初中数学浙教版九年级上册4.4 相似三角形的判定（2）同步练习
一、单选题
1．（2019九上·邓州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD AD这个结论可证明（ ）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CDB D．无法判断
2．（2019九上·无锡月考）如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD
C．∠ACD＝∠BCD D．
3．（2020·涡阳模拟）如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·淮安模拟）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E.则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：∠ABD=∠ACB；②AB2=AD AC；③AD BC=AB BD；④AB BC=AC BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019·莆田模拟）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
8．（2017·合肥模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠B＝∠ACP；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能使△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且 ＝ ，AE＝BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
11．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（ ）
A．12 B．12 C．12 D．10
二、填空题
12．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
13．（2020八下·黄石期中）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC上一点，要使ΔABP与ΔECP相似，还需具备的一个条件是 .
14．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
三、解答题
15．（2020·东莞模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
16．（2020九上·常州期末）如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2， 点E在AD上，且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由.
17．（2019九上·潜山月考）在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒后，点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似
18．（2020九上·遂宁期末）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与 轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线 。点G是抛物线 位于直线 下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△GBC面积的最大值；
（3）连接AC，在 轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，结合∠ADC=∠CDB可得：△ADC∽△CDB.
故答案为：△ADC∽△CDB.
【分析】由乘积式 CD2=BD AD 可得，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△CDB.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
B∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
D∵ ＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故答案为：C.
【分析】由于图中已经具有∠A＝∠A所以添加∠ADC＝∠ACB或∠B＝∠ACD，可以利用有两个角对应相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△ABC；如果添加 ＝ 可以利用有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△ABC，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在 与 中，
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，A正确；
B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，B错误；
C、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，C错误；
D、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判断方法：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似，即可一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴∠BAC=∠BAD=∠CDE=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC(两角对应相等，两三角形相似)
∴∠ADB=∠ABC，
∴△ABD∽△EFB，
且△ABD∽△AFD
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等的三角形相似进行证明即得.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】△ABD与△ACB中，∠A是公共角，①∠ABD＝∠ACB，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；②AB2＝AD·AC，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；③如图，
作DF⊥AB于F，BE⊥AC于E，可证Rt△ADF∽Rt△ABE，得出 ，再由AD·BC＝AB·BD，可得 ，故△BDF∽△CBE，得∠ABD＝∠C，即可得出△ABD∽△ACB：④AB·BC＝AC·BD，无法判定△ABD∽△ACB．
故答案为：C．
【分析】掌握相似三角形的判定方法。根据有两个角对应相等的三角形相似及两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，
又BA＝2，AC＝2 ，
∴BA：AC＝1： ，
∴BP：PD＝1： 或BP：PD＝ ：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故答案为：B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；得到△AOB∽△COD.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠B=∠ACP，
∴△APC∽△ACB，
②∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△APC∽△ACB，
③∵AC2=AP·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，
④∵AB·CP=AP·CB，
∴，
∴不能判断△APC与△ACB相似.
综上所述：能判断△APC∽△ACB的有①②③，
故答案为：D.
【分析】相似三角形判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似 ；由此可得出答案；
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C，
又∵，AE=BE，
∴CD=2AD，AB=2AE，
∴=2，
又∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC，∠A=∠C，由已知条件可知CD=2AD，AB=2AE，从而可得
，根据相似三角形判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，夹角相等，则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
11．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，
在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，
∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，
当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，
∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，
故答案为：B。
【分析】本题是一道较难的综合题，关键在于通过做辅助线构造相似三角形。在AD上取点k，使AK=2，连接EK，KF，根据正方形的性质得到AB=AD=DC=8，所以得到、，因为∠EAK=∠DAE，得到△AEK∽△ADE，所以得到EK= ED，根据三角形三边的关系以及两点之间线段最短，得到当F、E、K三点共线时，EF+ ED最小，即为KF，再根据勾股定理求出KF即可.
12．【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
13．【答案】BP=2CP
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABP与△ECP都是直角三角形，
∴当AB：EC=BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，
∵E是CD的中点，
∴ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即BP=2CP，
故答案为：BP=2CP.
【分析】由于△ABP与△ECP都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当AB：EC=BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，即可得到BP=2CP.
