初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形 章末检测

初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形 章末检测
一、单选题
1．（2019九上·凤翔期中）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O.则下列说法准确的是（　　）
A．当 时，平行四边形ABCD为矩形
B．当 时，平行四边形ABCD为正方形
C．当 时，平行四边形ABCD为菱形
D．当 时，平行四边形ABCD为菱形
2．（2019·番禺模拟）如图，在四边形 中， 分别是 ， ， ， 边上的点，某同学探索出如下结论，其中错误的是（　　）
A．当 是各边中点且 时，四边形 为菱形
B．当 是各边中点且 时，四边形 为矩形
C．当 不是各边中点时，四边形 不可能为菱形
D．当 不是各边中点时，四边形 可以为平行四边形
3．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．56° C．62° D．72°
4．（2019九上·梅县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件错误的是（　　）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=CD
5．（2020·宁波模拟）如图， 在 ABCD中， E为BC的中点， 若四边形AEDF为矩形， 则（　　）
A．∠B+∠ADE=90° B．DE= AE
C．EF=2AE D．EF=2AB
6．（2020·陕西模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点D作直线m∥AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，四边形ACFE的面积是（　　）
A．48 B．40 C．24 D．30
7．（2019八下·合浦期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．（2019九上·天河月考）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相交于点 ，设 .得到以下结论：① ；② ；③ 则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2018·漳州模拟）如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD，BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（　　）．
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
10．（2020·上海模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP2=PH·PC其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③
二、填空题
11．（2019·张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　 　步．
12．（2019八下·海沧期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　 　.
13．（2019·武汉模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为　 　.
14．（2020八下·建湖月考）菱形的面积为24，一条对角线长为6，则它的周长是　 　.
15．（2020·杭州模拟）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）.图乙种， ，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为　 　cm
16．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是　 　.
三、解答题
17．（2019九上·渠县月考）如图，已知 ， ， ，且 ，求证：四边形BCED是矩形．
18．（2019·梧州模拟）已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF.
求证：四边形AECF是菱形.
19．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
20．（2020·百色模拟）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长.
21．（2019九上·宜兴期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根.
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
22．（2019·高港模拟）如图，已知在 中，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 .
（1）求证： .
（2）连接 ， ，当 　 　时，四边形 是正方形.请说明理由.　 　
23．（2019八下·合浦期中）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD
（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由.
（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由.
（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在.
24．（2019七上·鄞州期末）已知：如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点M是BC边的中点，点P从点A出发，沿着AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点Q以同样的速度从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动．设点P运动的路程为x
（1）当x=2时，线段AQ的长是 　 　
（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积会发生改变吗 请你作出判断并说明理由；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP= DQ 若存在，求出点P的运动路程，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】∵平行四边形对角线互相平分，
∴OA=OC
而对角线相等的平行四边形是矩形，
∴OA=OC不能判定平行四边形ABCD为矩形，故A错误；
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当 时，平行四边形ABCD是菱形，故B错误；
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形
∴当 时，平行四边形ABCD为矩形，故C错误；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∴当 时，平行四边形ABCD为菱形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】A. 根据平行四边形的性质和对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；B. 根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断；C. 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断；D. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AC、BD，
当E，F，G，H是各边中点时，EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，EF∥AC，EF= AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，A不符合题意；
当E，F，G，H是各边中点，AC⊥BD时，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，B不符合题意；
当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，C符合题意；
当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理，可证EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，EF∥AC，EF= AC，利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形.
A、由AC=BD，可得EF=EH，根据邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形EFGH为菱形，据此判断即可；
B、由AC⊥BD时，可得∠EFG=90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可证四边形 为矩形，据此判断即可；
C、当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为正方形，而正方形是特殊的菱形，据此判断即可；
D、当E，F，G，H不是各边中点时，四边形会存在一组对边平行且相等，据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A.根据菱形的定义可得，当AB=AD时 ABCD是菱形，本选项不符合题意；
B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断， ABCD是菱形，本选项不符合题意；
C.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项符合题意；
D.根据菱形的定义可得，当AD=CD时 ABCD是菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断。
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设矩形AEDF的对角线的交点为O，
∴AO=AD，EF=2OE，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AO∥BE，
∴AO=BE，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴AB=OE
∴EF=2AB.
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质，可知AO=AD，EF=2OE，再利用线段中点的定义及平行四边形的性质，可以推出AO=BE，AO∥BE，由此可证得四边形AOEB是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得到AB=OE，即可证得结论。
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】根据在运动过程中EF∥AC且EF＝AC
四边形ACFE为平行四边形
过D作DM垂直AC于点M
根据等面积法，在 中
可得四边形ACFE为平行四边形的高为
故答案为：A
【分析】根据题意在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，所以可得四边形ACFE为平行四边形，因此计算面积即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：C.
