初中数学浙教版八年级下册第四章 平行四边形 强化提升训练
一、单选题
1．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
2．（2020九下·宁晋开学考）如图，在边长为1的正六边形 中，M是边 上一点，则线段 的长可以是（ ）
A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2.2
3．（2017八下·无棣期末）如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
4．如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八下·海勃湾期末）如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·青山模拟）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A(-1，0) 、B(-2，-3) 、C(2，-1) ，那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．(3，1) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，4)
7．（2020七下·淮阳期末）如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O作EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于点O的对应点；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
8．（2020九下·青县开学考）如图，在四边形 中， ， ， ，E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点 为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为（ ）
A．1 B． C．2或 D．1或
9．（2020八下·蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020八下·长兴期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．在三角形中，三个内角都大于60°
B．在三角形中，三个内角都小于60°
C．在三角形中，至少有一个内角大于60°
D．在三角形中，至少有一个内角小于60°
二、填空题
11．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
12．（2020八下·东丽期末）在 中， 边上的高为4， ， ，则 的周长等于 .
13．（2017·长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
14．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
15．（2021八上·南浔期末）
如图所示的三角形纸片中， ，BC=12cm， ，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 cm.
16．（2019七下·北京期末）用一个值a说明命题“若ax＞a，则x＞1”是不正确的，则a的值可以是 ．
三、综合题
17．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
18．（2020八下·海州期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 .
（ 1 ）把 向上平移6个单位后得到对应的 ，画出 ，并写出 的坐标；
（ 2 ）以原点 为对称中心，画出 关于原点对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 3 ） 与 是否为中心对称，如果是，请直接写出对称中心坐标：如果不是，请说明理由.
19．（2020八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx－4k（k≠0）．
（1）求A，C的坐标；
（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2020八上·包河期中）在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：
（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝ （直接写出结果）．
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
①如图②，如果∠AOB＝110°，求∠COD的度数．
②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．
21．（2020八下·兴城期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象相交于点 .
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求出 的面积；
（3）点 在此坐标平面内，且知以 、 、 、 为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点 的坐标.
22．（2019七下·如皋期中）△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
23．（2019八下·成都期末）已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1）点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，求∠APD的度数；
②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；
（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
24．（2020八上·肇东期中）已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现：如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是 ，数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
（3）解决问题：如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE，AD，过点F作FH⊥AE于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，
∴∠FEH=30°，∠AEM=90°，
∴HF= AF= ，
∴AH= ，
∴AE=2AH= ，
∴AD= =2，
∴ ＜AM＜2，
故答案为：C．
【分析】过点F作FH⊥AE于点H，根据AM在AE和AD之间，分别求出AE和AD的长度，继而得到答案即可。
3．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN= AB，
即线段MN的长度不变，故①正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故②正确；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误。
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；
综上所述，会随点P的移动而不变化的是①②⑤。
故选B.
【分析】此题考查了三角形中位线定理， 平行线之间的距离，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN= AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
4．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】A点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
B点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
C点F到边BC的距离等于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积=△EBC的面积，故本选项错误；
D点F到边BC的距离大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确．
故选D
【分析】根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则四边形EFNM是矩形。
∴EF=MN，EM=FN，FN∥EM
∴∠EAB=∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠AQC=∠DCN，
∴∠DCN=∠EAB，
又∵ ∠N=∠BEA=90°
∴△DCN≌△BAE（AAS）
∴BE=DN，AE=CN，
∵A（-1，0）、B（-2，-3）、C（2，-1），
∴CN=AE=2-1=1，DN=BE=3，
∴DM=3-1=2，OM=2+1=3，
∴D的坐标为（3，2）.
故答案为：B.
【分析】作BE⊥x轴于E，DM⊥x轴于M，CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则得四边形EFNM是矩形，利用矩形和平行四边形的性质可证得△DCN≌△BAE，利用全等三角形的性质可得BE=DN，AE=CN，然后利用已知点的坐标可求出线段DM和OM的长度，故可得D的坐标.