14．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
15．【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证出△AED∽△ABC，从而得出∠ADF＝∠C，再根据相似三角形的判定定理即可证出结论；（2）根据（1）中相似可得 ，结合已知条件即可求出 ，从而求出结论．
16．【答案】解：△ABC~△EAB，理由如下：
∵AB：BC=1：2，
∴设AB=2x，BC=4x，
在矩形ABCD中，AD=BC=4x，
∵ED=3AE，
∴ED=3x，AE=x，
∴ ，
∵∠EAB=∠ABC=90°，
∴△ABC~△EAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断即可.
17．【答案】解：设经过ts后△PBQ∽△ABC，
根据已知条件可得AP=t，BQ=2×t，
当△PBQ∽△ABC时，
，
∴ ，
∴ t=2s；
设经过ts后△PBQ∽△CBA
当△PBQ∽△CBA时，
∴ ，
∴ t=0.8s，
故经过0.8秒或2秒后，两三角形相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由于两三角形都是直角三角形，所有分两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例可得到关于t的方程，可求得答案．
18．【答案】（1）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，
∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3.
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，
∴点A的坐标为（1，0）．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为：
（2）解：如图，过 作 ∥ 轴交 于点 .
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当时 ， 面积的取最大值
（3）解：如图，
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，
∴∠PBM＝45°，PB＝ ．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，
由勾股定理，得BC＝ ．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当 ，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．
即 ，
解得：BQ＝3，
又∵BO＝3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当 ，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．
即 ，
解得：QB＝ ．
∵OB＝3，
∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣ ，
∴Q2的坐标是（ ，0）．
③当Q在B点右侧，
则∠PBQ＝ ＝135°，∠BAC＜135°，
故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式；（2）过 作 ∥ 轴交 于点 .设点 ，则点 ，列出关于△GBC面积的解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分三情况进行讨论：①当 ，∠PBQ=∠ABC=45°时；②当 ，∠QBP=∠ABC=45°时；③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.4 相似三角形的判定（2）同步练习
一、单选题
1．（2019九上·邓州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD AD这个结论可证明（ ）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CDB D．无法判断
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，结合∠ADC=∠CDB可得：△ADC∽△CDB.
故答案为：△ADC∽△CDB.
【分析】由乘积式 CD2=BD AD 可得，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△CDB.
2．（2019九上·无锡月考）如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD
C．∠ACD＝∠BCD D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
B∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
D∵ ＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故答案为：C.
【分析】由于图中已经具有∠A＝∠A所以添加∠ADC＝∠ACB或∠B＝∠ACD，可以利用有两个角对应相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△ABC；如果添加 ＝ 可以利用有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△ABC，从而即可一一判断得出答案.
3．（2020·涡阳模拟）如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在 与 中，
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
4．（2020九上·北仑期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，A正确；
B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，B错误；
C、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，C错误；
D、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判断方法：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似，即可一一判断得出答案.
5．（2020·淮安模拟）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E.则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴∠BAC=∠BAD=∠CDE=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC(两角对应相等，两三角形相似)
∴∠ADB=∠ABC，
∴△ABD∽△EFB，
且△ABD∽△AFD
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等的三角形相似进行证明即得.
6．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：∠ABD=∠ACB；②AB2=AD AC；③AD BC=AB BD；④AB BC=AC BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】△ABD与△ACB中，∠A是公共角，①∠ABD＝∠ACB，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；②AB2＝AD·AC，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；③如图，
作DF⊥AB于F，BE⊥AC于E，可证Rt△ADF∽Rt△ABE，得出 ，再由AD·BC＝AB·BD，可得 ，故△BDF∽△CBE，得∠ABD＝∠C，即可得出△ABD∽△ACB：④AB·BC＝AC·BD，无法判定△ABD∽△ACB．
故答案为：C．
【分析】掌握相似三角形的判定方法。根据有两个角对应相等的三角形相似及两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答。
7．（2019·莆田模拟）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P1上 B．点P2上 C．点P3上 D．点P4上
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，
又BA＝2，AC＝2 ，
∴BA：AC＝1： ，
∴BP：PD＝1： 或BP：PD＝ ：1，
只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2．
故答案为：B
【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断．
8．（2017·合肥模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；得到△AOB∽△COD.