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
；（1）
所以①成立；(2)如图延长 交 延长线于点 ，
则：
∴ 为直角三角形 斜边 上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立；(3)∵
∴
∵
∴
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=BM=a，故②成立；
利用等面积法求得BE=，进而求得CP=，故③成立。
9．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
AB= ，AD= ，BC= ，CD= ，
∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理算出AB，AD，BC，CD的长，从而发现AB=BC=CD=AD故四边形ABCD是菱形，根据菱形的对称性即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，
∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°
∵△BPC是等边三角形 ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴DC=PC ，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°
∴BE=2AE，故①正确；
∵AD∥BC ∴∠PFD=∠BCF=60° ∴∠PFD=∠BPC
同①得：∠DCF=30° ∴∠CPD=∠CDP=75° ∴∠PDF=15°
又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，
∴∠PDF=∠PBD
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°
∠BPD=135°，∠DPF=105°
∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC
∴△DPH∽△CDP
∴
∴PD2=PH·CD，故④正确。
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=30°，利用直角三角形中30°的角的性质可得BE=2AE，故①正确；
同①得∠DCF=30° ，由三角形的内角和和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75° ，进而得∠PDF=15°，∠PBD=∠ABD-∠ABE=15°，则可得∠PDF=∠PBD，又∠PDF=∠PBD=60°，从而可证△DFP∽△BPH，故②正确；
通过计算可知 △PFD和△PDB 中，∠PDF=∠PBD，∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF，可判断△PFD与△PDB不相似，故③错误；
利用∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC可证得△DPH∽△CDP，利用相似三角形的性质可得 ，变形为PD2=PH·CD，故④正确。
11．【答案】12
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为：12．
【分析】根据题意，设长为x步，宽为(60-x) 步，根据矩形的面积即可得到关于x的解析式，得到答案即可。
12．【答案】四个角都是90°的四边形是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】用直角尺判定门框的四个角是否都为90°，故采用的判定方法是“四个角都是90°的四边形是矩形”，故填“四个角都是90°的四边形是矩形”
【分析】根据矩形的判定定理，可得出四个角都是90°的四边形是矩形。
13．【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，
则∠MAN＝90°,
∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,
∴∠DAM＝∠BAN.
∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,
∴△DAM≌△BAN,
∴AM＝AN,
∴四边形AMCN为正方形,
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝ AC2,
∴AC=6,
∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.
故答案为：6.
【分析】过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ANCM是矩形，则可得∠MAN＝90°,于是根据同角的余角相等可得∠DAM＝∠BAN，用角角边可证△DAM≌△BAN，所以AM=AN，根据一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形AMCN为正方形,所以S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝AC2，则AC的值可求解，即当BD⊥AC时BD最小，且最小值BD=AC。
14．【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵S菱形=·AC·BD=24，令AC=6，
∴BD=8，
∴BO=4，AO=3，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即AB2=32+42，
∴AB=5，
∴菱形的周长=5×4=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出另一条对角线的长，再根据勾股定理可求出菱形的边长，进而求出周长即可.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据 ，EF=4可得：AB=和BC的长度，根据阴影部分的面积为54 可得阴影部分三角形的高，然后根据菱形的性质可以求出小菱形的边长为 ，则菱形的周长为： ×4= .
【分析】利用已知条件求出AB，BC的长，利用阴影部分的面积及菱形的性质，求出小菱形的边长，然后就可求出菱形的周长。
16．【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
17．【答案】证明：连接BE、CD.
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵DE=BC
∴四边形BCED为平行四边形
∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB
即∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠BAE
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先利用已知条件证出△ABD≌△ACE，从而得BD=CE，加上DE=BC，可证地四边形BCED为平行四边形；然后再证得△ADC≌△AEB，从而得CD=BE，故利用矩形的判定方法得证。
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，
∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF
∴△ADF≌△CDF（SAS）
∴AF＝CF，
∵AB∥CD，AE∥CF
∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE
∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形
又∵AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，根据“SAS”先证△ADF≌△CDF，再证△ABE≌△CDF，从而可得AE＝CF，由AE∥CF，利用一组对边平行且相等可证四边形AECF是平行四边形 ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形AECF是菱形.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
20．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（ ）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1.
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形
（2）解：将x＝2代入x2﹣mx+ ＝0中，得：4﹣2m+ ＝0，
解得：m＝ ，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝ ，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2× ＝5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E.
