初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（3）同步练习

初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（3）同步练习
一、单选题
1．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（　　）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
2．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
4．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2020九下·镇江月考）如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（　　）
A．40m B．120m C．60m D．180m
6．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020九上·卫辉期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（　　）
A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米
8．（2019九上·榆树期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 位于树的西面.山高 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（　　）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
9．（2019九上·栾城期中）如图，有一块三角形土地，它的底边 米，高 米，某单位要沿着底边 修一座底面是矩形 的大楼，矩形的长宽比为5：4，则这座大楼的地基面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（　　）
A． B． C．11m D．
二、填空题
11．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度　 　米．
12．（2020·吉林模拟）我军侦察员在距敌方AN=120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离AM约为40cm，食指BC的长约为8cm，则敌方建筑物DE的高度约是　 　m。
13．（2020·瑞安模拟）图1是小红在“淘宝·双11”活动中所购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示。已知两支脚AB=AC，为AC上固定连接点，靠背OD=10分米。档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ挡时，OD’⊥AC。当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠至D’，此时点D移动的水平距离是2分米，即ED’=2分米。DE⊥BC交OD’于点G，则DG=　 　分米。
14．（2020·江夏模拟）如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm， OB=15 cm，则火焰的长度为　 　.
15．（2019九上·房山期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱 的高为 米，踏板 长为 米，支撑点 到踏脚 的距离为 米，现在踏脚着地，则捣头点 上升了　 　米．
三、解答题
16．（2019九上·西安月考）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”。修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥。如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长。
17．（2019九上·福田期中）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，身高为1.6m，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度越来越　 　（用“长”或“短”填空）；请你在图中分别画出小亮站在B处、D处的影子；
（2）当小亮离开灯杆的距离OB＝3.6m时，小亮的影长为1.2m，灯杆的高度为多少m？
（3）当小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，小亮的影长变为多少m？
18．（2019九上·房山期中）如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去．
（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC．
（2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离．
19．（2019·秀洲模拟）有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵QR⊥PS，ST⊥PS，
∴QR∥ST，
∴，
∵QS = 60，ST =120，QR=80，
设PQ=x，则PS=x+60，
∴，
解得：x=120.
∴这条河的宽度PQ为120 m.
故答案为：B.
【分析】由QR⊥PS，ST⊥PS得QR∥ST，根据平行线分线段成比例定理得，设PQ=x，则PS=x+60，代入解方程即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由镜面反射的规律得：
又
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据题意可知∠BAC=∠MAN，∠BCA=∠MNA，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AMN，然后利用相似三角形的对应边成比例，求出MN的长。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD∥AB，
∴△ECH∽△EAG，
∴ ，
∴ ，
∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，
故答案选D.
【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即 ，
设DE=x，那么MH=DE=x，AM= AH-MH=80-x
∴ ，
∵DG：DE=5：4
∴DG=
∴
解得x=40
即DE=40米，DG=50米，
∴这座大楼的地基面积=40×50=2000米2.
故答案为：B.
【分析】两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
11．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
12．【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：BC∥DE
∴△ABC∽△ADE
∴AM：AN=BC：DE
∴DE=.
【分析】先利用平行线法证得△ABC∽△ADE，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比列出比例式，据此求解即可。
13．【答案】3.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM，
∴∠OND=90°，
由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10
ED ’ =NM=2，
∵OD∥BC，OM∥BC
∴∠BAC=∠AOD，∠ACB=∠MOC，
∴∠ABH=∠DON
∵∠AHB=∠DNO=90°，
∴△ABH≌△DON（AAS）
∴AH=DN，BH=ON，
同理可证△ABH≌△D’ON
∴OM=DN，ON=D’M，
设ON=x，则HB=x，AH=DN=OM=x+2
在Rt△DNO中
ON2+DN2=OD2，
∴x2+（x+2）2=102
解之：x1=6，x2=-8（舍去）
∴ON=D ’ M=6，
OM=DN=2+6=8
∵NG∥D ’ M
∴△ONG∽△OMD ’
∴即
解之：NG=4.5
∴DG=DN-NG=8-4.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM，由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10，利用AAS证明△ABH≌△DON，可得到AH=DN，BH=ON，同理可证得△ABH≌△D’ON，利用全等三角形的性质，易证OM=DN，ON=D’M，设ON=x，则HB=x，AH=DN=OM=x+2，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到ON，OM的长，再证明△ONG∽△OMD ，利用相似三角形的对应边成比例就可求出NG的长，然后由DG=DN-NG求出DG的长。
14．【答案】8 cm
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得△AOC∽△BOD
∴
∵BD="2" cm，OA="60" cm，OB="15" cm
∴
解得AC=8
则火焰的长度为8cm.
