初中数学浙教版九年级下册第二章直线与圆的位置关系 单元测试

初中数学浙教版九年级下册第二章直线与圆的位置关系 单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（　　）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
3．（2020九下·重庆月考）如图所示，已知 为 的直径，直线 为圆的一条切线，在圆周上有一点 ，且使得 ，连接 ，则 的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020九上·新昌期末）已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（　　）
A．d＝3 B．d＞3 C．0≤d＜3 D．d＜3
5．（2020九上·滨海月考）如图，PO是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24 cm，则⊙O的周长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
7．（2020九上·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点.连接DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形
C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切线
8．（2019九上·南开月考）如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )
A．12 cm B．7 cm
C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
9．（2020九上·晋中月考）若 的外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则其内切圆的面积与 的面积比为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（　　）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
二、填空题
11．（2020九上·苏州期中）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　 　度.
12．（2019九上·新泰月考）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= 　 　 ．
13．（2019九上·邹城期中）一圆外切四边形 ，且 ，则四边形的周长为　 　．
14．（2020九上·泰兴月考）如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是⊙O上异于E、F的一动点，若∠ A+∠C=x°，∠EPF=y°，则y与x的函数关系式为 　 　 .
15．（2020九上·台州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为　 　.
16．（2020九上·齐齐哈尔期中）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　 　；
三、综合题
17．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
18．（2020九上·上思月考）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径， ∠ACB =65°．求∠APB的度数．
19．（2020九上·象山月考）已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点 M，经过B，M两点的 ⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当 BC＝4，AC＝6，求⊙O 的半径．
20．（2020九上·泗阳期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的角平分线交⊙O于点D.过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接CD，若CD=2，BD=2 ，求图中阴影部分的面积.
21．（2018九上·东台期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．
22．（2020九上·张家港期中）在同一平面直角坐标系中有6个点：
A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（﹣2，﹣3），F（0，﹣4）.
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，则点D与⊙P的位置关系▲ ；
（2）△ABC的外接圆的半径=　 　，△ABC的内切圆的半径=　 　.
（3）若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为l1.判断直线l1与⊙P的位置关系，并说明理由.
23．（2020·濠江模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，过点B作AC的垂线，分别交AC于点E，交⊙O于点D，点F在BD的延长线上，且EF=EB，连接AF、CF.
（1）求证：∠BAC=2∠DAC；
（2）求证：FC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，BC＝4 ，求⊙O的直径.
24．（2020九上·呼和浩特期中）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
3．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OB
∵ 为 的直径
∴∠ACB=90°
又∵AO=OC
∴OB= AC=OC
∴OC=OB=BC
∴△COB是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠BAC=90°-∠C=30°
又∵直线 为圆的一条切线
∴∠CAP=90°
∴ =∠CAP-∠BAC=60°
故答案为C.
【分析】连接OB，由题意可知，△COB是等边三角形，即可求得∠C，再由三角形内角和求得∠BAC，最后根据切线的性质和余角的定义解答即可.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故答案为：C.
【分析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
即∠PAO=90°，
∴AO= =10，
∴⊙O的周长为 .
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠PAO=90°，利用勾股定理求出OA长再利用圆周长公式进行求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接OE
∵D为AC中点，O为BC中点
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO∥AB，选项A正确；
∵∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠COD＝∠DOE，
在△COD和△EOD中，
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OCD＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项D正确；
连接EC，∵BC是直径，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，
在Rt AEC中，
∵AD＝DC，
∴DE＝AD，
∴△AED为等腰三角形，选项B正确，
则不一定正确的为DE⊥AC.
故答案为：C.
【分析】连接OE、CE，
（1）由三角形的中位线定理可得DO∥AB；
（2）由圆周角定理和直角三角形的性质可得△AED为等腰三角形；
（3）没有条件可得结论；
（4）由题意用边角边可证△COD≌△EOD，由全等三角形的性质可得∠OED＝∠OCD＝90°，根据圆的切线的判定即可求解.
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】设 分别是 的切点，
是一张三角形的纸片，
是它的内切圆，点 是其中的一个切点，
则
故
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质即可得到BD+CE=BC，再结合△ABC的周长即可计算出AD+AE的长，同样根据切线的性质可得DM=MF、FN=EN，进而可得到剪下三角形的周长.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设
，
，
而
故答案为：B．
【分析】画好正确的图形，由切线长定理可得： 结合勾股定理可得： 再求解直角三角形的面积 ，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
11．【答案】50
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°.