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（AAS）
（2）45°；解：当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形.如图； ∵△AOD≌△EOC， ∴OA=OE. 又∵OC=OD， ∴四边形ACED是平行四边形. ∵∠B=∠AEB=45°， ∴AB=AE，∠BAE=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴∠COE=∠BAE=90°. ∴ ACED是菱形. ∵AB=AE，AB=CD， ∴AE=CD. ∴菱形ACED是正方形. 故答案为：45.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.
23．【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中
，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC，
∵AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝60°，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAF＝90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；
（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在.
24．【答案】（1）6
（2）解：阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：
连结AM，
依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，
∴AQ=8-x，
∴S阴=S△APM+S△AQN，
=·x×4+·（8-x）×4，
=2x+16-2x，
=16.
∴ 阴影面积不变 .
（3）解： ①当点P在线段AB上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=4－x，
又∵ BP=DQ ，
∴4－x=x，
解得：x=3；
②当点P在线段BM上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=x-4，
又∵ BP=DQ ，
∴x-4=x，
解得：x=6；
综上所述：当x=3或6时，BP=DQ .
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】（1）依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，AP=2，
∴DQ=2，
∴AQ=AD-DQ=8-2=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意可得AP=DQ=x，由AQ=AD-DQ计算即可求得答案.
（2）阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：连结AM， 根据题意可得AP=DQ=x，AQ=8-x，由S阴=S△APM+S△AQN计算即可得出阴影面积为定值.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在线段AB上时，②当点P在线段BM上时，由 BP=DQ分别列出方程，解之即可得出答案.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形 章末检测
一、单选题
1．（2019九上·凤翔期中）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O.则下列说法准确的是（　　）
A．当 时，平行四边形ABCD为矩形
B．当 时，平行四边形ABCD为正方形
C．当 时，平行四边形ABCD为菱形
D．当 时，平行四边形ABCD为菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】∵平行四边形对角线互相平分，
∴OA=OC
而对角线相等的平行四边形是矩形，
∴OA=OC不能判定平行四边形ABCD为矩形，故A错误；
∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当 时，平行四边形ABCD是菱形，故B错误；
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形
∴当 时，平行四边形ABCD为矩形，故C错误；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∴当 时，平行四边形ABCD为菱形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】A. 根据平行四边形的性质和对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；B. 根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断；C. 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断；D. 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判断.
2．（2019·番禺模拟）如图，在四边形 中， 分别是 ， ， ， 边上的点，某同学探索出如下结论，其中错误的是（　　）
A．当 是各边中点且 时，四边形 为菱形
B．当 是各边中点且 时，四边形 为矩形
C．当 不是各边中点时，四边形 不可能为菱形
D．当 不是各边中点时，四边形 可以为平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AC、BD，
当E，F，G，H是各边中点时，EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，EF∥AC，EF= AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，A不符合题意；
当E，F，G，H是各边中点，AC⊥BD时，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，B不符合题意；
当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，C符合题意；
当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理，可证EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG= BD，EF∥AC，EF= AC，利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形.
A、由AC=BD，可得EF=EH，根据邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形EFGH为菱形，据此判断即可；
B、由AC⊥BD时，可得∠EFG=90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可证四边形 为矩形，据此判断即可；
C、当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为正方形，而正方形是特殊的菱形，据此判断即可；
D、当E，F，G，H不是各边中点时，四边形会存在一组对边平行且相等，据此判断即可.
3．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．56° C．62° D．72°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
4．（2019九上·梅县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件错误的是（　　）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=CD
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A.根据菱形的定义可得，当AB=AD时 ABCD是菱形，本选项不符合题意；
B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断， ABCD是菱形，本选项不符合题意；
C.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项符合题意；
D.根据菱形的定义可得，当AD=CD时 ABCD是菱形，本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断。
5．（2020·宁波模拟）如图， 在 ABCD中， E为BC的中点， 若四边形AEDF为矩形， 则（　　）
A．∠B+∠ADE=90° B．DE= AE
C．EF=2AE D．EF=2AB
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设矩形AEDF的对角线的交点为O，
∴AO=AD，EF=2OE，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AO∥BE，
∴AO=BE，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴AB=OE
∴EF=2AB.
故答案为：D.