7．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】△ABC与△CDA关于点O对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成一个整体，那么它就是一个以O点为对称中心的中心对称图形，故③正确；
E与F，B与D关于O点对称，图形上的两点的连线若经过对称中心，这两点就是对应点，同时对应点的连线必经过对称中心，所以①②都正确；
四边形DEOC与四边形BFOA是四对对应点所围成的图形，面积必相等，△AOE与△COF也是对应点所围成的图形，所以它们成中心对称，故④和⑤都正确；
故正确的有5个.
故答案为：D.
【分析】由于△ABC和△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形是中心对称图形，而且对称中心是对角线交点，据此逐一进行分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，
由E是BC的中点可得：BE=EC=8，
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 ，即要使PD=EQ即可．（1）如图：点Q位于点E右侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，
6－t =8－3t，
t=1（秒）；（2）如图：点Q位于点E左侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，
6－t =3t－8，
t= （秒）．
综上所述：P的运动时间为1或 秒．
故答案为：D．
【分析】根据题意，由平行四边形的判定和性质，即可得到使得PD=EQ即可，列出方程计算得到答案即可。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴OD＝AD
∵点E为OA中点
∴ED⊥CA，故①符合题意；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝ AB，S△OEF＝ S△AOB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝ CD
∴EG＝ CD
∴EF＝EG，故②符合题意；
∵EF∥CD，EF＝DG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EH＝HG
即 ，故③符合题意；
∵S△AOB＝S△AOD＝ S ABCD，S△ACD＝ S ABCD，
∴S△OEF＝ S ABCD，
∵AE＝OE
∴S△ODE＝ S△AOD＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，
∵
∴CE＝ AC
∴S△CDE＝ S△ACD＝ S ABCD，
∵CG＝DG
∴S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝ AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝ CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得 ；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝ S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．
10．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，可得答案。
11．【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
12．【答案】12或20
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE=3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为12或20．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理进行解答即可．
13．【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图
，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 ，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A（4，3），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得 ，
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2，
yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】点B，C的坐标为（2，1），（6，1）可知BC水平，由题意知△ABC是等腰直角三角形，可算出A的坐标，再算出交点P的坐标，由中心对称可知P是AA’的中点，由中点坐标公式可求出A’的坐标.
14．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过D作 ，过点A作 于点N，
，
，
根据折叠可得： ， ，
， ，
∴BN=NC=6cm，
点B落在AC的中点D处， ，
∴NH=HC=3cm，
设DH=acm，则DC=2acm，
即 ，
设BF=DF=xcm，则 ，
故在 中， ，
故 ，
解得： ，
即BF的长为： .
故答案为： .
【分析】首先过D作 ，过点A作 于点N，根据题意结合等腰三角形的性质进而得出CN的长，再利用勾股定理得出答案.
16．【答案】-2（答案不唯一）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当a是负数时，命题“若ax>a，则x>1”是不正确的，理由如下：
若ax>a，a是负数，
当不等式两边同时除以负数a，不等号的方向改变，即x<1,
故答案为：-2（答案不唯一,只要是负数就行）．
【分析】根据不等式的性质举出反例即可．
17．【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次方的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
18．【答案】解：（1）如图，分别作出 向上平移6个单位后得到的对应点 ，顺次连接 即可，此时 ；
（ 2 ）如图，分别作出 关于原点对称的对应点 顺次连接 即可，此时 ；
（ 3 ）如图，连接 ，得到三条线段交于同一点，
所以： 与 成中心对称，对称中心为 的交点，坐标为 .
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质分别作出 向上平移6个单位后得到的对应点 ，再顺次连接可得答案；
（2）分别作出 关于原点对称的对应点 再顺次连接可得答案；
（3）连接 ，观察是否交于同一点，若交于同一点，则两个三角形为中心对称， 的交点为对称中心，否则，就不是.