【分析】由题意可得△AOC∽△BOD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：0.8
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
16．【答案】∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ABC∽△ANM，
∴ ，
∵BC=45，
∴MN=3000.
答：直线隧道MN长为3000米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.
17．【答案】（1）短
（2）解：先设OP＝xm，则当OB＝3.6m时，BE＝1.2m，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴x＝6.4，
所以灯杆的高度为6.4m。
（3）解：当OD＝6m时，设小亮的影长是ym，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝2．
即小亮的影长是2m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示，BE即为所求；
故答案为：短。
【分析】（1）根据光是沿直线传播的，可得出小亮的影子靠近O点时越来越短。
（2）根据对应边成比例，可设出OP为x，求出x的数值。
（3）根据题意，利用对应边成比例，解出y的值，得出小亮的影长。
18．【答案】（1）解：如图，BC即为所求：
（2）解：过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，
由题意可知：DE
//BC，DE=3，AH=4， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AG=16，
答：点A到公路的距离是16m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AD、AE并延长，交PQ于B、C，则BC即为所求；（2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，由窗DE和路PQ平行，可得△ADE∽△ABC，进而得到 ，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出，AH，DE已知，据此可求出AG.
19．【答案】（1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ，
∴
∴AR=AD-RD=80-2x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴EH=5x=75cm；
（2） 解：设PQ=y，则PM=y，
∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y
∵PQ∥EH，
∴△APQ∽△AEH，
∴ ，
∴ ，
即PQ=30，
由题意知：PQ是△AEH的中位线，
∴PQ=EH=37.5 ，
∵30≠37.5
∴ 小聪的剪法不正确．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案；
（2）设PQ=y，则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（3）同步练习
一、单选题
1．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（　　）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
2．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
5．（2020九下·镇江月考）如图，为了估计某一条河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS = 60m，ST =120m，QR=80m，则这条河的宽度PQ为（　　）
A．40m B．120m C．60m D．180m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵QR⊥PS，ST⊥PS，
∴QR∥ST，
∴，
∵QS = 60，ST =120，QR=80，
设PQ=x，则PS=x+60，
∴，
解得：x=120.
∴这条河的宽度PQ为120 m.
故答案为：B.
【分析】由QR⊥PS，ST⊥PS得QR∥ST，根据平行线分线段成比例定理得，设PQ=x，则PS=x+60，代入解方程即可.
6．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
7．（2020九上·卫辉期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（　　）
A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由镜面反射的规律得：
又
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据题意可知∠BAC=∠MAN，∠BCA=∠MNA，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AMN，然后利用相似三角形的对应边成比例，求出MN的长。
8．（2019九上·榆树期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 位于树的西面.山高 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（　　）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD∥AB，
∴△ECH∽△EAG，
∴ ，
∴ ，
∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，
故答案选D.
【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案.
9．（2019九上·栾城期中）如图，有一块三角形土地，它的底边 米，高 米，某单位要沿着底边 修一座底面是矩形 的大楼，矩形的长宽比为5：4，则这座大楼的地基面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，
∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即 ，
设DE=x，那么MH=DE=x，AM= AH-MH=80-x
∴ ，
∵DG：DE=5：4
∴DG=
∴
解得x=40
即DE=40米，DG=50米，
∴这座大楼的地基面积=40×50=2000米2.
故答案为：B.
【分析】两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．
10．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（　　）
A． B． C．11m D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
二、填空题
11．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度　 　米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
12．（2020·吉林模拟）我军侦察员在距敌方AN=120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离AM约为40cm，食指BC的长约为8cm，则敌方建筑物DE的高度约是　 　m。
【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：BC∥DE
∴△ABC∽△ADE
∴AM：AN=BC：DE
∴DE=.
