初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2020·天台模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120
2．（2020九下·黄岩期中）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2020九上·诸暨期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019九上·萧山月考）已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则 （ ）
A．150° B．120°
C．150°或 30° D．120°或 60°
5．（2020·石城模拟）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为 度．
6．（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
7．（2020九上·昌平期末）AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
8．（2020·杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则（ ）
A．3α+β=180° B．2α+β=180°
C．3α-β=90° D．2α-β=90°
9．（2020·浙江模拟）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．直径所对的圆周角是直角 D．90°的圆周角所对的弦是直径
10．（2020·石家庄模拟）如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x，则x的取值范围是（ ）
A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤120
11．（2020·衢州模拟）如图，点A，B，D，C是⊙O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°， ∠AOC=90°，则∠E的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
12．（2020九下·兰州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（ ）
A．62° B．70° C．72° D．74°
二、填空题
13．（2020九下·丹阳开学考）如图，量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ，则 的度数为 .
14．（2020·黄石模拟）如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若 的度数是48°，那么 的度数是 .
15．（2020·连云港模拟）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
16．（2019九上·泰州月考）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为 .
17．（2019九上·温州期中）如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是 .
三、解答题
18．（2019九上·湖州月考）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求∠ABE的度数.
19．（2018九上·丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
20．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
21．（2018九上·连城期中）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
22．（2020九上·洛宁期末）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E.
（1）求证：∠BCD=∠CBD；
（2）若BE=4，AC=6，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°.
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠BAC=60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C.
【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为 150°或 30° .
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.
5．【答案】45
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠APB为 所对的圆心角和圆周角，
∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°.
【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝ ；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180° ∠ACB＝180° 40°＝140°；
所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．
故答案选：B．
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB
则∠DBA= ∠DOA= ∠β
且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α
∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°
∴α= β+45°
化简后得2α-β=90°
即D选项为正确选项
故答案为：D
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA= ∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知点O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆O，接着以B为圆心、BC的长为半径画弧交圆O于一点C，连接AC，则∠ACB=90°，理由：直径所对的圆周角是直角.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可知AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，据此判断即可.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：开始移动时，x＝30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B与E重合时，
∠POF取得最大值，此时∠POF＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
x的取值范围是30≤x≤60．
故答案为：A．
【分析】分析题目可知开始移动时x=30°，移动后x逐渐变大，点B与点E重合时x最大，则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍求出此时x的值，进而确定x的范围.
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵弧AC=弧AC
∴
∵弧BD=弧BD
∴；
∵∠ABC=∠BCD+∠E
∴∠E=45°-10°=35°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠ABC，∠BCD的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可求出∠E的度数。
12．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC.
∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，
∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC＝∠E＝42°，然后根据角的和差算出∠CAB的度数，根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，最后根据三角形的内角和算出答案.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】连接OC、OD，如图，根据题意可得圆心角∠AOC与∠AOD的度数，进而可得∠COD的度数，然后根据圆周角定理即得结果.
14．【答案】24°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
的度数是48°，
的度数是
故答案是：
【分析】连接 ，得到等腰 ，结合已知条件求解 ，从而可得答案.
15．【答案】144°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE
∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转
∴ 第18秒时，∠ACE=18×4°=72°
∵ 量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,∠ACB=90°
∴ C点在以AB为直径的圆上
∴ ∠AOE=2∠ACE=2×72°=144°
【分析】连接OE，根据题意解出∠ACE的度数，然后证明C在量角器所构成的圆上，根据圆周角与圆心角的关系，得出答案.
16．【答案】35°或145°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】j解：①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC= ∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC= （360°-70°）=145°
故答案为：35°或145°.
【分析】分类讨论：①当点O在三角形的内部时，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC= ∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，在优弧BC上随便找一点D，并连接BD,CD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BDC= ∠BOC=35°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可算出答案.
17．【答案】 -2
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如下图所示，
∵CG⊥AD，
∴∠AGC=90°，
∴在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=4,∠CAB=60°
∴ ，
在Rt△BCO'中，CO'=G O'= AC=2，
∴
∵BG+GO'≥BO'
∴当O'、G、B三点共线时BG的值最小，
最小值BG= BO'-G O'= .
故答案为 .
【分析】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，当O'、G、B三点共线时BG的值最小，利用勾股定理求出BO'，由BG= BO'-G O'可得结果.
18．【答案】解：如图，连接OE.
∵EF∥AB，OC⊥AB，
∴EF⊥OC.