【分析】利用矩形的性质，可知AO=AD，EF=2OE，再利用线段中点的定义及平行四边形的性质，可以推出AO=BE，AO∥BE，由此可证得四边形AOEB是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得到AB=OE，即可证得结论。
6．（2020·陕西模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点D作直线m∥AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，四边形ACFE的面积是（　　）
A．48 B．40 C．24 D．30
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】根据在运动过程中EF∥AC且EF＝AC
四边形ACFE为平行四边形
过D作DM垂直AC于点M
根据等面积法，在 中
可得四边形ACFE为平行四边形的高为
故答案为：A
【分析】根据题意在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，所以可得四边形ACFE为平行四边形，因此计算面积即可.
7．（2019八下·合浦期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：C.
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
8．（2019九上·天河月考）如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， 与 相交于点 ，设 .得到以下结论：① ；② ；③ 则上述结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
；（1）
所以①成立；(2)如图延长 交 延长线于点 ，
则：
∴ 为直角三角形 斜边 上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立；(3)∵
∴
∵
∴
所以③成立
故答案为：D
【分析】利用正方形的性质可证得△CDF≌△BCE，进而利用全等三角形的对应角相等，可证得EPC=90°，故①成立；
延长PF交BA延长线于点M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的对应边相等可得CD=MA=AB=a，
然后利用直角三角形斜边上的中线等于是斜边的一半证得AP=BM=a，故②成立；
利用等面积法求得BE=，进而求得CP=，故③成立。
9．（2018·漳州模拟）如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD，BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（　　）．
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
AB= ，AD= ，BC= ，CD= ，
∴AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理算出AB，AD，BC，CD的长，从而发现AB=BC=CD=AD故四边形ABCD是菱形，根据菱形的对称性即可得出答案。
10．（2020·上海模拟）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE②△DFP∽△BPH③△PFD∽△PDB④DP2=PH·PC其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，
∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°
∵△BPC是等边三角形 ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴DC=PC ，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°
∴BE=2AE，故①正确；
∵AD∥BC ∴∠PFD=∠BCF=60° ∴∠PFD=∠BPC
同①得：∠DCF=30° ∴∠CPD=∠CDP=75° ∴∠PDF=15°
又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，
∴∠PDF=∠PBD
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°
∠BPD=135°，∠DPF=105°
∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC
∴△DPH∽△CDP
∴
∴PD2=PH·CD，故④正确。
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=30°，利用直角三角形中30°的角的性质可得BE=2AE，故①正确；
同①得∠DCF=30° ，由三角形的内角和和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75° ，进而得∠PDF=15°，∠PBD=∠ABD-∠ABE=15°，则可得∠PDF=∠PBD，又∠PDF=∠PBD=60°，从而可证△DFP∽△BPH，故②正确；
通过计算可知 △PFD和△PDB 中，∠PDF=∠PBD，∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF，可判断△PFD与△PDB不相似，故③错误；
利用∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC可证得△DPH∽△CDP，利用相似三角形的性质可得 ，变形为PD2=PH·CD，故④正确。
二、填空题
11．（2019·张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　 　步．
【答案】12
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为：12．
【分析】根据题意，设长为x步，宽为(60-x) 步，根据矩形的面积即可得到关于x的解析式，得到答案即可。
12．（2019八下·海沧期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　 　.
【答案】四个角都是90°的四边形是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】用直角尺判定门框的四个角是否都为90°，故采用的判定方法是“四个角都是90°的四边形是矩形”，故填“四个角都是90°的四边形是矩形”
【分析】根据矩形的判定定理，可得出四个角都是90°的四边形是矩形。
13．（2019·武汉模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，
则∠MAN＝90°,
∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,
∴∠DAM＝∠BAN.
∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,
∴△DAM≌△BAN,
∴AM＝AN,
∴四边形AMCN为正方形,
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝ AC2,
∴AC=6,
∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.
故答案为：6.
【分析】过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ANCM是矩形，则可得∠MAN＝90°,于是根据同角的余角相等可得∠DAM＝∠BAN，用角角边可证△DAM≌△BAN，所以AM=AN，根据一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形AMCN为正方形,所以S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝AC2，则AC的值可求解，即当BD⊥AC时BD最小，且最小值BD=AC。
14．（2020八下·建湖月考）菱形的面积为24，一条对角线长为6，则它的周长是　 　.
【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵S菱形=·AC·BD=24，令AC=6，
∴BD=8，
∴BO=4，AO=3，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即AB2=32+42，
∴AB=5，
∴菱形的周长=5×4=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出另一条对角线的长，再根据勾股定理可求出菱形的边长，进而求出周长即可.
15．（2020·杭州模拟）图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）.图乙种， ，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为　 　cm
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据 ，EF=4可得：AB=和BC的长度，根据阴影部分的面积为54 可得阴影部分三角形的高，然后根据菱形的性质可以求出小菱形的边长为 ，则菱形的周长为： ×4= .