19．【答案】（1）解：设A（a，0），B（0，b），
将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），得0＝ka－4k，
解得a=4，
∵矩形的面积为12，
∴ab=12，
解得b=3，
∴A（4，0），B（0，3）；
（2）解：∵D为AC的中点，
∴点D的坐标为（2， ），
∵OE=1，
∴点E的坐标为（0，-1），
设直线EF的解析式为y=kx+b，将点D和点E的坐标代入得 ，
解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x-1；
（3）解：存在；
理由：∵点F在BC上，
∴点F的纵坐标为3，
将y=3代入y= x-1得 x-1=3，
解得：x= ，
∴点F的坐标为（ ，3）；
①如图1所示：
∵四边形CDFG为平行四边形，
∴GM=MD，CM=MF，
∴点M的坐标为（ ，3），
设点G的坐标为（x，y），
∴ ， ，解得：x= ，y= ，
∴点G的坐标为（ ， ）；
②如图2所示：
∵点F的坐标为（ ，3），
∴CF= ，
∵四边形CGDF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=GD，
∴点G的坐标为（ ， ）；
③如图3所示：
∵四边形CGDF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=GD，
∴点G的坐标为（ ， ）；
综上所述：点G的坐标为（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）设A（a，0），B（0，b），将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），解出a值，再根据矩形的面积为12，解出b即可；（2）利用中点坐标公式求得点D的坐标，由点D和点E的坐标利用待定系数法求得直线EF的解析式即可；（3）分别以DC、DF；CD、CF；CF、DF为一组邻边求得点G的坐标即可．
20．【答案】（1）180°
（2）解：①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB= ∠DAB， ∠OBA= ∠CBA， ∠OCD= ∠BCD，∠ODC= ∠ADC，
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∵∠AOB＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°；
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB= ∠DAB， ∠OBA= ∠CBA， ∠OCD= ∠BCD，∠ODC= ∠ADC，
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DAO= ∠DAB， ∠ADO= ∠ADC，
∴ ∠DAB+ ∠ADC=90°，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD．
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．
故答案为180°；
【分析】（1）根据三角形内角和解答即可；（2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可；
②由①得∠AOB+∠COD＝180°，从而得出∠AOD+∠BOC＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．
21．【答案】（1）解：∵ 经过点A（6，0），B（0，-3），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：
（2）解：∵一次函数 与正比例函数 交于点C，
则 ，解得：x=-2，代入y=2x，
解得：y=-4，
∴点C的坐标为（-2，-4），
∴S△OBC= =3；
（3）解：∵以 、 、 、 为顶点四边形是平行四边形，
B（0，-3），C（-2，-4），
∴点D的坐标可以是（-2，-1），（2，1），（-2，-7）.
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标用待定系数法求解；（2）求出点C的坐标，再根据三角形面积公式计算；（3）根据平行四边形的定义和性质分别写出点D的坐标.