∵点D是OC的中点，
∴OD＝ OC＝ OE，
∴∠OED＝30°.
∵EF∥AB，
∴∠EOA＝30°，
∴∠ABE＝ ∠EOA＝15°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OE，由平行线和垂线的性质易证EF⊥OC，由线段中点的定义可得OD=OC=OE，由直角三角形的性质和平行线的性质可得 ∠OED=∠EOA＝30°，再根据圆周角定理得∠ABE=∠EOA可求解.
19．【答案】证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，∴OM=ON，在△ MOC 和△ NOC 中，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC=NC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC，由中点定义可得OM=ON，根据全等三角形的判定：SAS可得△MOC≌△NOC，由全等三角形的性质可得MC=NC.
20．【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
21．【答案】（1）解：如图1，点P就是所求作的点。
（2）解：如图2，CD为AB边上的高。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径AB所对的圆周角是直角可分别画出△ABC中边AC、BC上的高，进而得三条高的交点。
（2）利用图1，可将图2中的三角形CAP看作图1中的三角形PAB，进而模仿1画出满足题意的高。
22．【答案】（1）证明：∵OD⊥BC于E，
∴OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，
又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，
由圆周角定理知∠BCD=∠CBD
（2）解：∵OD⊥BC于E，
∴OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，BC=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C为直角，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，
在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，由圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因为AB是⊙O的直径，所以∠C为直角，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.5圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2020·天台模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°.
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余计算出∠BAC=60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD=45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可.
2．（2020九下·黄岩期中）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是 上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
3．（2020九上·诸暨期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C.
【分析】利用90°的圆周角所对的弦是直径进行逐一判断即可.
4．（2019九上·萧山月考）已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则 （ ）
A．150° B．120°
C．150°或 30° D．120°或 60°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵△ABO为正三角形，∴∠AOB=60°，当点C在优弧上的时候，∠ACB=∠AOB=30°，当点C在劣弧AB上的时候，∠ACB=180°-30°=150°，∴∠ACB的度数为 150°或 30° .
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠AOB的度数，然后分当点C在优弧上的时候与当点C在劣弧AB上的时候两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案.
5．（2020·石城模拟）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连结PA、PB.则∠APB的大小为 度．
【答案】45
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠APB为 所对的圆心角和圆周角，
∴∠APB= ∠AOB= ×90°=45°.
【分析】根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”进行解答.
6．（2020·绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，
， ，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接BE，利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠BEC的度数，从而可求出∠BED的度数，然后利用圆周角定理求出∠BOD的度数。
7．（2020九上·昌平期末）AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝ ；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180° ∠ACB＝180° 40°＝140°；
所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．
故答案选：B．
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
8．（2020·杭州）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上(不与点A，点C重合)，BD与OA交于点E，设∠AED=α，∠AOD=β，则（ ）
A．3α+β=180° B．2α+β=180°
C．3α-β=90° D．2α-β=90°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB
则∠DBA= ∠DOA= ∠β
且∠DEA=∠DBA+∠OAB=α
∵OA=OB，∠BOA=90°，即∠OAB=45°
∴α= β+45°
化简后得2α-β=90°
即D选项为正确选项
故答案为：D
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠DBA= ∠β，利用三角形的外角的性质，可证得∠DBA+∠OAB=α，再证明∠OAB=45°，继而可得到α和β之间的关系式。
9．（2020·浙江模拟）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理
C．直径所对的圆周角是直角 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知点O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆O，接着以B为圆心、BC的长为半径画弧交圆O于一点C，连接AC，则∠ACB=90°，理由：直径所对的圆周角是直角.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可知AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，据此判断即可.
10．（2020·石家庄模拟）如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x，则x的取值范围是（ ）
A．30≤x≤60 B．30≤x≤90 C．30≤x≤120 D．60≤x≤120
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：开始移动时，x＝30°，移动开始后，∠POF逐渐增大，最后当B与E重合时，
∠POF取得最大值，此时∠POF＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
x的取值范围是30≤x≤60．
故答案为：A．
【分析】分析题目可知开始移动时x=30°，移动后x逐渐变大，点B与点E重合时x最大，则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍求出此时x的值，进而确定x的范围.