【分析】先利用平行线法证得△ABC∽△ADE，然后利用相似三角形的对应高的比等于相似比列出比例式，据此求解即可。
13．（2020·瑞安模拟）图1是小红在“淘宝·双11”活动中所购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示。已知两支脚AB=AC，为AC上固定连接点，靠背OD=10分米。档位为Ⅰ档时，OD∥AB，档位为Ⅱ挡时，OD’⊥AC。当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠至D’，此时点D移动的水平距离是2分米，即ED’=2分米。DE⊥BC交OD’于点G，则DG=　 　分米。
【答案】3.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM，
∴∠OND=90°，
由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10
ED ’ =NM=2，
∵OD∥BC，OM∥BC
∴∠BAC=∠AOD，∠ACB=∠MOC，
∴∠ABH=∠DON
∵∠AHB=∠DNO=90°，
∴△ABH≌△DON（AAS）
∴AH=DN，BH=ON，
同理可证△ABH≌△D’ON
∴OM=DN，ON=D’M，
设ON=x，则HB=x，AH=DN=OM=x+2
在Rt△DNO中
ON2+DN2=OD2，
∴x2+（x+2）2=102
解之：x1=6，x2=-8（舍去）
∴ON=D ’ M=6，
OM=DN=2+6=8
∵NG∥D ’ M
∴△ONG∽△OMD ’
∴即
解之：NG=4.5
∴DG=DN-NG=8-4.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OM∥BC，过点D作DN⊥OM于点N，过点D ’ 作D ’ M⊥OM，由题意可知AB=AC=OD=OD ’=10，利用AAS证明△ABH≌△DON，可得到AH=DN，BH=ON，同理可证得△ABH≌△D’ON，利用全等三角形的性质，易证OM=DN，ON=D’M，设ON=x，则HB=x，AH=DN=OM=x+2，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到ON，OM的长，再证明△ONG∽△OMD ，利用相似三角形的对应边成比例就可求出NG的长，然后由DG=DN-NG求出DG的长。
14．（2020·江夏模拟）如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm， OB=15 cm，则火焰的长度为　 　.
【答案】8 cm
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得△AOC∽△BOD
∴
∵BD="2" cm，OA="60" cm，OB="15" cm
∴
解得AC=8
则火焰的长度为8cm.
【分析】由题意可得△AOC∽△BOD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果.
15．（2019九上·房山期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱 的高为 米，踏板 长为 米，支撑点 到踏脚 的距离为 米，现在踏脚着地，则捣头点 上升了　 　米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：0.8
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
三、解答题
16．（2019九上·西安月考）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”。修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥。如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长。
【答案】∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ABC∽△ANM，
∴ ，
∵BC=45，
∴MN=3000.
答：直线隧道MN长为3000米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.
17．（2019九上·福田期中）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，身高为1.6m，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度越来越　 　（用“长”或“短”填空）；请你在图中分别画出小亮站在B处、D处的影子；
（2）当小亮离开灯杆的距离OB＝3.6m时，小亮的影长为1.2m，灯杆的高度为多少m？
（3）当小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，小亮的影长变为多少m？
【答案】（1）短
（2）解：先设OP＝xm，则当OB＝3.6m时，BE＝1.2m，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴x＝6.4，
所以灯杆的高度为6.4m。
（3）解：当OD＝6m时，设小亮的影长是ym，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝2．
即小亮的影长是2m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示，BE即为所求；
故答案为：短。
【分析】（1）根据光是沿直线传播的，可得出小亮的影子靠近O点时越来越短。
（2）根据对应边成比例，可设出OP为x，求出x的数值。
（3）根据题意，利用对应边成比例，解出y的值，得出小亮的影长。
18．（2019九上·房山期中）如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去．
（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC．
（2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法．她测出了邻家小彬在公路BC段上走过的时间为10秒，又测量了点A到窗的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离．
【答案】（1）解：如图，BC即为所求：
（2）解：过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，
由题意可知：DE
//BC，DE=3，AH=4， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AG=16，
答：点A到公路的距离是16m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AD、AE并延长，交PQ于B、C，则BC即为所求；（2）过A做AG⊥PQ于G，交DE于H，由窗DE和路PQ平行，可得△ADE∽△ABC，进而得到 ，BC的长度可根据小彬的速度和时间求出，AH，DE已知，据此可求出AG.
19．（2019·秀洲模拟）有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长.
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
【答案】（1）解：∵ 矩形纸片EFGH 邻边之比为2∶5 ，
∴
∴AR=AD-RD=80-2x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴，
∴EH=5x=75cm；
（2） 解：设PQ=y，则PM=y，
∴AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y
∵PQ∥EH，
∴△APQ∽△AEH，
∴ ，
∴ ，
即PQ=30，
由题意知：PQ是△AEH的中位线，
∴PQ=EH=37.5 ，
∵30≠37.5
∴ 小聪的剪法不正确．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）AR=AD-RD=80-2x，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEH∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出x的值，从而得出答案；
（2）设PQ=y，则PM=y，AK=AR-KR=AD-RD-KR=50-y，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APQ∽△AEH，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式建立方程，即可求出y的值，从而得出PQ的长，再根据三角形中位线定理算出PQ的长，进行比较即可得出答案。
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