（2019八上·确山期中）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形的一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
10．（2019八上·余姚期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（ ）
A．7个 B．8个 C．10个 D．12个
二、填空题
11．（2018八上·柳州期中）已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=5cm，则△ABC的周长为 .
12．（2019八上·苍南期中）如图，在 中， ， 平分 ，作 ，交 的延长线于点 ，则 是 三角形.
13．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
14．（2019八上·盘龙镇月考）如图，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于 D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，则∠EFB=
15．（2019八上·十堰期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F.当EF=6，BE=4时，CF的长为 .
三、解答题
16．（2020八上·东台期末）如图，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
17．（2020八上·乌海期末）如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，
(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；
(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；
(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。
18．（2019·吉林模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
19．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
20．（2020九下·吉林月考）如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，MN∥AC，求证：
（1）∠BDN=∠BAM；
（2）△BMN是等边三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在 中， ，则 为等腰三角形，
又 ，
所以 是等边三角形.
故答案为：B
【分析】根据有一个是60°的等腰三角形是等边三角形解答即可.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】A、根据两个角等于 即可得到第三个角也为 ,故本选项正确;
B、三个角相等的三角形是等边三角形,故本选项正确;
C、根据 ,且 °,故能判定 是等边三角形,故本选项正确;
D、根据 ， 的三角形为等腰三角形，故本错误.
所以D选项是正确的.
【分析】根据等边三角形的判定方法逐项作出判断即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，
∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+5x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.
∴AC＝CB.
∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选A．
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A=60°，∠B=∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，∴△ABC是等边三角形，
又∵ ，∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°， ，∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，∴∠FEB=60°，∴∠BFE=90°，
∵ ，∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6，
故答案为：D.
【分析】由 ， 得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和 ，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；
②等腰三角形两腰上的高相等，所以②正确；
③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；
④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等，所以④正确.
以上命题正确的是②，③，④.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质判断出①错误；根据等积法判断出②正确；根据等边三角形的判定方法判断出③正确；根据等边三角形的性质判断出④正确.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，
∴∠B=180°-72°-36°=72°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=36°=∠C，
∴AD=CD，
∠ADB=72°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形，
故等腰三角形有3个；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及等量代换得出∠B==72°=∠BAC，根据角平分线的定义及等量代换得出∠CAD=∠BAD=36°=∠C，根据等角对等边得出AC=BC，AD=CD，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ADB=72°=∠B，从而根据等腰三角形的判定方法得出△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；
B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；
C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；
D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，
有两个角相等，是等腰三角形；
∴有两个角分别为30°，60°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
这样的点C有10个.
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的判定定理，要使△ABC为等腰三角形，分情况：以AB为底边；为AC为底边；以BC为底边，分别在图形中标出点C的位置即可。
11．【答案】15cm
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=∠B=60°
∴∠C=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC=5
∴△ABC的周长为：3×5=15
故答案为：15cm
【分析】利用三角形的内角和定理证明AB=AC=BC，就可求出此三角形的周长。
12．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】证明：如图，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°
∴∠1=∠2＝
∵AE∥DC
∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°
∴∠3=∠4=∠E=60°
∴△ACE是等边三角形．
【分析】根据角平分线的性质及平行的性质求得△ACE的各个角均为60度，从而得出△ACE是等边三角形．
13．【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
14．【答案】61.5°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，
∴BE=EC，
∵BE=AC，
∴CE=AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∵∠ACE=16°，
∴∠AEC=∠A=82°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB= ∠AEC＝ ×82°＝41°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF= ∠EBC＝ ×41°＝20.5°，
∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，
故答案为：61.5°
【分析】根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质和三角形外角的性质解答即可.
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；同理可证CF=OF；
∵EF=6，BE=4，
∴OF=EF-OE=EF-BE=2，
∴CF=OF=2，
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得出∠EOB=∠EBO，根据等角对等边得出BE=OE；同理可证CF=OF，然后根据OF=EF-OE=EF-BE即可算出答案.
16．【答案】解：连接AE、AG，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，
∵∠AEG与∠AGE分别是△AEB与△AGC的外角，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，
∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，
∴BE= EG= CG =2cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AE、AG，根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C=30°，然后根据垂直平分线的性质可得：BE=AE，AG=CG，从而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根据三角形外角的性质可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根据等边三角形的判定可得：△AEG是等边三角形，从而得出：AE=EG=AG，即可求出BE= EG= CG =2cm.