故答案为：50.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数.
12．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵AE=2，CD=1，BF=3，
∴AF=2，EC=1，BD=3，
∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径r= =1，
故答案为1．
【分析】根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出△ABC是直角三角形是解题关键．
13．【答案】34
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，
圆与四边形各边的切点为E、F、G和H
根据切线长定理可得，DE=DF，AF=AG，CE=CH，BG=BH
又BC=BH+HC=10，AD=AF+DF=7
∴ABCD的周长=AD+AB+CD+BC
=AD+DE+CE+BC+AG+BG
=AD+DF+CH+BC+BH+AF
=AD+AD+BC+BC
=2BC+2AD
=34
故答案为34．
【分析】根据圆的切线的性质即可得出答案．
14．【答案】 或
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 ，
为 的内切圆， 、 、 为切点，
，
，
，
， ，
有两种情况：①当 在优弧 上时， ，②当 在劣弧 上时， ，
，
即：y与x的函数关系式为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】连接 、 、 、 ，根据切线的性质可得，由可得，根据四边形内角和及圆周角定理可得，，有两种情况①当 在优弧 上时，利用圆周角定理解答；②当 在劣弧 上，根据圆内接四边形对角互补解答即可.
15．【答案】4或8
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，
∴∠P1EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P1E=1
∴P1O=2P1E=2
∴PP1=OP-P1O=6-2=4,
∴圆心P的运动时间为4÷1=4；
当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，
∴∠P2EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P2E=1
∴P2O=2P2E=2
∴PP2=OP+P2O=6+2=8,
∴圆心P的运动时间为8÷1=8；
故答案为：4或8.
【分析】分情况讨论：当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出P1O的长，然后根据PP1=OP-P1O，可求出PP1的长，由此可求出圆心P的运动时间；当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，利用同样的方法可求出圆心P的运动时间。
16．【答案】2－
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小，
连接CD，
则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4，
由勾股定理，得：AD= ，
∴S△ACD= AD CD= × ×2= ，
在△AOE和△ADC中
∵∠OAE=∠DAC，∠EOA=∠CDA
∴△AOE∽△ADC，
∴ ，
∴S△AOE= =
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE= ×2×2- =2－ ．
故答案为：2－ ．
【分析】当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小.连接CD，在Rt△ACD中,利用勾股定理求出AD= ，从而求出S△ACD= AD CD= 利用两角分别相等可证△AOE∽△ADC，可得，即得S△AOE= = ，利用S△ABE=S△AOB-S△AOE即可求出结论.
17．【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
18．【答案】解：连接OB.
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ACB=65°，
∴∠OBC=65°，
∴∠AOB=2∠OCB=130°，
∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点
∴∠OAP=∠OBP =90°，
∴∠APB=360°－180°－130°=50°，
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形外角和定理即可求出∠AOB的大小，由切线的性质可知OA和OB分别与PA和PB垂直，最后根据四边形的内角和即可求出∠APB的大小.
19．【答案】（1）证明：连接OM，
∵ BM平分∠ABC，OM=OB
∴∠OMB=∠OBM=∠CBM
∵ 在△ABC 中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠CBM+∠BME=90°
∴∠BME+∠OMB=90°即∠OME=90°，
∴OM⊥AE，OM是半径
∴AE与圆O相切.
（2）解：∵AE是△ABC的角平分线，AC=AB=6，BC=4，
∴BE=AB=2
设圆O的半径为r，则AO=6-r，
∵OM⊥AE，BC⊥AE
∴OM∥BC，
∴△AOM∽△AEB
∴即
解之：r=1.5
∴圆O的半径为1.5.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM，利用角平分线的定义及等腰三角形的性质，可证得∠OMB=∠OBM=∠CBM；再根据等腰三角形的三线合一的性质，可得到∠OME=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论。
（2）利用等腰三角形的性质求出BE的长，设圆的半径为r可表示出AO=6-r；再证明△AOM∽△AEB，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于r的方程，解方程求出r的值。
20．【答案】（1）解：DE与⊙O相切，理由如下：
连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠ODB，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：连接AD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴CD=AD=2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵在 中，BD= ，
∴ ，
∴OA=OB=OD=2，
∴OA=OD=AD，即 为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DF⊥AB，
∴OF=AF=1，
∴在 中， ，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义及圆的基本性质可以证明OD∥BE，再根据平行线的性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）再连接AD，根据弧、弦与圆周角的关系得到CD=AD=2，在 中利用勾股定理求出AB，结合圆的基本性质可证明 为等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出OF、DF，最后根据扇形面积及三角形面积即可求解.