【分析】利用已知条件求出AB，BC的长，利用阴影部分的面积及菱形的性质，求出小菱形的边长，然后就可求出菱形的周长。
16．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是　 　.
【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
三、解答题
17．（2019九上·渠县月考）如图，已知 ， ， ，且 ，求证：四边形BCED是矩形．
【答案】证明：连接BE、CD.
在△ABD和△ACE中
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
∵DE=BC
∴四边形BCED为平行四边形
∵∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠CAB
即∠CAD=∠BAE
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠BAE
∴△ADC≌△AEB（SAS）
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形。
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先利用已知条件证出△ABD≌△ACE，从而得BD=CE，加上DE=BC，可证地四边形BCED为平行四边形；然后再证得△ADC≌△AEB，从而得CD=BE，故利用矩形的判定方法得证。
18．（2019·梧州模拟）已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF.
求证：四边形AECF是菱形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，
∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF
∴△ADF≌△CDF（SAS）
∴AF＝CF，
∵AB∥CD，AE∥CF
∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE
∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形
又∵AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，根据“SAS”先证△ADF≌△CDF，再证△ABE≌△CDF，从而可得AE＝CF，由AE∥CF，利用一组对边平行且相等可证四边形AECF是平行四边形 ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形AECF是菱形.
19．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.
求证：AB＝EF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAC=90°
∵EF⊥AM，
∴∠EFA=90°
∵∠MAB+∠MAE=90°，∠EAM+∠E=90°，
∴∠MAB=∠E
∵AE=AM，
∴ΔABM≌ΔEFA
∴AB=EF
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形是正方形，可知角B与角BAC都是直角，再由EF与AM垂直，可知角E与角EAF互余，由同角的余角相等可知角E与角BAM相等，与已知条件中的AE与AM相等，即可判断三角形AEF与三角形ABM全等，再由全等三角形的对应边相等，即可证得AB与EF相等。
20．（2020·百色模拟）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论.
21．（2019九上·宜兴期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 的两个实数根.
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（ ）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1.
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形
（2）解：将x＝2代入x2﹣mx+ ＝0中，得：4﹣2m+ ＝0，
解得：m＝ ，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝ ，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2× ＝5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长.
22．（2019·高港模拟）如图，已知在 中，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 .
（1）求证： .
（2）连接 ， ，当 　 　时，四边形 是正方形.请说明理由.　 　
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E.
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，
，
∴△AOD≌△EOC（AAS）
（2）45°；解：当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形.如图； ∵△AOD≌△EOC， ∴OA=OE. 又∵OC=OD， ∴四边形ACED是平行四边形. ∵∠B=∠AEB=45°， ∴AB=AE，∠BAE=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴∠COE=∠BAE=90°. ∴ ACED是菱形. ∵AB=AE，AB=CD， ∴AE=CD. ∴菱形ACED是正方形. 故答案为：45.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.
23．（2019八下·合浦期中）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD
（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由.
（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由.
（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在.
【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中
，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC，
∵AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB＝∠FAC＝60°，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAF＝90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；
（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在.
24．（2019七上·鄞州期末）已知：如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点M是BC边的中点，点P从点A出发，沿着AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点Q以同样的速度从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动．设点P运动的路程为x
（1）当x=2时，线段AQ的长是 　 　
（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积会发生改变吗 请你作出判断并说明理由；
（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP= DQ 若存在，求出点P的运动路程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6
（2）解：阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：
连结AM，
依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，
∴AQ=8-x，
∴S阴=S△APM+S△AQN，
=·x×4+·（8-x）×4，
=2x+16-2x，
=16.
∴ 阴影面积不变 .
（3）解： ①当点P在线段AB上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=4－x，
又∵ BP=DQ ，
∴4－x=x，
解得：x=3；
②当点P在线段BM上时，
∵AB=4，AP=DQ=x，
∴BP=x-4，
又∵ BP=DQ ，
∴x-4=x，
解得：x=6；
综上所述：当x=3或6时，BP=DQ .
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】（1）依题可得：
AP=DQ=x，
∵AD=8，AP=2，
∴DQ=2，
∴AQ=AD-DQ=8-2=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意可得AP=DQ=x，由AQ=AD-DQ计算即可求得答案.
（2）阴影部分的面积不会发生改变，理由如下：连结AM， 根据题意可得AP=DQ=x，AQ=8-x，由S阴=S△APM+S△AQN计算即可得出阴影面积为定值.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在线段AB上时，②当点P在线段BM上时，由 BP=DQ分别列出方程，解之即可得出答案.
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