22．【答案】（1）6.5
（2）解：存在；理由如下：
∵S△BCP= CP×3=2S△ABC=2×6.5=13，
∴CP= ，
∴OP=CP+2= 或OP=CP﹣2= ，
∴点P的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）；
（3）点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）S△ABC=3×5﹣ ×2×3﹣ ×1×5﹣ ×2×3=6.5；
故答案为：6.5；
（ 3 ）如图：
当以BC为对角线时，点D1的坐标为（﹣1，﹣2）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（1，8）；
当以AC为对角线时，点D3坐标为（5，2）；
综上所述，点D的坐标为：（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）求出CP的长，得出OP的长，即可得出结果；（3）根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．
23．【答案】（1）解：①如图1，连结AC，
∵AD＝BE，BD＝CE，
∴AD+BD＝BE+CE，
∴AB＝BC．
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．
在△CBD和△ACE中
，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD＝∠CAE．
∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，
∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．
②如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠B．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠FAD＝90°，∠B＝90，
∴∠FAD+∠B＝180°，
∴AF∥BC．
∵DB＝CE，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA．
∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，
∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°
（2）解：如图3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，
∴∠FCD＝∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴CE＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由证△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；②作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．
24．【答案】（1）EF⊥BC；EF＝ BC
（2）解：如图2，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝HC，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AH＝BH，BC＝2BH，
∴BC＝2AH，
∵EF＝2AH，
∴EF＝BC
（3）解：如图3，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC＝3，OH＝HF，
又∵AB＝AC＝5，
∴AH⊥BC，
∴根据勾股定理得，AH＝ ＝4，
∵OH＝HF，AE＝AO，
∴EF＝2AH＝8．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴AH＝ BH，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵EF＝2AH，AH＝ BH，BC＝2BH，
∴EF＝ BC，
故答案为：EF⊥BC，EF＝ BC；
【分析】（1）由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH＝ BH，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，得出EF⊥BC，由BC＝2BH，从而得出EF＝ BC；
（2）如图2，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等腰直角三角形的性质得出AH＝BH＝HC，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，
可得EF⊥BC，继而求出结论即可；
（3） 如图3，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH⊥BC，由勾股定理求出AH的长，由三角形中位线定理可得EF＝2AH，从而得出结论.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册第四章 平行四边形 强化提升训练
一、单选题
1．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
2．（2020九下·宁晋开学考）如图，在边长为1的正六边形 中，M是边 上一点，则线段 的长可以是（ ）
A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2.2
【答案】C
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE，AD，过点F作FH⊥AE于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，
∴∠FEH=30°，∠AEM=90°，
∴HF= AF= ，
∴AH= ，
∴AE=2AH= ，
∴AD= =2，
∴ ＜AM＜2，
故答案为：C．
【分析】过点F作FH⊥AE于点H，根据AM在AE和AD之间，分别求出AE和AD的长度，继而得到答案即可。
3．（2017八下·无棣期末）如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN= AB，
即线段MN的长度不变，故①正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故②正确；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误。
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；
综上所述，会随点P的移动而不变化的是①②⑤。
故选B.
【分析】此题考查了三角形中位线定理， 平行线之间的距离，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN= AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
4．如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】A点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
B点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
C点F到边BC的距离等于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积=△EBC的面积，故本选项错误；
D点F到边BC的距离大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确．
故选D
【分析】根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答
5．（2020八下·海勃湾期末）如图，点O是 的对称中心， ，E、F是 边上的点，且 ；G、H是 边上的点，且 ，若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ， ，
， ．
点 是 的对称中心，
，
．
即 与 之间的等量关系是 ．
故答案为：B．
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 ， ，再由点 是 的对称中心， 根据平行四边形的性质可得 ，从而得出 与 之间的等量关系 ．
6．（2020·青山模拟）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A(-1，0) 、B(-2，-3) 、C(2，-1) ，那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．(3，1) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，4)
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则四边形EFNM是矩形。
∴EF=MN，EM=FN，FN∥EM
∴∠EAB=∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠AQC=∠DCN，
∴∠DCN=∠EAB，
又∵ ∠N=∠BEA=90°
∴△DCN≌△BAE（AAS）
∴BE=DN，AE=CN，
∵A（-1，0）、B（-2，-3）、C（2，-1），
∴CN=AE=2-1=1，DN=BE=3，
∴DM=3-1=2，OM=2+1=3，
∴D的坐标为（3，2）.
故答案为：B.
【分析】作BE⊥x轴于E，DM⊥x轴于M，CF⊥BE于F，DM和CF交于N，则得四边形EFNM是矩形，利用矩形和平行四边形的性质可证得△DCN≌△BAE，利用全等三角形的性质可得BE=DN，AE=CN，然后利用已知点的坐标可求出线段DM和OM的长度，故可得D的坐标.
7．（2020七下·淮阳期末）如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O作EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于点O的对应点；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】△ABC与△CDA关于点O对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成一个整体，那么它就是一个以O点为对称中心的中心对称图形，故③正确；
E与F，B与D关于O点对称，图形上的两点的连线若经过对称中心，这两点就是对应点，同时对应点的连线必经过对称中心，所以①②都正确；
四边形DEOC与四边形BFOA是四对对应点所围成的图形，面积必相等，△AOE与△COF也是对应点所围成的图形，所以它们成中心对称，故④和⑤都正确；
故正确的有5个.