21．【答案】（1）解: 线段AC是⊙O的切线。理由如下： ∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等）， ∴∠BDO=∠CAD（等量代换）。 又∵OA=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠OAB（等边对等角）。 ∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。 ∴线段AC是⊙O的切线。
（2）解: 设AC=x． ∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角对等边）。 ∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x； ∵由（1）知，AC是⊙O的切线， ∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得x=12。 ∴AC=12．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由切线的判定只需证得
∠OAC 是直角即可；
（2）由等角对等边可得 DC=AC=x ，在在直角三角形OAC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解。
22．【答案】（1）解：画出△ABC的外接圆⊙P，如图所示，
；点在圆上
（2）；3-
（3）解：设直线EF解析式为y=kx+b，
把E和F坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线EF解析式为 ，
由平移性质及题意得：直线l1解析式为 ，
即x+2y+6=0，
∵圆心P（0，﹣1）到直线的距离 ，
∴直线l1与⊙P相交.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）画出△ABC的外接圆⊙P，如图所示，
∵DP= ，
∴点D与⊙P的位置关系是点在圆上；
故答案为：点在圆上；
（2）△ABC的外接圆的半径= ，△ABC的内切圆的半径 ；
故答案为： ；3﹣ ；
【分析】（1）分别找出AC与BC的垂直平分线，交于点P，即为圆心，求出AP的长即为圆的半径，画出圆P，如图所示，求出D到圆心P的距离，与半径比较即可做出判断；
（2）求出三角形ABC的外接圆半径，内切圆半径即可；
（3）利用待定系数法求出直线EF的解析式，利用平移性质及题意确定出直线l1解析式，求出圆心P到l1的距离d，与半径r比较，即可得出直线与圆的位置关系.
23．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB
∴∠CAB＝180°-2∠ACB
∵BD⊥AC
∴∠BEC＝90°，∠DBC+∠ACB=90°
∴∠DBC=90°-∠ACB
∵∠DAC=∠DBC=90°-∠ACB
∴2∠DAC=2（90°-∠ACB）=180°-2∠ACB
∴∠CAB＝2∠DAC
（2）解：⊙O的直径CG，连结BG，
∵EF=EB，BD⊥AC
∴CF=CB
∴∠CFD＝∠CBD，∠CAB＝∠CDB=∠CFD+∠FCD=∠CBD+∠FCD
又由（1）可知∠CAB＝2∠DAC=2∠CBD
∴∠FCD=∠CBD＝∠CFD
∵CG为直径
∴∠CBG=90°
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠CBD+∠DBG=90°
∴FC⊥CG
∵CG为直径
∴FC为⊙O的切线
（3）解：∵AC=AB＝10，BC＝4
∴设 ， ，
∴ ，
∴AE=6，CE=4，BE= 8
∵∠CGB=∠EAB
∴sin∠CGB= =sin∠EAB=
∴CG=
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，可换算得出角度关系。
（2）根据切线的判定定理，可判定。
（3）利用勾股定理可解出直径。
24．【答案】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝ ，
在Rt△ABC中，cos∠C＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ ，AO＝ ，
∵△PAO∽△ABC，
∴ ，
∴PO＝ ＝ ＝5．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP=∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE=90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
1 / 1初中数学浙教版九年级下册第二章直线与圆的位置关系 单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·上思月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为6，则直线AB于⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=6, r=5,
∴d>r ,
∴ 直线AB于⊙O的位置关系是相离；
故答案为：C.
【分析】根据直线与圆的位置关系可知，当d=r时，相切；当dr时，相离；据此解答即可.