9．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠B＝∠ACP；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中能使△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠B=∠ACP，
∴△APC∽△ACB，
②∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△APC∽△ACB，
③∵AC2=AP·AB，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，
④∵AB·CP=AP·CB，
∴，
∴不能判断△APC与△ACB相似.
综上所述：能判断△APC∽△ACB的有①②③，
故答案为：D.
【分析】相似三角形判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似 ；由此可得出答案；
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4两个三角形相似的判定（2） 同步练习）如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且 ＝ ，AE＝BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C，
又∵，AE=BE，
∴CD=2AD，AB=2AE，
∴=2，
又∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形性质得AB=BC=AC，∠A=∠C，由已知条件可知CD=2AD，AB=2AE，从而可得
，根据相似三角形判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，夹角相等，则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
11．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（ ）
A．12 B．12 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，
在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，
∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，
当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，
∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，
故答案为：B。
【分析】本题是一道较难的综合题，关键在于通过做辅助线构造相似三角形。在AD上取点k，使AK=2，连接EK，KF，根据正方形的性质得到AB=AD=DC=8，所以得到、，因为∠EAK=∠DAE，得到△AEK∽△ADE，所以得到EK= ED，根据三角形三边的关系以及两点之间线段最短，得到当F、E、K三点共线时，EF+ ED最小，即为KF，再根据勾股定理求出KF即可.
二、填空题
12．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
13．（2020八下·黄石期中）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC上一点，要使ΔABP与ΔECP相似，还需具备的一个条件是 .
【答案】BP=2CP
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABP与△ECP都是直角三角形，
∴当AB：EC=BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，
∵E是CD的中点，
∴ ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即BP=2CP，
故答案为：BP=2CP.
【分析】由于△ABP与△ECP都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当AB：EC=BP：CP时能得到△ABP与△ECP相似，即可得到BP=2CP.
14．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
三、解答题
15．（2020·东莞模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证出△AED∽△ABC，从而得出∠ADF＝∠C，再根据相似三角形的判定定理即可证出结论；（2）根据（1）中相似可得 ，结合已知条件即可求出 ，从而求出结论．
16．（2020九上·常州期末）如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2， 点E在AD上，且ED=3AE.判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由.
【答案】解：△ABC~△EAB，理由如下：
∵AB：BC=1：2，
∴设AB=2x，BC=4x，
在矩形ABCD中，AD=BC=4x，
∵ED=3AE，
∴ED=3x，AE=x，
∴ ，
∵∠EAB=∠ABC=90°，
∴△ABC~△EAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断即可.
17．（2019九上·潜山月考）在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒后，点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似
【答案】解：设经过ts后△PBQ∽△ABC，
根据已知条件可得AP=t，BQ=2×t，
当△PBQ∽△ABC时，
，
∴ ，
∴ t=2s；
设经过ts后△PBQ∽△CBA
当△PBQ∽△CBA时，
∴ ，
∴ t=0.8s，
故经过0.8秒或2秒后，两三角形相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由于两三角形都是直角三角形，所有分两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例可得到关于t的方程，可求得答案．
18．（2020九上·遂宁期末）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与 轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线 。点G是抛物线 位于直线 下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△GBC面积的最大值；
（3）连接AC，在 轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，
∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3.
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，
∴点A的坐标为（1，0）．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），
，解得： ，
∴该抛物线的解析式为：
（2）解：如图，过 作 ∥ 轴交 于点 .
设点 ，则点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当时 ， 面积的取最大值
（3）解：如图，
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，
∴∠PBM＝45°，PB＝ ．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，
由勾股定理，得BC＝ ．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当 ，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．
即 ，
解得：BQ＝3，
又∵BO＝3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当 ，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．
即 ，
解得：QB＝ ．
∵OB＝3，
∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣ ，
∴Q2的坐标是（ ，0）．
③当Q在B点右侧，
则∠PBQ＝ ＝135°，∠BAC＜135°，
故∠PBQ≠∠BAC．
则点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（ ，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式；（2）过 作 ∥ 轴交 于点 .设点 ，则点 ，列出关于△GBC面积的解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分三情况进行讨论：①当 ，∠PBQ=∠ABC=45°时；②当 ，∠QBP=∠ABC=45°时；③当Q在B点右侧，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．
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