11．（2020·衢州模拟）如图，点A，B，D，C是⊙O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°， ∠AOC=90°，则∠E的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵弧AC=弧AC
∴
∵弧BD=弧BD
∴；
∵∠ABC=∠BCD+∠E
∴∠E=45°-10°=35°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，利用一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠ABC，∠BCD的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可求出∠E的度数。
12．（2020九下·兰州月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（ ）
A．62° B．70° C．72° D．74°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC.
∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，
∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAC＝∠E＝42°，然后根据角的和差算出∠CAB的度数，根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，最后根据三角形的内角和算出答案.
二、填空题
13．（2020九下·丹阳开学考）如图，量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ，则 的度数为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵量角器上 、 两点所表示的读数分别是 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】连接OC、OD，如图，根据题意可得圆心角∠AOC与∠AOD的度数，进而可得∠COD的度数，然后根据圆周角定理即得结果.
14．（2020·黄石模拟）如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若 的度数是48°，那么 的度数是 .
【答案】24°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
的度数是48°，
的度数是
故答案是：
【分析】连接 ，得到等腰 ，结合已知条件求解 ，从而可得答案.
15．（2020·连云港模拟）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第18秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
【答案】144°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE
∵射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转
∴ 第18秒时，∠ACE=18×4°=72°
∵ 量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,∠ACB=90°
∴ C点在以AB为直径的圆上
∴ ∠AOE=2∠ACE=2×72°=144°
【分析】连接OE，根据题意解出∠ACE的度数，然后证明C在量角器所构成的圆上，根据圆周角与圆心角的关系，得出答案.
16．（2019九上·泰州月考）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为 .
【答案】35°或145°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】j解：①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC= ∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC= （360°-70°）=145°
故答案为：35°或145°.
【分析】分类讨论：①当点O在三角形的内部时，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC= ∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，在优弧BC上随便找一点D，并连接BD,CD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BDC= ∠BOC=35°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可算出答案.
17．（2019九上·温州期中）如图,AB是半圆O的直径,弦AC=4,∠CAB=60°,点D是弧BC上的一个动点,作CG⊥AD,连结BG,在点D移动的过程中,BG的最小值是 .
【答案】 -2
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，如下图所示，
∵CG⊥AD，
∴∠AGC=90°，
∴在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=4,∠CAB=60°
∴ ，
在Rt△BCO'中，CO'=G O'= AC=2，
∴
∵BG+GO'≥BO'
∴当O'、G、B三点共线时BG的值最小，
最小值BG= BO'-G O'= .
故答案为 .
【分析】以AC为直径作圆O'，连接BO'，BC，在点D移动的过程中，点G在以AC为直径的圆上运动，当O'、G、B三点共线时BG的值最小，利用勾股定理求出BO'，由BG= BO'-G O'可得结果.
三、解答题
18．（2019九上·湖州月考）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，求∠ABE的度数.
【答案】解：如图，连接OE.
∵EF∥AB，OC⊥AB，
∴EF⊥OC.
∵点D是OC的中点，
∴OD＝ OC＝ OE，
∴∠OED＝30°.
∵EF∥AB，
∴∠EOA＝30°，
∴∠ABE＝ ∠EOA＝15°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OE，由平行线和垂线的性质易证EF⊥OC，由线段中点的定义可得OD=OC=OE，由直角三角形的性质和平行线的性质可得 ∠OED=∠EOA＝30°，再根据圆周角定理得∠ABE=∠EOA可求解.
19．（2018九上·丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
【答案】证明：∵点 C 是弧 AB 的中点，∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，∴∠AOC=∠BOC，又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，∴OM=ON，在△ MOC 和△ NOC 中，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC=NC.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC，由中点定义可得OM=ON，根据全等三角形的判定：SAS可得△MOC≌△NOC，由全等三角形的性质可得MC=NC.
20．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
21．（2018九上·连城期中）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【答案】（1）解：如图1，点P就是所求作的点。
（2）解：如图2，CD为AB边上的高。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用直径AB所对的圆周角是直角可分别画出△ABC中边AC、BC上的高，进而得三条高的交点。
（2）利用图1，可将图2中的三角形CAP看作图1中的三角形PAB，进而模仿1画出满足题意的高。
22．（2020九上·洛宁期末）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E.
（1）求证：∠BCD=∠CBD；
（2）若BE=4，AC=6，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵OD⊥BC于E，
∴OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，
又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，
由圆周角定理知∠BCD=∠CBD
（2）解：∵OD⊥BC于E，
∴OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，BC=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C为直角，
在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，
在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2
【知识点】垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，由圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因为AB是⊙O的直径，所以∠C为直角，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2
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