2．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（　　）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
3．（2020九下·重庆月考）如图所示，已知 为 的直径，直线 为圆的一条切线，在圆周上有一点 ，且使得 ，连接 ，则 的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OB
∵ 为 的直径
∴∠ACB=90°
又∵AO=OC
∴OB= AC=OC
∴OC=OB=BC
∴△COB是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠BAC=90°-∠C=30°
又∵直线 为圆的一条切线
∴∠CAP=90°
∴ =∠CAP-∠BAC=60°
故答案为C.
【分析】连接OB，由题意可知，△COB是等边三角形，即可求得∠C，再由三角形内角和求得∠BAC，最后根据切线的性质和余角的定义解答即可.
4．（2020九上·新昌期末）已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（　　）
A．d＝3 B．d＞3 C．0≤d＜3 D．d＜3
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故答案为：C.
【分析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断.
5．（2020九上·滨海月考）如图，PO是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24 cm，则⊙O的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
即∠PAO=90°，
∴AO= =10，
∴⊙O的周长为 .
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出∠PAO=90°，利用勾股定理求出OA长再利用圆周长公式进行求解即可.
6．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
7．（2020九上·杭州月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点.连接DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．DO∥AB B．△ADE是等腰三角形
C．DE⊥AC D．DE是⊙O的切线
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接OE
∵D为AC中点，O为BC中点
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO∥AB，选项A正确；
∵∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠COD＝∠DOE，
在△COD和△EOD中，
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OCD＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项D正确；
连接EC，∵BC是直径，
∴∠AEC＝∠CEB＝90°，
在Rt AEC中，
∵AD＝DC，
∴DE＝AD，
∴△AED为等腰三角形，选项B正确，
则不一定正确的为DE⊥AC.
故答案为：C.
【分析】连接OE、CE，
（1）由三角形的中位线定理可得DO∥AB；
（2）由圆周角定理和直角三角形的性质可得△AED为等腰三角形；
（3）没有条件可得结论；
（4）由题意用边角边可证△COD≌△EOD，由全等三角形的性质可得∠OED＝∠OCD＝90°，根据圆的切线的判定即可求解.
8．（2019九上·南开月考）如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为( )
A．12 cm B．7 cm
C．6 cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】设 分别是 的切点，
是一张三角形的纸片，
是它的内切圆，点 是其中的一个切点，
则
故
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质即可得到BD+CE=BC，再结合△ABC的周长即可计算出AD+AE的长，同样根据切线的性质可得DM=MF、FN=EN，进而可得到剪下三角形的周长.
9．（2020九上·晋中月考）若 的外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则其内切圆的面积与 的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设
，
，
而
故答案为：B．
【分析】画好正确的图形，由切线长定理可得： 结合勾股定理可得： 再求解直角三角形的面积 ，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
10．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（　　）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
二、填空题
11．（2020九上·苏州期中）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　 　度.
【答案】50
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°.
故答案为：50.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数.
12．（2019九上·新泰月考）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= 　 　 ．
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵AE=2，CD=1，BF=3，
∴AF=2，EC=1，BD=3，
∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径r= =1，
故答案为1．
【分析】根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出△ABC是直角三角形是解题关键．
13．（2019九上·邹城期中）一圆外切四边形 ，且 ，则四边形的周长为　 　．
【答案】34
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】如图，
圆与四边形各边的切点为E、F、G和H
根据切线长定理可得，DE=DF，AF=AG，CE=CH，BG=BH
又BC=BH+HC=10，AD=AF+DF=7
∴ABCD的周长=AD+AB+CD+BC
=AD+DE+CE+BC+AG+BG
=AD+DF+CH+BC+BH+AF
=AD+AD+BC+BC
=2BC+2AD
=34
故答案为34．
【分析】根据圆的切线的性质即可得出答案．
14．（2020九上·泰兴月考）如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是⊙O上异于E、F的一动点，若∠ A+∠C=x°，∠EPF=y°，则y与x的函数关系式为 　 　 .
【答案】 或
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 ，
为 的内切圆， 、 、 为切点，
，
，
，
， ，
有两种情况：①当 在优弧 上时， ，②当 在劣弧 上时， ，
，
即：y与x的函数关系式为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】连接 、 、 、 ，根据切线的性质可得，由可得，根据四边形内角和及圆周角定理可得，，有两种情况①当 在优弧 上时，利用圆周角定理解答；②当 在劣弧 上，根据圆内接四边形对角互补解答即可.
