初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形（2）同步训练
一、单选题
1．（2020·北京模拟）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·周口期中）点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
3．（2019八上·恩施期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
4．（2020七下·长兴期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
5．（2020七下·哈尔滨期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°，∠C=64°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
6．（2020八上·长丰期末）如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且△ABC的面积是32,则图中阴影部分面积等于 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
7．（2019八上·杭州期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．BD B．CF C．AE D．BF
8．（2020八上·咸丰期末）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
二、填空题
9．（2020七下·宝安期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形.
10．（2020七下·北京期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC为
11．（2020·九江模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、△BDF、△BCF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1S3与S2S4的大小关系为 ．
12．（2020七下·青岛期中）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
13．（2020七下·黄石期中）要判断如图所示△ABC的面积是△PBC的面积的几倍，只用一把仅有该度直尺，需要度量的次数最少是 次．
三、解答题
14．（2020七下·五大连池期中）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高．（用直尺规范画图，否则不计分）
15．（2020七下·太仓期中）如图，已知 中， 分别是 的高和角平分线.若 ， ，求 的度数.
16．（2019七下·吴江期末）如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm .
（1）求△ABD与△BEC的面积；
（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项不符合题意；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项符合题意；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】过A作AH⊥BC于H，
∵S△ACD= CD AH,S△ABD= BD AH，
∵△ACD和△ABD面积相等，
∴ CD AH= BD AH，
∴CD=BD，
∴线段AD是三角形ABC的中线
故答案为：A.
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积公式得到S△ACD= CD AH，S△ABD= BD AH，由于△ACD和△ABD面积相等，于是得到 CD AH= BD AH，即可得到结论.
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中线的定义得出AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法及等式的性质即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，
使△ABC的面积为3的点C有6个.
故答案为：C.
【分析】分别在AB的两侧找到一个使△ABC的面积为3的点，再分别过这两个点作AB的平行线，即可得到满足格点C的个数。
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
是 的角平分线， ，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据角平分线定义求出 ，然后根据 ，代入数据进行计算即可得解．
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE=2：1，
同理可得，S△BCE：S△EFB=2：1，
∵S△ABC=32，
∴S△EFB= S△ABC= ×32=8．
故答案为：B．
【分析】由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得△BCE和△EFB的面积之比，即可解答出．
7．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可知，BC边上的高为AE.
故答案为：C.
【分析】 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高， 根据定义即可判断。
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、钝锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断.
9．【答案】直角
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为直角.
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
10．【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝ ∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180° 40°＝140°，
∴∠DBC＋∠DCB＝70°，
∴∠BDC＝180° 70°＝110°，
故答案为：110°．
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC＋∠DCB＝70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
11．【答案】S1S3＞S2S4
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DE，设S△DEF＝S，
∴ 从而有SS3＝S2S4．
因为S1＞S，所以S1S3＞S2S4．
故答案为：S1S3＞S2S4．
【分析】连接 ，设S△DEF＝S，则 的边 上的高相同， 的边 上的高相同，利用面积之比与S1＞S，可得答案．
12．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
13．【答案】两
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：因为两个三角形拥有相同的底，只需分别测量两个三角形的高，找到高之间的倍分关系就是面积之间的倍分关系，
如图，作AD⊥BC，作PF⊥BC，
∴
故需要度量的次数最少是两次，
故答案为：两．
【分析】因为两个三角形拥有相同的底，只需分别测量两个三角形的高，找到高之间的倍分关系就是面积之间的倍分关系．
14．【答案】用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺过点A作BC边的垂线交BC于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高．如图：
用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺延长CB，过点A作BC延长线的垂线交延长线于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高，如图：
用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺过点A作BC边的垂线交BC于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高．如图：
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】要求过顶点A画出三角形的中线和高，作三角形中线时，先用直尺找到BC边的中点D，再连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线．作三角形高的时，过点A作BC边上的垂线，交BC于E，在作垂线时，如果交不到BC边上可作BC边的延长线，AE即是三角形的高．
15．【答案】解：∵AD是△ABC的高，∠B=44 ，∴∠ADB=∠ADC =90 ，在△ABD中，∠BAD=180 -90 -44 =46 ，又∵ AE平分∠BAC，∠DAE=12 ，∴∠CAE=∠BAE=46 -12 =34 ，而∠CAD=∠CAE-∠DAE=34 -12 =22 ，在△ACD中，∠C=180 -90 -22 =68 .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据已知首先求得∠BAD的度数，进而可以求得∠BAE，而∠CAE=∠BAE，在△ACD中利用内角和为180°，即可求得∠C.
16．【答案】（1）解：可设点A到边BC的高为h，
则S△ABD= BD·h，S△ACD= CD·h，
∵点D是BC边的中点，
∴BD=CD.
∴S△ABD=S△ACD，
同理S△ABE=S△BCE，
∴S△ABD=S△BCE= S△ABC= ×20=10（cm2）
（2）解：△AOE与△BOD的面积相等，理由如下.
根据（1）可得：S△ABE=S△ABD，
∵S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴S△AOE=S△BOD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据等底同高的三角形的面积相等可知： S△ABD=S△ACD=，S△ABE=S△BCE=，从而即可得出答案；
（2）△AOE与△BOD的面积相等，理由如下：根据（1）可得：S△ABE=S△ABD， 故S△ABE-S△ABO = S△ABD - S△ABO ，从而即可得出结论 S△AOE=S△BOD 。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形（2）同步训练
一、单选题
1．（2020·北京模拟）如图，用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项不符合题意；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项符合题意；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
2．（2019八上·周口期中）点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】过A作AH⊥BC于H，
∵S△ACD= CD AH,S△ABD= BD AH，
∵△ACD和△ABD面积相等，
∴ CD AH= BD AH，
∴CD=BD，
∴线段AD是三角形ABC的中线
故答案为：A.