故答案为：D.
【分析】由于△ABC和△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形是中心对称图形，而且对称中心是对角线交点，据此逐一进行分析判断即可.
8．（2020九下·青县开学考）如图，在四边形 中， ， ， ，E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点 为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为（ ）
A．1 B． C．2或 D．1或
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设点P的运动时间为t (0≤t≤6) 秒，则AP=t，CQ=3t，
由E是BC的中点可得：BE=EC=8，
要使得以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，已知 ，即要使PD=EQ即可．（1）如图：点Q位于点E右侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=8－3t，
6－t =8－3t，
t=1（秒）；（2）如图：点Q位于点E左侧时，
PD=6－t，CQ=3t，EQ=3t－8，
6－t =3t－8，
t= （秒）．
综上所述：P的运动时间为1或 秒．
故答案为：D．
【分析】根据题意，由平行四边形的判定和性质，即可得到使得PD=EQ即可，列出方程计算得到答案即可。
9．（2020八下·蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴OD＝AD
∵点E为OA中点
∴ED⊥CA，故①符合题意；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝ AB，S△OEF＝ S△AOB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝ CD
∴EG＝ CD
∴EF＝EG，故②符合题意；
∵EF∥CD，EF＝DG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EH＝HG
即 ，故③符合题意；
∵S△AOB＝S△AOD＝ S ABCD，S△ACD＝ S ABCD，
∴S△OEF＝ S ABCD，
∵AE＝OE
∴S△ODE＝ S△AOD＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，
∵
∴CE＝ AC
∴S△CDE＝ S△ACD＝ S ABCD，
∵CG＝DG
∴S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝ AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝ CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得 ；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝ S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．
10．（2020八下·长兴期末）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．在三角形中，三个内角都大于60°
B．在三角形中，三个内角都小于60°
C．在三角形中，至少有一个内角大于60°
D．在三角形中，至少有一个内角小于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，可得答案。
二、填空题
11．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
12．（2020八下·东丽期末）在 中， 边上的高为4， ， ，则 的周长等于 .
【答案】12或20
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE= =3，
∴AD=BC=5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，
∴EC= =2，AB=CD=5，
BE=3，
∴BC=3﹣2=1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5=12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为12或20．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理进行解答即可．
13．（2017·长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为 ．
【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图
，
点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得
BC=4．
由∠BAC=90°，AB=AC，
得AB=2 ，∠ABD=45°，
∴BD=AD=2，
A（4，3），
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
，
解得 ，
AB的解析式为y=x﹣1，
当y=1时，x=1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2，
yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【分析】点B，C的坐标为（2，1），（6，1）可知BC水平，由题意知△ABC是等腰直角三角形，可算出A的坐标，再算出交点P的坐标，由中心对称可知P是AA’的中点，由中点坐标公式可求出A’的坐标.
14．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
15．（2021八上·南浔期末）
如图所示的三角形纸片中， ，BC=12cm， ，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 cm.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过D作 ，过点A作 于点N，
，
，
根据折叠可得： ， ，
， ，
∴BN=NC=6cm，
点B落在AC的中点D处， ，
∴NH=HC=3cm，
设DH=acm，则DC=2acm，
即 ，
设BF=DF=xcm，则 ，
故在 中， ，
故 ，
解得： ，
即BF的长为： .
故答案为： .
【分析】首先过D作 ，过点A作 于点N，根据题意结合等腰三角形的性质进而得出CN的长，再利用勾股定理得出答案.