15．（2020九上·台州期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为　 　.
【答案】4或8
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，
当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，
∴∠P1EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P1E=1
∴P1O=2P1E=2
∴PP1=OP-P1O=6-2=4,
∴圆心P的运动时间为4÷1=4；
当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，
∴∠P2EO=90°
∵ ∠AOC=30° ，P2E=1
∴P2O=2P2E=2
∴PP2=OP+P2O=6+2=8,
∴圆心P的运动时间为8÷1=8；
故答案为：4或8.
【分析】分情况讨论：当点P运动到点P1时，过点P1作P1E⊥CD于点E，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出P1O的长，然后根据PP1=OP-P1O，可求出PP1的长，由此可求出圆心P的运动时间；当点P运动到点P2时，过点P2作P2E⊥CD于点E，利用同样的方法可求出圆心P的运动时间。
16．（2020九上·齐齐哈尔期中）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是　 　；
【答案】2－
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小，
连接CD，
则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4，
由勾股定理，得：AD= ，
∴S△ACD= AD CD= × ×2= ，
在△AOE和△ADC中
∵∠OAE=∠DAC，∠EOA=∠CDA
∴△AOE∽△ADC，
∴ ，
∴S△AOE= =
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE= ×2×2- =2－ ．
故答案为：2－ ．
【分析】当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，此时BE最小，以BE为底，OA为高，所以△ABE的面积最小.连接CD，在Rt△ACD中,利用勾股定理求出AD= ，从而求出S△ACD= AD CD= 利用两角分别相等可证△AOE∽△ADC，可得，即得S△AOE= = ，利用S△ABE=S△AOB-S△AOE即可求出结论.
三、综合题
17．（2020九上·民勤月考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长
【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+∠DCB= （∠ABC+∠DCB）=90°.
∴BC＝ cm.
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理：从圆外一点可以引两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角可得 ∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠DCB， 根据二直线平行同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180° ，故 ∠CBO+∠BCO=90° ，在Rt△BOC中，由勾股定理可得 BC的长.
18．（2020九上·上思月考）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径， ∠ACB =65°．求∠APB的度数．
【答案】解：连接OB.
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ACB=65°，
∴∠OBC=65°，
∴∠AOB=2∠OCB=130°，
∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点
∴∠OAP=∠OBP =90°，
∴∠APB=360°－180°－130°=50°，
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形外角和定理即可求出∠AOB的大小，由切线的性质可知OA和OB分别与PA和PB垂直，最后根据四边形的内角和即可求出∠APB的大小.
19．（2020九上·象山月考）已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点 M，经过B，M两点的 ⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当 BC＝4，AC＝6，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明：连接OM，
∵ BM平分∠ABC，OM=OB
∴∠OMB=∠OBM=∠CBM
∵ 在△ABC 中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠CBM+∠BME=90°
∴∠BME+∠OMB=90°即∠OME=90°，
∴OM⊥AE，OM是半径
∴AE与圆O相切.
（2）解：∵AE是△ABC的角平分线，AC=AB=6，BC=4，
∴BE=AB=2
设圆O的半径为r，则AO=6-r，
∵OM⊥AE，BC⊥AE
∴OM∥BC，
∴△AOM∽△AEB
∴即
解之：r=1.5
∴圆O的半径为1.5.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OM，利用角平分线的定义及等腰三角形的性质，可证得∠OMB=∠OBM=∠CBM；再根据等腰三角形的三线合一的性质，可得到∠OME=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论。
（2）利用等腰三角形的性质求出BE的长，设圆的半径为r可表示出AO=6-r；再证明△AOM∽△AEB，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于r的方程，解方程求出r的值。
20．（2020九上·泗阳期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的角平分线交⊙O于点D.过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接CD，若CD=2，BD=2 ，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：DE与⊙O相切，理由如下：
连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠ODB，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：连接AD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴CD=AD=2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵在 中，BD= ，
∴ ，
∴OA=OB=OD=2，
∴OA=OD=AD，即 为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DF⊥AB，
∴OF=AF=1，
∴在 中， ，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义及圆的基本性质可以证明OD∥BE，再根据平行线的性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）再连接AD，根据弧、弦与圆周角的关系得到CD=AD=2，在 中利用勾股定理求出AB，结合圆的基本性质可证明 为等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理求出OF、DF，最后根据扇形面积及三角形面积即可求解.