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积公式得到S△ACD= CD AH，S△ABD= BD AH，由于△ACD和△ABD面积相等，于是得到 CD AH= BD AH，即可得到结论.
3．（2019八上·恩施期中）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中线的定义得出AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法及等式的性质即可得出答案.
4．（2020七下·长兴期末）如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，
使△ABC的面积为3的点C有6个.
故答案为：C.
【分析】分别在AB的两侧找到一个使△ABC的面积为3的点，再分别过这两个点作AB的平行线，即可得到满足格点C的个数。
5．（2020七下·哈尔滨期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=76°，∠C=64°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
是 的角平分线， ，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据角平分线定义求出 ，然后根据 ，代入数据进行计算即可得解．
6．（2020八上·长丰期末）如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且△ABC的面积是32,则图中阴影部分面积等于 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE=2：1，
同理可得，S△BCE：S△EFB=2：1，
∵S△ABC=32，
∴S△EFB= S△ABC= ×32=8．
故答案为：B．
【分析】由点E为AD的中点，可得△ABC与△BCE的面积之比，同理可得△BCE和△EFB的面积之比，即可解答出．
7．（2019八上·杭州期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．BD B．CF C．AE D．BF
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可知，BC边上的高为AE.
故答案为：C.
【分析】 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高， 根据定义即可判断。
8．（2020八上·咸丰期末）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、钝锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断.
二、填空题
9．（2020七下·宝安期中）一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是 三角形.
【答案】直角
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，
∴此三角形是直角三角形.
故答案为直角.
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
10．（2020七下·北京期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC为
【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝ ∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180° 40°＝140°，
∴∠DBC＋∠DCB＝70°，
∴∠BDC＝180° 70°＝110°，
故答案为：110°．
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC＋∠DCB＝70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
11．（2020·九江模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、△BDF、△BCF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1S3与S2S4的大小关系为 ．
【答案】S1S3＞S2S4
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DE，设S△DEF＝S，
∴ 从而有SS3＝S2S4．
因为S1＞S，所以S1S3＞S2S4．
故答案为：S1S3＞S2S4．
【分析】连接 ，设S△DEF＝S，则 的边 上的高相同， 的边 上的高相同，利用面积之比与S1＞S，可得答案．
12．（2020七下·青岛期中）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．
13．（2020七下·黄石期中）要判断如图所示△ABC的面积是△PBC的面积的几倍，只用一把仅有该度直尺，需要度量的次数最少是 次．
【答案】两
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：因为两个三角形拥有相同的底，只需分别测量两个三角形的高，找到高之间的倍分关系就是面积之间的倍分关系，
如图，作AD⊥BC，作PF⊥BC，
∴
故需要度量的次数最少是两次，
故答案为：两．
【分析】因为两个三角形拥有相同的底，只需分别测量两个三角形的高，找到高之间的倍分关系就是面积之间的倍分关系．
三、解答题
14．（2020七下·五大连池期中）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高．（用直尺规范画图，否则不计分）
【答案】用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺过点A作BC边的垂线交BC于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高．如图：
用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺延长CB，过点A作BC延长线的垂线交延长线于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高，如图：
用直尺找到BC边的中点D，再用直尺连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线；
用直尺过点A作BC边的垂线交BC于点E，再用直尺连接AE，AE即是三角形的高．如图：
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】要求过顶点A画出三角形的中线和高，作三角形中线时，先用直尺找到BC边的中点D，再连接A点和D点，AD即是三角形过点A的中线．作三角形高的时，过点A作BC边上的垂线，交BC于E，在作垂线时，如果交不到BC边上可作BC边的延长线，AE即是三角形的高．
15．（2020七下·太仓期中）如图，已知 中， 分别是 的高和角平分线.若 ， ，求 的度数.
【答案】解：∵AD是△ABC的高，∠B=44 ，∴∠ADB=∠ADC =90 ，在△ABD中，∠BAD=180 -90 -44 =46 ，又∵ AE平分∠BAC，∠DAE=12 ，∴∠CAE=∠BAE=46 -12 =34 ，而∠CAD=∠CAE-∠DAE=34 -12 =22 ，在△ACD中，∠C=180 -90 -22 =68 .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据已知首先求得∠BAD的度数，进而可以求得∠BAE，而∠CAE=∠BAE，在△ACD中利用内角和为180°，即可求得∠C.
16．（2019七下·吴江期末）如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm .
（1）求△ABD与△BEC的面积；
（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
【答案】（1）解：可设点A到边BC的高为h，
则S△ABD= BD·h，S△ACD= CD·h，
∵点D是BC边的中点，
∴BD=CD.
∴S△ABD=S△ACD，
同理S△ABE=S△BCE，
∴S△ABD=S△BCE= S△ABC= ×20=10（cm2）
（2）解：△AOE与△BOD的面积相等，理由如下.
根据（1）可得：S△ABE=S△ABD，
∵S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴S△AOE=S△BOD
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据等底同高的三角形的面积相等可知： S△ABD=S△ACD=，S△ABE=S△BCE=，从而即可得出答案；
（2）△AOE与△BOD的面积相等，理由如下：根据（1）可得：S△ABE=S△ABD， 故S△ABE-S△ABO = S△ABD - S△ABO ，从而即可得出结论 S△AOE=S△BOD 。
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