初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·平遥月考）如图，在矩形AOBC中，A(-2，0)，B(0，1)．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．- B． C．-2 D．2
2．（2019八下·温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
3．（2019八下·天台期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
4．（2019八下·双阳期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法不一定成立的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
5．（2019八下·马山期末）如图， 矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，则 的长为 （ ）
A．4cm B．4cm C．2cm D．2cm
6．（2020九上·南昌期末）已知一个矩形的对角线的长为4，它们的夹角是60°，则这个矩形的较短的边长为 ，面积为 .
7．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 .
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
9．（2019八下·忻城期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
（1）求证：BD＝DE；
（2）若∠ACB＝30°，BD＝8，求四边形BCDE的面积.
二、提高特训
10．（初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步练习）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）.
A．20cm B．20 cm C．20 cm D．25 cm
11．（2020·郑州模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC
12．（2019·包河模拟）如图，将两根相同的矩形木条沿虚线 剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围城一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为 ，且 ，则围城的矩形画框的内框 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2020八下·重庆月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠ADE＝22.5°，BD=4，则OE的长为 .
14．（2019八上·沾益月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC.若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 .
15．（2020八下·海安月考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵A(-2，0)，B(0，1)
∴OA=2，OB=1
在矩形AOBC中，BC=OA=2，AC=OB=1，AC⊥x轴
∴点C的坐标为（-2，1）
将（-2，1）代入y=kx得：-2k=1
解得：k=-.
故答案为：A.
【分析】先根据矩形的性质求出点C的坐标，然后用待定系数法求k即可。
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°.
故答案为：A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠OAB和∠OBA之和即可求解。
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质分析判断，矩形对角线互相平分且相等，其对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB
故答案为：D。
【分析】根据矩形的性质判断即可。
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∴∠AOD=2∠BAO=120°，
∴∠BAO=60°，△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=AC=2，
∴BC=
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质得对角线平分且相等，推得△ABC为等边三角形，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求得BC的长。
6．【答案】2；4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：
∵矩形的对角线的夹角是60°
∴较短的边对的三角形是等边三角形
∴这个矩形的较短的边长为2
∴这个矩形较长的边
∴这个矩形的面积
故答案为：2；.
【分析】根据矩形的性质结合对角线的夹角是60°可得较短的边对的三角形是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求得矩形较长的边，从而求得矩形的面积.
7．【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
8．【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
9．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∴DE＝AC
∴DE＝BD
（2）解：∵∠ACB＝30 ，BD＝8＝AC，
∴AB＝4，BC＝ AB＝4
∵四边形ACDE是平行四边形
∴AB＝CD＝AE＝4
∴四边形BCDE的面积＝ ＝24 .
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AC＝BD，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得DE＝AC＝BD；（2）由直角三角形的性质可得AB＝4＝CD＝AE，BC＝4 ，由梯形面积公式可求解.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC=×10=5cm，
同理HG=EF=5cm，
同理可得，FG=EH=BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=HG=EH=5，
∴四边形EFGH的周长为 ：4EF=20cm.
故答案为：A.
【分析】因为E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，可得四边形EFGH的各边都是三角形的中位线，结合矩形的对角线相等，可得四边形EFGH的各边长相等，从而求出其周长.
11．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，矩形木条的两边分别为a，b，
∴CD= ，
∴BC=CD-b= -b= ，
∴矩形ABCD的面积=BC·CD= · ．
故答案为：C．
【分析】结合图形利用矩形的性质求出矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式求解即可．
13．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO= BD=2，
∵∠ADE＝22.5°，
∴
∵AE⊥BD
∴
∴
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴AE=EO
∴AE2+EO2=2EO2= AO2=4
故EO=
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到 ，由AE⊥BD得到 ，故可知 ，故可得到△AEO是等腰直角三角形，再求出AO=BO= BD=2，故可求出OE的长.
14．【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=OD，（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠BAC=60°，CD=OC，
则∠ACB=30°，（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=45°，
可得△DCE为等腰直角三角形，
∴CD=EC，
∴EC=OC，（等量代换）
∴∠COE=∠CEO，
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）.
故答案为75°.
【分析】根据四边形ABCD为矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等，得到OA=OB=OC=OD，又∠AOB=60°，可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形，进而求出∠ACB为30°，由DE为直角的角平分线，得到∠EDC=45°，可得三角形DEC为等腰直角三角形，即CD=EC，而CD=OC，等量代换可得EC=OC，即三角形OEC为等腰三角形，由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数.
15．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB＝OD ，
∴
AB＝2OF＝4cm，
∵BE︰BD＝1︰4，
∴BE︰ED＝1︰3
设BE＝x，ED＝3x ，
则BD＝4 x ，
∵AE⊥BD于点E
∴ ，
∴16－x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，
∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8x2＝32
∴x2＝4，
∴x＝2
∴BD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝8cm .
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（1） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·平遥月考）如图，在矩形AOBC中，A(-2，0)，B(0，1)．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．- B． C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解： ∵A(-2，0)，B(0，1)
∴OA=2，OB=1
在矩形AOBC中，BC=OA=2，AC=OB=1，AC⊥x轴
∴点C的坐标为（-2，1）
将（-2，1）代入y=kx得：-2k=1
解得：k=-.