21．（2018九上·东台期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．
【答案】（1）解: 线段AC是⊙O的切线。理由如下： ∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等）， ∴∠BDO=∠CAD（等量代换）。 又∵OA=OB（⊙O的半径），∴∠B=∠OAB（等边对等角）。 ∵OB⊥OC（已知），∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°。 ∴线段AC是⊙O的切线。
（2）解: 设AC=x． ∵∠CAD=∠CDA（已知），∴DC=AC=x（等角对等边）。 ∵OA=5，OD=1，∴OC=OD+DC=1+x； ∵由（1）知，AC是⊙O的切线， ∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得x=12。 ∴AC=12．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由切线的判定只需证得
∠OAC 是直角即可；
（2）由等角对等边可得 DC=AC=x ，在在直角三角形OAC中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解。
22．（2020九上·张家港期中）在同一平面直角坐标系中有6个点：
A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（﹣2，﹣3），F（0，﹣4）.
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，则点D与⊙P的位置关系▲ ；
（2）△ABC的外接圆的半径=　 　，△ABC的内切圆的半径=　 　.
（3）若将直线EF沿y轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为l1.判断直线l1与⊙P的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：画出△ABC的外接圆⊙P，如图所示，
；点在圆上
（2）；3-
（3）解：设直线EF解析式为y=kx+b，
把E和F坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线EF解析式为 ，
由平移性质及题意得：直线l1解析式为 ，
即x+2y+6=0，
∵圆心P（0，﹣1）到直线的距离 ，
∴直线l1与⊙P相交.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：（1）画出△ABC的外接圆⊙P，如图所示，
∵DP= ，
∴点D与⊙P的位置关系是点在圆上；
故答案为：点在圆上；
（2）△ABC的外接圆的半径= ，△ABC的内切圆的半径 ；
故答案为： ；3﹣ ；
【分析】（1）分别找出AC与BC的垂直平分线，交于点P，即为圆心，求出AP的长即为圆的半径，画出圆P，如图所示，求出D到圆心P的距离，与半径比较即可做出判断；
（2）求出三角形ABC的外接圆半径，内切圆半径即可；
（3）利用待定系数法求出直线EF的解析式，利用平移性质及题意确定出直线l1解析式，求出圆心P到l1的距离d，与半径r比较，即可得出直线与圆的位置关系.
23．（2020·濠江模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，过点B作AC的垂线，分别交AC于点E，交⊙O于点D，点F在BD的延长线上，且EF=EB，连接AF、CF.
（1）求证：∠BAC=2∠DAC；
（2）求证：FC是⊙O的切线；
（3）若AB＝10，BC＝4 ，求⊙O的直径.
【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB
∴∠CAB＝180°-2∠ACB
∵BD⊥AC
∴∠BEC＝90°，∠DBC+∠ACB=90°
∴∠DBC=90°-∠ACB
∵∠DAC=∠DBC=90°-∠ACB
∴2∠DAC=2（90°-∠ACB）=180°-2∠ACB
∴∠CAB＝2∠DAC
（2）解：⊙O的直径CG，连结BG，
∵EF=EB，BD⊥AC
∴CF=CB
∴∠CFD＝∠CBD，∠CAB＝∠CDB=∠CFD+∠FCD=∠CBD+∠FCD
又由（1）可知∠CAB＝2∠DAC=2∠CBD
∴∠FCD=∠CBD＝∠CFD
∵CG为直径
∴∠CBG=90°
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠CBD+∠DBG=90°
∴FC⊥CG
∵CG为直径
∴FC为⊙O的切线
（3）解：∵AC=AB＝10，BC＝4
∴设 ， ，
∴ ，
∴AE=6，CE=4，BE= 8
∵∠CGB=∠EAB
∴sin∠CGB= =sin∠EAB=
∴CG=
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质，可换算得出角度关系。
（2）根据切线的判定定理，可判定。
（3）利用勾股定理可解出直径。
24．（2020九上·呼和浩特期中）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝ ，BC＝1，求PO的长．
【答案】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝ ，
在Rt△ABC中，cos∠C＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ ，AO＝ ，
∵△PAO∽△ABC，
∴ ，
∴PO＝ ＝ ＝5．
【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP=∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE=90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
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