16．（2019七下·北京期末）用一个值a说明命题“若ax＞a，则x＞1”是不正确的，则a的值可以是 ．
【答案】-2（答案不唯一）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当a是负数时，命题“若ax>a，则x>1”是不正确的，理由如下：
若ax>a，a是负数，
当不等式两边同时除以负数a，不等号的方向改变，即x<1,
故答案为：-2（答案不唯一,只要是负数就行）．
【分析】根据不等式的性质举出反例即可．
三、综合题
17．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次方的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
18．（2020八下·海州期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 .
（ 1 ）把 向上平移6个单位后得到对应的 ，画出 ，并写出 的坐标；
（ 2 ）以原点 为对称中心，画出 关于原点对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 3 ） 与 是否为中心对称，如果是，请直接写出对称中心坐标：如果不是，请说明理由.
【答案】解：（1）如图，分别作出 向上平移6个单位后得到的对应点 ，顺次连接 即可，此时 ；
（ 2 ）如图，分别作出 关于原点对称的对应点 顺次连接 即可，此时 ；
（ 3 ）如图，连接 ，得到三条线段交于同一点，
所以： 与 成中心对称，对称中心为 的交点，坐标为 .
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质分别作出 向上平移6个单位后得到的对应点 ，再顺次连接可得答案；
（2）分别作出 关于原点对称的对应点 再顺次连接可得答案；
（3）连接 ，观察是否交于同一点，若交于同一点，则两个三角形为中心对称， 的交点为对称中心，否则，就不是.
19．（2020八下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的三个顶点A，O，C在坐标轴上，矩形的面积为12，对角线AC所在直线的解析式为y＝kx－4k（k≠0）．
（1）求A，C的坐标；
（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE＝1，求直线EF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设A（a，0），B（0，b），
将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），得0＝ka－4k，
解得a=4，
∵矩形的面积为12，
∴ab=12，
解得b=3，
∴A（4，0），B（0，3）；
（2）解：∵D为AC的中点，
∴点D的坐标为（2， ），
∵OE=1，
∴点E的坐标为（0，-1），
设直线EF的解析式为y=kx+b，将点D和点E的坐标代入得 ，
解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x-1；
（3）解：存在；
理由：∵点F在BC上，
∴点F的纵坐标为3，
将y=3代入y= x-1得 x-1=3，
解得：x= ，
∴点F的坐标为（ ，3）；
①如图1所示：
∵四边形CDFG为平行四边形，
∴GM=MD，CM=MF，
∴点M的坐标为（ ，3），
设点G的坐标为（x，y），
∴ ， ，解得：x= ，y= ，
∴点G的坐标为（ ， ）；
②如图2所示：
∵点F的坐标为（ ，3），
∴CF= ，
∵四边形CGDF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=GD，
∴点G的坐标为（ ， ）；
③如图3所示：
∵四边形CGDF为平行四边形，
∴CF∥GD，CF=GD，
∴点G的坐标为（ ， ）；
综上所述：点G的坐标为（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）设A（a，0），B（0，b），将A的坐标代入y＝kx－4k（k≠0），解出a值，再根据矩形的面积为12，解出b即可；（2）利用中点坐标公式求得点D的坐标，由点D和点E的坐标利用待定系数法求得直线EF的解析式即可；（3）分别以DC、DF；CD、CF；CF、DF为一组邻边求得点G的坐标即可．
20．（2020八上·包河期中）在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：
（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝ （直接写出结果）．
（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．
①如图②，如果∠AOB＝110°，求∠COD的度数．
②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．
【答案】（1）180°
（2）解：①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB= ∠DAB， ∠OBA= ∠CBA， ∠OCD= ∠BCD，∠ODC= ∠ADC，
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∵∠AOB＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°；
②AB∥CD，理由如下：
∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，
∴∠OAB= ∠DAB， ∠OBA= ∠CBA， ∠OCD= ∠BCD，∠ODC= ∠ADC，
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°，
在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，
在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，
∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°；
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°．
在∠AOD中，∠OAD+∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
∵∠DAO= ∠DAB， ∠ADO= ∠ADC，
∴ ∠DAB+ ∠ADC=90°，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD．
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．
故答案为180°；
【分析】（1）根据三角形内角和解答即可；（2）①由四边形的内角和为360°以及角平分线的定义可得∠AOB+∠COD＝180°，据此解答即可；
②由①得∠AOB+∠COD＝180°，从而得出∠AOD+∠BOC＝180°，可得∠AOD＝∠BOC＝90°，进而得出∠DAB+∠ADC＝180°，可得AB∥CD．
21．（2020八下·兴城期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象相交于点 .