17．【答案】解：(Ⅰ)∵△ABD是等边三角形
∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD
又∵∠BAC=30°
∴AC平分∠BAD
∴AC垂直平分BD
∴CD=CB
∴∠DBC=∠DBC=∠ABC∠ABD=90°-60°=30°
(Ⅱ)△ABC是等腰三角形
理由：设∠BDC=x，BAC=2x
有∠CAD=60°-2X∠ADC=60°+x
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+X
∴∠ACD=∠ADC
∴AC=AD
∵AB=AD
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
(Ⅲ)当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立
如图，作等边△BCE，连接BE
∴BC=EC，∠BCE=60°
∴∠BCD=150°
∵∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°
∴∠DCE=∠DCB
又 ∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴∠BDC=∠EDC
∴∠BDE=2∠BDC
又∵∠BAC=∠BDE=60°
∵∠BAC=2∠BDC
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）先利用三角形内角和定理和等边三角形的性质证得AC垂直平分BD，从而可得CD=BC，继而得∠BDC=30°；
（2）设∠BDC=x，则∠BAC=2x，利用三角形内角和定理证得∠ACD=∠ADC，从而得AC=AD，再根据AB=AD等量代换得AB=AC，从而得△ABC是等腰三角形；
（3） 作等边△BCE，连接DE，先利用三角形内角和定理求出∠DCE=∠DCB=150°，然后易证△BCD≌△ECD，继而利用全等三角形的性质得∠BDE=∠EDC=2∠BDC，而∠BAC=∠BDE=60°，从而可得∠BAC=2∠BDC.
18．【答案】（1）解：如图，BD为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠C＝∠BDC，
∴△BCD为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线BD；（2）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，再利用角平分线定义得到∠CBD=∠ABD=36°，接着根据三角形外角性质得到∠BDC=72°，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论．
19．【答案】（1）25；115；小
（2）解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
20．【答案】（1）证明：∵
∴
在 、 中
∴ ≌
∴∠BDN=∠BAM
（2）证明：∵ ，MN∥AC，
∴ ，
,
所以 是等边三角形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）只需要证明 ≌ ，就可以得到 ．（2） ，因为MN∥AC，所以 ， ,所以 是等边三角形．
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·甘州期中）在 中， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在 中， ，则 为等腰三角形，
又 ，
所以 是等边三角形.
故答案为：B
【分析】根据有一个是60°的等腰三角形是等边三角形解答即可.
2．（2019八下·南岸期中）下列不能断定 为等边三角形的是（ ）
A． ， B．
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】A、根据两个角等于 即可得到第三个角也为 ,故本选项正确;
B、三个角相等的三角形是等边三角形,故本选项正确;
C、根据 ,且 °,故能判定 是等边三角形,故本选项正确;
D、根据 ， 的三角形为等腰三角形，故本错误.
所以D选项是正确的.
【分析】根据等边三角形的判定方法逐项作出判断即可得到答案.
3．（2019八上·定州期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，
∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+5x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.
∴AC＝CB.
∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可
4．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选A．
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A=60°，∠B=∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
5．（2020八上·龙岩期末）如图， ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，∴△ABC是等边三角形，
又∵ ，∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°， ，∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，∴∠FEB=60°，∴∠BFE=90°，
∵ ，∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6，
故答案为：D.
【分析】由 ， 得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和 ，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度.
6．（2020八上·奉化期末）有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；
②等腰三角形两腰上的高相等，所以②正确；
③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；
④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等，所以④正确.
以上命题正确的是②，③，④.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质判断出①错误；根据等积法判断出②正确；根据等边三角形的判定方法判断出③正确；根据等边三角形的性质判断出④正确.
7．（2019八上·松滋期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， 则图中有等腰三角形（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，
∴∠B=180°-72°-36°=72°=∠BAC，
∴AC=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=36°=∠C，
∴AD=CD，
∠ADB=72°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形，
故等腰三角形有3个；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及等量代换得出∠B==72°=∠BAC，根据角平分线的定义及等量代换得出∠CAD=∠BAD=36°=∠C，根据等角对等边得出AC=BC，AD=CD，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ADB=72°=∠B，从而根据等腰三角形的判定方法得出△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形.
8．（2019八上·龙湾期中）具备下列条件的三角形为等腰三角形的是（ ）
A．有两个角分别为20°，120° B．有两个角分别为40°，80°
C．有两个角分别为30°，60° D．有两个角分别为50°，80°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】A、有两个角分别为20°，120°的三角形，第三个内角为180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴有两个角分别为20°，120°的三角形不是等腰三角形，选项A不符合题意；
B、有两个角分别为40°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴有两个角分别为40°，80°的三角形不是等腰三角形，选项B不符合题意；
C、有两个角分别为30°，60°的三角形，第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴有两个角分别为30°，60°的三角形不是等腰三角形，选项C不符合题意；
D、有两个角分别为50°，80°的三角形，第三个内角为180°﹣50°﹣80°＝50°，
有两个角相等，是等腰三角形；
∴有两个角分别为30°，60°的三角形是等腰三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【分析】分别求出第三个内角的度数，即可得出结论．
9．（2019八上·确山期中）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形的一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如图，
∵DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形.
10．（2019八上·余姚期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（ ）
A．7个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
这样的点C有10个.
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的判定定理，要使△ABC为等腰三角形，分情况：以AB为底边；为AC为底边；以BC为底边，分别在图形中标出点C的位置即可。
二、填空题
11．（2018八上·柳州期中）已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=5cm，则△ABC的周长为 .