故答案为：A.
【分析】先根据矩形的性质求出点C的坐标，然后用待定系数法求k即可。
2．（2019八下·温州期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°.
故答案为：A
【分析】由矩形的对角线互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性质得到∠AOD等于∠OAB和∠OBA之和即可求解。
3．（2019八下·天台期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质是对角线互相平分且相等，但不一定互相垂直，只有正方形对角线互相垂直平分且相等，矩形也是轴对称图形，对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质分析判断，矩形对角线互相平分且相等，其对称轴有两条，即矩形每边的中垂线。
4．（2019八下·双阳期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法不一定成立的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB
故答案为：D。
【分析】根据矩形的性质判断即可。
5．（2019八下·马山期末）如图， 矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，则 的长为 （ ）
A．4cm B．4cm C．2cm D．2cm
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∴∠AOD=2∠BAO=120°，
∴∠BAO=60°，△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=AC=2，
∴BC=
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质得对角线平分且相等，推得△ABC为等边三角形，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求得BC的长。
6．（2020九上·南昌期末）已知一个矩形的对角线的长为4，它们的夹角是60°，则这个矩形的较短的边长为 ，面积为 .
【答案】2；4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：
∵矩形的对角线的夹角是60°
∴较短的边对的三角形是等边三角形
∴这个矩形的较短的边长为2
∴这个矩形较长的边
∴这个矩形的面积
故答案为：2；.
【分析】根据矩形的性质结合对角线的夹角是60°可得较短的边对的三角形是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求得矩形较长的边，从而求得矩形的面积.
7．（初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 同步练习）如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM， CN，MN，若AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】3
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB，CD的中点 ，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，
∵AB=2，BC=3，
∴阴影部分的面积=×2×3=3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的中心对称可得阴影部分的面积=空白部分面积=×矩形的面积，利用矩形的面积=长×宽计算即可.
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测）如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
9．（2019八下·忻城期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
（1）求证：BD＝DE；
（2）若∠ACB＝30°，BD＝8，求四边形BCDE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∴DE＝AC
∴DE＝BD
（2）解：∵∠ACB＝30 ，BD＝8＝AC，
∴AB＝4，BC＝ AB＝4
∵四边形ACDE是平行四边形
∴AB＝CD＝AE＝4
∴四边形BCDE的面积＝ ＝24 .
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AC＝BD，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得DE＝AC＝BD；（2）由直角三角形的性质可得AB＝4＝CD＝AE，BC＝4 ，由梯形面积公式可求解.
二、提高特训
10．（初中数学苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线 同步练习）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）.
A．20cm B．20 cm C．20 cm D．25 cm
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC=×10=5cm，
同理HG=EF=5cm，
同理可得，FG=EH=BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=HG=EH=5，
∴四边形EFGH的周长为 ：4EF=20cm.
故答案为：A.
【分析】因为E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，可得四边形EFGH的各边都是三角形的中位线，结合矩形的对角线相等，可得四边形EFGH的各边长相等，从而求出其周长.
11．（2020·郑州模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件中不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AD B．OA=OB C．AC=BD D．DC⊥BC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、不能判定四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
B、由AO＝BO可证明AC＝BD，能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、AC＝BD能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、DC⊥BC能判定四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
12．（2019·包河模拟）如图，将两根相同的矩形木条沿虚线 剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围城一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为 ，且 ，则围城的矩形画框的内框 的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，矩形木条的两边分别为a，b，
∴CD= ，
∴BC=CD-b= -b= ，
∴矩形ABCD的面积=BC·CD= · ．
故答案为：C．
【分析】结合图形利用矩形的性质求出矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式求解即可．
13．（2020八下·重庆月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠ADE＝22.5°，BD=4，则OE的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO= BD=2，
∵∠ADE＝22.5°，
∴
∵AE⊥BD
∴
∴
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴AE=EO
∴AE2+EO2=2EO2= AO2=4
故EO=
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到 ，由AE⊥BD得到 ，故可知 ，故可得到△AEO是等腰直角三角形，再求出AO=BO= BD=2，故可求出OE的长.
14．（2019八上·沾益月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC.若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 .
【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=OD，（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形，（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠BAC=60°，CD=OC，
则∠ACB=30°，（直角三角形两锐角互余）
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=45°，
可得△DCE为等腰直角三角形，
∴CD=EC，
∴EC=OC，（等量代换）
∴∠COE=∠CEO，
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）.
故答案为75°.
【分析】根据四边形ABCD为矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等，得到OA=OB=OC=OD，又∠AOB=60°，可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形，进而求出∠ACB为30°，由DE为直角的角平分线，得到∠EDC=45°，可得三角形DEC为等腰直角三角形，即CD=EC，而CD=OC，等量代换可得EC=OC，即三角形OEC为等腰三角形，由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数.
15．（2020八下·海安月考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB＝OD ，
∴
AB＝2OF＝4cm，
∵BE︰BD＝1︰4，
∴BE︰ED＝1︰3
设BE＝x，ED＝3x ，
则BD＝4 x ，
∵AE⊥BD于点E
∴ ，
∴16－x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，
∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8x2＝32
∴x2＝4，
∴x＝2
∴BD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝8cm .
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可.
1 / 1