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求出 的面积；
（3）点 在此坐标平面内，且知以 、 、 、 为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点 的坐标.
【答案】（1）解：∵ 经过点A（6，0），B（0，-3），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：
（2）解：∵一次函数 与正比例函数 交于点C，
则 ，解得：x=-2，代入y=2x，
解得：y=-4，
∴点C的坐标为（-2，-4），
∴S△OBC= =3；
（3）解：∵以 、 、 、 为顶点四边形是平行四边形，
B（0，-3），C（-2，-4），
∴点D的坐标可以是（-2，-1），（2，1），（-2，-7）.
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标用待定系数法求解；（2）求出点C的坐标，再根据三角形面积公式计算；（3）根据平行四边形的定义和性质分别写出点D的坐标.
22．（2019七下·如皋期中）△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）6.5
（2）解：存在；理由如下：
∵S△BCP= CP×3=2S△ABC=2×6.5=13，
∴CP= ，
∴OP=CP+2= 或OP=CP﹣2= ，
∴点P的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）；
（3）点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）S△ABC=3×5﹣ ×2×3﹣ ×1×5﹣ ×2×3=6.5；
故答案为：6.5；
（ 3 ）如图：
当以BC为对角线时，点D1的坐标为（﹣1，﹣2）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（1，8）；
当以AC为对角线时，点D3坐标为（5，2）；
综上所述，点D的坐标为：（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）求出CP的长，得出OP的长，即可得出结果；（3）根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．
23．（2019八下·成都期末）已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1）点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，求∠APD的度数；
②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；
（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
【答案】（1）解：①如图1，连结AC，
∵AD＝BE，BD＝CE，
∴AD+BD＝BE+CE，
∴AB＝BC．
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．
在△CBD和△ACE中
，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴∠BCD＝∠CAE．
∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，
∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．
②如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠B．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠FAD＝90°，∠B＝90，
∴∠FAD+∠B＝180°，
∴AF∥BC．
∵DB＝CE，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA．
∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，
∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°
（2）解：如图3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，
∴∠FAD＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC＝90°．
在△FAD和△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．
∵∠BDC+∠BCD＝90°，
∴∠ADF+∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝45°．
∵∠APD＝45°，
∴∠FCD＝∠APD，
∴CF∥AE．
∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，
∴∠FAD＝∠ABC，
∴AF∥BC．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∴CE＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由证△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；②作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．
24．（2020八上·肇东期中）已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现：如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是 ，数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
（3）解决问题：如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．
【答案】（1）EF⊥BC；EF＝ BC
（2）解：如图2，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝HC，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AH＝BH，BC＝2BH，
∴BC＝2AH，
∵EF＝2AH，
∴EF＝BC
（3）解：如图3，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC＝3，OH＝HF，
又∵AB＝AC＝5，
∴AH⊥BC，
∴根据勾股定理得，AH＝ ＝4，
∵OH＝HF，AE＝AO，
∴EF＝2AH＝8．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴AH＝ BH，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵EF＝2AH，AH＝ BH，BC＝2BH，
∴EF＝ BC，
故答案为：EF⊥BC，EF＝ BC；
【分析】（1）由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH＝ BH，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，得出EF⊥BC，由BC＝2BH，从而得出EF＝ BC；
（2）如图2，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等腰直角三角形的性质得出AH＝BH＝HC，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，
可得EF⊥BC，继而求出结论即可；
（3） 如图3，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH⊥BC，由勾股定理求出AH的长，由三角形中位线定理可得EF＝2AH，从而得出结论.
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