【答案】15cm
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=∠B=60°
∴∠C=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC=5
∴△ABC的周长为：3×5=15
故答案为：15cm
【分析】利用三角形的内角和定理证明AB=AC=BC，就可求出此三角形的周长。
12．（2019八上·苍南期中）如图，在 中， ， 平分 ，作 ，交 的延长线于点 ，则 是 三角形.
【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】证明：如图，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°
∴∠1=∠2＝
∵AE∥DC
∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°
∴∠3=∠4=∠E=60°
∴△ACE是等边三角形．
【分析】根据角平分线的性质及平行的性质求得△ACE的各个角均为60度，从而得出△ACE是等边三角形．
13．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
14．（2019八上·盘龙镇月考）如图，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分别于 D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，则∠EFB=
【答案】61.5°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，
∴BE=EC，
∵BE=AC，
∴CE=AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∵∠ACE=16°，
∴∠AEC=∠A=82°，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB= ∠AEC＝ ×82°＝41°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF= ∠EBC＝ ×41°＝20.5°，
∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，
故答案为：61.5°
【分析】根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质和三角形外角的性质解答即可.
15．（2019八上·十堰期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F.当EF=6，BE=4时，CF的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；同理可证CF=OF；
∵EF=6，BE=4，
∴OF=EF-OE=EF-BE=2，
∴CF=OF=2，
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得出∠EOB=∠EBO，根据等角对等边得出BE=OE；同理可证CF=OF，然后根据OF=EF-OE=EF-BE即可算出答案.
三、解答题
16．（2020八上·东台期末）如图，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
【答案】解：连接AE、AG，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，
∵∠AEG与∠AGE分别是△AEB与△AGC的外角，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，
∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，
∴BE= EG= CG =2cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AE、AG，根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C=30°，然后根据垂直平分线的性质可得：BE=AE，AG=CG，从而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根据三角形外角的性质可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根据等边三角形的判定可得：△AEG是等边三角形，从而得出：AE=EG=AG，即可求出BE= EG= CG =2cm.
17．（2020八上·乌海期末）如图，在△ABC中，∠ABC>60°，∠BAC<60°，以AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧)，连接CD，
(Ⅰ)若∠ABC=90°，∠BAC=30°，求∠BDC的度数；
(Ⅱ)当∠BAC=2∠BDC时，请判断△ABC的形状并说明理由；
(Ⅲ)当∠BCD等于多少度时，∠BAC=2∠BDC恒成立。
【答案】解：(Ⅰ)∵△ABD是等边三角形
∴∠BAD=∠ABD=60°，AB=AD
又∵∠BAC=30°
∴AC平分∠BAD
∴AC垂直平分BD
∴CD=CB
∴∠DBC=∠DBC=∠ABC∠ABD=90°-60°=30°
(Ⅱ)△ABC是等腰三角形
理由：设∠BDC=x，BAC=2x
有∠CAD=60°-2X∠ADC=60°+x
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+X
∴∠ACD=∠ADC
∴AC=AD
∵AB=AD
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
(Ⅲ)当∠BCD=150°时，∠BAC=2∠BDC恒成立
如图，作等边△BCE，连接BE
∴BC=EC，∠BCE=60°
∴∠BCD=150°
∵∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°
∴∠DCE=∠DCB
又 ∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴∠BDC=∠EDC
∴∠BDE=2∠BDC
又∵∠BAC=∠BDE=60°
∵∠BAC=2∠BDC
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）先利用三角形内角和定理和等边三角形的性质证得AC垂直平分BD，从而可得CD=BC，继而得∠BDC=30°；
（2）设∠BDC=x，则∠BAC=2x，利用三角形内角和定理证得∠ACD=∠ADC，从而得AC=AD，再根据AB=AD等量代换得AB=AC，从而得△ABC是等腰三角形；
（3） 作等边△BCE，连接DE，先利用三角形内角和定理求出∠DCE=∠DCB=150°，然后易证△BCD≌△ECD，继而利用全等三角形的性质得∠BDE=∠EDC=2∠BDC，而∠BAC=∠BDE=60°，从而可得∠BAC=2∠BDC.
18．（2019·吉林模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）用尺规作图作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【答案】（1）解：如图，BD为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠C＝∠BDC，
∴△BCD为等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线BD；（2）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，再利用角平分线定义得到∠CBD=∠ABD=36°，接着根据三角形外角性质得到∠BDC=72°，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论．
19．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115；小
（2）解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
【分析】（1）根据∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，进而求出∠DEC的度数，（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
20．（2020九下·吉林月考）如图，A、B、C在同一直线上，且△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M，CD交BE于点N，MN∥AC，求证：
（1）∠BDN=∠BAM；
（2）△BMN是等边三角形．
【答案】（1）证明：∵
∴
在 、 中
∴ ≌
∴∠BDN=∠BAM
（2）证明：∵ ，MN∥AC，
∴ ，
,
所以 是等边三角形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）只需要证明 ≌ ，就可以得到 ．（2） ，因为MN∥AC，所以 ， ,所以 是等边三角形．
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